高考数学必考点解题方法秘籍 向量与三角 理

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：向量与三角函数
一．专题综述
三角函数高中数学传统的内容，而平面向量则是新添内容，现在高考对这两部分的考查完美的体现了传统和现代的结合。

1.考纲要求
三角函数：
（1）能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简；
（2）理解和掌握三角函数的图像及性质；
（3）能用正弦定理、余弦定理解三角形问题。

平面向量：
（1）能灵活运用向量的数量积解决有关问题；
（2）理解和掌握向量的几何运算、坐标运算；
（3）理解和掌握平面向量的平行和垂直关系。

2.考题设置与分值：
高考对这两部分的考试一般有1-2个客观题和1个解答题（第16题），总分值20分左右；
3.考试重点及难度：
（1）三角函数主要考查:
①灵活运用公式的能力,特别是单项化公式;
②在客观题中，突出考察三角函数的图像和性质;
③解三角形也是高考的一个重点.
（2）平面向量的考察侧重：
①平面向量的运算，特别是数量积的运算（坐标运算）；要关注各种运算的几何意义和物理意义，要善于在几何图形中寻求各向量的关系；
②向量的平行、垂直的充要条件的运用；
（3）三角函数与平面向量的综合：
将三角函数和向量综合在一起进行考查是现在高考的趋势（解答题16题），这体现了在知识的交汇点命题的原则，由于这种题放在16题的位置，是较容易的题
总之，高考对三角和向量的考查小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。

二．考点选讲
【考点1】三角函数的图像和性质
【例1】已知函数
sin()cos(),
1212
y x x
ππ
=--
则下列对函数的判断正确的是（）
A．周期为2π,其图像的一个对称中心是(,0) 12
π
；
B．周期为π,其图象的一个对称中心是(,0) 12
π
C．周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)
6
π
；
D．周期为π,其图象的一个对称中心是(,0) 6
π
【解析】
)
12cos()12sin(π
π
-
-
=x x y =)
62sin(21π
-x 所以ππ==22T ，对称中心是(,0)
12π。

所以选B 。

【注】:本题考查三角函数的简单变形和三角函数图像的基础知识。

【练习1】函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。

【练习2】函数b x A x f +ϕ+ω=)sin()(的图象如图，则)(x f 的解析式和
++=)1()0(f f S )2006()2(f f +⋯+
的值分别为（ ）
A ．
12sin 21
)(+π=
x x f ， 2006=S
B ．12sin 21)(+π=x x f ， 212007
=S C ．12sin 21)(+π=
x x f ，
212006=S D ．
12sin 21)(+π
=
x x f ， 2007=S
【考点2】三角公式的灵活运用
【例2】已知344ππα<<，04πβ<<
，cos()4πα-=35，
3sin(
)4πβ+=5
13，求sin()αβ+的值.
【解析】 34
4π
π
α<<
∴
2
4
π
π
α-
<
-<，又
3cos(
)4
5π
α-=
∴
4
sin(
)4
5π
α-=-
，
又04π
β<<
， ∴ 3344ππ
βπ
<+<
∴
3sin(
)4πβ+=513 ,
312cos()413πβ+=-
∴
3sin()cos ()cos ()()244πππαβαββα⎡⎤⎡⎤
+=-++=-+--⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦ 33cos(
)cos()sin()sin()4444ππππ
βαβα=-+--+-
=54
135531312∙
+∙5665
=
【注】本题考查三角函数的有关运算，特别是分析其中三角函数式的差异、角的差异，利用所学公式进行合理变形 。

【考点3】解三角形
【例3】如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与
D ．测得：
00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，
为0
60，则塔高AB=
并在点C 测得塔顶A 的仰角
【解析】由题意得
()
tan sin 30tan 60sin 30
156
sin()sin 1530s AB θβαβ⋅=
==++（米）
【注】:在2007年的课改区高考试题中，十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查，试题设计更加注意贴近生活实践.
【练习1】已知三角形ABC 的角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,设)sin ,(sin ),,(A B n b a m ==，)2,2(--=a b p
若n m //，求证：△ABC 为等腰三角形
若p m ⊥，边长c=2，角
3π
=
c ，求△ABC 的面积。

【考点4】向量的运算与应用
【例4】已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1
S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则：
（ⅰ）pq
p q =+——————
（ⅱ）1
2S S 的取值范围是 .
【解析】设AB a =，AC b =，1AP a λ=，2AQ b λ=，因为G 是△ABC 的重心，故 1
()
3AG a b =+，
又
111()33PG AG AP a b
λ=-=-+， 21PQ AQ AP b a λλ=-=-，因为PG 与PQ 共线，所以PQ PG λ=，
即11211[()]()033a b λλλλλ-++-=，又a 与b 不共线，所以111()3λλλ-=-及2
1
3λλ=，消去λ，得
12123λλλλ+=.
（ⅰ）121111(1)(1)321p q λλ+=-+-=-=，故1pq p q =+；
（ⅱ）
12111()
313λλλλ=≠-，那么 12||||sin ||||sin S AP AQ BAC
S AB AC BAC ⋅⋅∠=⋅⋅∠
21122111
139
31()24λλλλλ===
---+， 当P 与B 重合时，11λ=，当P 位于AB 中点时，
112λ=
， 故11[,1]2λ∈，故12S S 41
[,].
92∈但因为P
与B 不能重合，故12S S 41[,).
92∈
【练习1】过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =，AE y AC =，
0xy ≠，则11
x y +
的值为（ ）
A 、4
B 、3
C 、2
D 、1
【练习2】已知P 是ABC ∆内一点，且满足=++PC PB PA 320，记ABP ∆、BCP ∆、ACP ∆的面积依次为1S 、2S 、3S ，则1S ：2S ：3S 等于（ ） A 、1：2：3 B 、1：4：9 C 、3：2：1 D 、3：1：2
【考点5】三角与向量的综合
【例5】已知向量)21,sin (--=→
θa m ，)
cos ,21
(θ=→n ．
（1）当
22=
a ，且→
→⊥n m 时，求θ2sin 的值；
（2）当0=a ，且→
m ∥→
n 时，求θtan 的值．
【练习1】：已知向量
)
23
,(cos ),1,(sin x b x a =-=. （1）当
x x b a 2sin 3cos ,//2
-求时的值。

（2）求b b a x f ⋅+=)()(的最小正周期和单调递增区间。

【练习2】已知向量OA =a =（cos
α，sin α），)sin 2,cos 2(ββ==b OB ，
),0)(,0(>==d d c OC 其中O 为坐标原点，且
.
2
0πβπ
α<<<
<
（1）若),(a b a -⊥求αβ-的值；
（2,2
3
|
|1||==OC OC 求△OAB 的面积
【练习3】三角形的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，设向量),(a b a c m --=，
),(c b a n +=, 若n m //．
（1）求角B 的大小； （2）求sin sin A C +的取值范围．
三角函数与平面向量综合测试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为2π
的是（ ）
A ．
sin
2x y = B ．sin 2y x = C ．cos
4x
y = D ．cos 4y x =
2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >
Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >
3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙
a
=+2
cos
2
sin
θ
θ
，那么 （ ）
A ．甲是乙的充分不必要条件
B ．甲是乙的充要条件
C ．甲是乙的必要不充分条件
D ．甲是乙的既不充分也不必要条件
4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =
Ｃ．3AO OD =
Ｄ．2AO OD =
5. 若函数f(x)=3sin 21x, x ∈[0, 3π
], 则函数f(x)的最大值是 ( )
A.21
B.32
C.22
D.23
6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1
7. α、β为锐角a=sin(βα+)，b=ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ） A ．a ＞b B ．b ＞a C ．a=b D ．不确定
8. 下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x 的最小正周期是π.
②终边在y 轴上的角的集合是{a|a=Z k k ∈π
,2|.
③在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点.
④把函数.
2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π
π+= ⑤函数.
0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ
-=x y
B
A
C
D
其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））
9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数
C ．)1(+x f 一定是奇函数
D ．)1(+x f 一定是偶函数
10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）
A ．π25
B ．π45
C ．π
D ．π23
11、在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，
2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
12. 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC 的边长是 （ ）
（A ）32 （B ）36
4
（C ）4173
（D ）321
2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．若tan θ=2，则2sin2θ－3sin θcos θ= .
14．若θsin －
57
cos =
θ，θ∈（0，π），则tan θ= .
15. 如右图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则
AD BC =__________.
16．2002年在北京召开的国际数学家大会，
会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的． 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1， 大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，
那么cos 2θ的值等于
．
三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分12分)
已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC ⋅=,求c 的值； (2)若C=5，求sin ∠A 的值．
18. (本小题满分12分) 已知函数()2cos (sin cos )1,f x x x x x =-+∈R.
(I)求函数()f x 的最小正周期；
(II)求函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上的最小值和最大值.
19．(本小题满分
12
分) 如图，函数
π
2cos()(0)
2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y 轴交于
点(0，且在该点处切线的斜率为2-．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点
00()Q x y ，是PA
的中点，当
0y =
，
0ππ2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．
20. (本小题满分12分)
若函数()sin f x x x a =+在(0, 2π)内有两个不同零点α、β. (Ⅰ)求实数a 的取值范围; (Ⅱ)求tan()αβ+的值.
21. (本小题满分12分)设函数()()f x a b c =∙+，其中向量(sin ,cos )a x x =-，
(sin ,3cos )b x x =-，(cos ,sin )c x x =-，x R ∈。

（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d 。

22．(本小题满分14分)已知函数2π()cos 12f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x
=+．
（I ）设
0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．
（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
三角函数与平面向量综合测试题参考答案
1. D 由
2T=
π
ω,逐一验证即可得出结果.
2. Ｃ 此题以三角函数为背景,考查命题的否定 : 全称命题的否定为特称命题,否定形式是改全称量词为特称量词,同时还须否定结论.由此不难得到答案.
3. D
|2cos 2sin |)2cos 2(sin
sin 12θ
θθθ
θ+=+=+, 故选D
4．O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，∴ 2OB OC OD +=，且
2OA OB OC ++=0，∴ 220OA OD +=，即AO OD =，选A
5. D 函数f(x)=3sin 21x, ∵x ∈[0, 3π],∴21x ∈[0, 6π],∴3sin 21
x
23≤
6. B (1+tan25°)(1+tan20°)=1+0
20tan 25tan 20tan 25tan ++
2
20tan 25tan 20tan 25tan 1120tan 25tan )20tan 25tan 1)(2025tan(10
000000000=+-+=+-++=
7. B ∵α、β为锐角∴
1
cos 0,1sin 0<<<<ββ
又sin(βα+)=βαβαsin cos cos sin +<ααcos sin +
∴b a <
8．解答：①
4422
sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．
【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角
函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.
9. D ∵)sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x=1处取最大值 ∴)1(+x f 在x=0处取最大值, 即y 轴是函数)1(+x f 的对称轴 ∴函数)1(+x f 是偶函数
10. A 要使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值
只需要最小正周期⋅45ωπ2≤1,故
π
ω25≥
11.【答案】B
【解析】解法一：23(1)BC BA AC i j i k j i k j
=+=--++=+-
（1） 若A 为直角，则(2)(3)606AB AC i j i k j k k ⋅=++=+=⇒=-； （2） 若B 为直角，则(2)[(1)]101AB BC i j i k j k k ⋅=++-=+=⇒=-；
（3） 若C 为直角，则
2
(3)[(1)]30AC BC i k j i k j k k k φ⋅=++-=-+=⇒∈。

所以 k 的可能值个数是2，选B
解法二：数形结合．如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C 点在直线x=3上，由图知，只可能A 、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B
12.解答：D 因为l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线， l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，所以过A 作 l2的垂线，交l2、l3分别于点D 、E ，如图，则∠BAD= ∠BAC+∠CAE ，即∠BAD=60°+∠CAE,记正三角形ABC
的边长为a,两边取余弦得：
CAE CAE a sin 60sin cos 60cos 1
︒-︒=，
即a a a a 2
23233211-⨯-⨯=
整理得
321
2,,1)9(32=
=-a a 解之得，故选D.
【点评】 本题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.
13．52
2sin2θ－3sin θcos θ=1tan tan 3tan 2cos sin cos sin 3sin 2222
22+-=+-θθθθθθθθ
14．34-
或43- ∵θsin －
57cos =
θ>1，且θ∈（0，π）∴θ∈（2π，π） ∴ (θsin －
2
2)57
()cos =θ ∴2sin θcos θ=2524
-
∴θsin +
51cos ±
=θ
∴sin θ=54 cos θ=53-或sin θ=53 cos θ=54
-
tan θ=34-
或43
-
15.【答案】8
3-
【分析】由余弦定理得
222222
cos 22AB AC BC AB AD BD B AB AC AB BD +-+-==
⨯⨯⨯⨯可得
BC =,AD ，
又,AD BC 夹角大小为ADB ∠
，22232cos 29BD AD AB ADB BD AD +-∠==-=⨯⨯
所以AD BC =
8cos 3AD BC ADB ⨯⨯∠=-
.
16．图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设
直角三角形的两条直角边长分别为a, b ，则22251
62a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
∴ 两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为θ，cos θ=54
， cos2θ=2cos2θ－1=7
25.
17.【解析】(1)(3,4),(3,4)AB AC c =--=--
由0AB AC ⋅=可得3(3)160c --+=, 解得
253c =
(2)当5c =时,
可得5,5AB AC BC ===, ΔABC 为等腰三角形 过B 作BD AC ⊥交AC 于D ,
可求得BD =
故
sin BD A AB =
=
(其它方法如①利用数量积AB AC ⋅求出cos A 进而求sin A ;②余弦定理,正弦定理等!)
18.【分析】()2cos (sin cos )1f x x x x =-+sin 2cos 2x x
=
-24x π⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭. 因此，函数()f x 的最小正周期为π.
(II)解法一：
因为
()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间33,84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上为减函数，
又
3330,1,884
244f f f ππ
ππππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
故函数()f x 在区间3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
最小值为1-.
解法二：作函数
()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间9,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下：
由图象得函数()f x 在区间3,84ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
最小值为314
f π
⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωφ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力.
19．解：（1）将0x =
，y =代入函数2cos()y x ωθ=+
得
cos θ=
因为
02θπ≤≤
，所以6θπ
=
．
又因为2sin()y x ωωθ'=-+，
2
x y ='=-，
6θπ
=
，所以2ω=，
因此
2cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭． （2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA
的中点，0y = 所以点P
的坐标为0
22x π⎛- ⎝
． 又因为点P 在
2cos 26y x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭
的图象上，所以05cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭
因为02x ππ≤≤，所以0751946
66x πππ-≤≤
， 从而得
0511466x ππ-
=或0513466x ππ
-=．
即023x π=
或034x π=．
20.解: (Ⅰ)∵sinx+3cosx=2(21sinx+23cosx)=2 sin(x+3π
),
而函数()sin f x x x a =++在(0, 2π)内有两个不同零点等价于关于x 的方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解
∴方程化为sin(x+3π
)=-2a
.
∵方程sinx+3cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解,
∴sin(x+3π)≠sin 3π
=23
.
又sin(x+3π
)≠±1 (∵当等于23
和±1时仅有一解), ∴|-2a |<1 . 且-2a
≠23. 即|a|<2 且a ≠-3.
∴ a 的取值范围是(-2, -3)∪(-3, 2). (Ⅱ) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α+3cos α+a=0 ①. sin β+3cos β+a=0 ②.
①-②得(sin α- sin β)+3( cos α- cos β)=0.
∴ 2sin
2β
α-cos
2β
α+-23sin
2β
α+sin
2β
α-=0, 又sin
2
β
α+≠0,
∴tan
2
β
α+=33.
∴tan(α+β)=
2
tan 22
tan
22
βαβα+-+=3.
21. 分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)
＝sin2x －2sinxcosx+3cos2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π
). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π
＝π.
（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832
π
π-
k ,k ∈Z ， 于是d ＝（832π
π-
k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z.
因为k 为整数，要使
d
最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π
，―2）即为所求.
点评：三角函数，三角形问题相结合也是一个很好的命题素材，主要考查向量的数量积、正
弦定理、余弦定理与三角函数等基础知识．在这种试题中一般考查学生的转化化归思想，要求学生利用三角形的几何特性，通过构造向量，将解三角形的问题转化化归为向量的基本关系和基本运算．
22．解：（I ）由题设知
1π()[1cos(2)]
26f x x =++． 因为
x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以
0π
26x +
πk =，
即
0 π
2π6x k =-
（k ∈Z ）．
所以
0011π
()1sin 21sin(π)
226g x x k =+=+-．
当k 为偶数时，
01π13()1sin 12644g x ⎛⎫
=+-=-=
⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，
01π15
()1sin 12644g x =+=+=
． （II ）
1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛
⎫=+=
++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
1π3113cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当
πππ2π22π232k x k -
++≤≤，即5ππ
ππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，
函数
1π3()sin 2232h x x ⎛
⎫=++
⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，（k ∈Z ）。