【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练17含解析

随堂巩固训练(17)
1. 某商品的进货单价为40元/个，按单价每个50元售出，能卖出50个．若零售价在50元/个的基础上每上涨1元，其销售量就减少1个，为了获得最大利润，则此商品的最佳零售价是__70__元/个．
解析：设最佳零售价为(50＋x)元/个，利润为y 元，则y ＝(50＋x －40)(50－x)＝－x 2＋40x ＋500＝－(x －20)2＋900(0<x<50)，所以当x ＝20时，y 取得最大值，所以最佳零售价为70元/个．
2. 某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年中的总仓储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总仓储费用之和最小，则每次需购买__30__吨．
解析：根据题意知总费用y ＝600x ×3＋2x ≥2600x ×3×2x ＝120，当且仅当600x
×3＝2x ，即x ＝30时等号成立，故每次需购买30吨．
3. 某驾驶员喝了1 000mL 某种酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧5x －2， 0≤x ≤1，
35×⎝⎛⎭⎫13x ， x ＞1.根据酒后驾驶与醉酒驾驶的标准及相应的处罚规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过__4__h 后才能开车．(精确到1h)
解析：当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；所以35×⎝⎛⎭⎫13x ≤0.02，解得x ≥4.故此驾驶员至少要经过4 h 后才能开车．
4. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在点B 测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__50__m. 解析：
如图，设水柱CD 的高为h.在Rt △ACD 中，因为∠DAC ＝45°，所
以AC ＝h.因为∠BAE ＝30°，所以∠BAC ＝60°.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，所以BC ＝3h.在△ABC 中，由余弦定理可得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC·ABcos 60°，即(3h)2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50m.
5. 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时的速度匀速直达B 市，已知两地的铁路线
长400千米，为了安全，两列货车的最小间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批物资全部运到B
市的最快需要__8__小时．(不计货车的身长)
解析：设这批物资全部运到B 市需要y 小时，因为不计货车的身长，所以设货车为一
个点，可知最前的点与最后的点之间的距离的最小值为16×⎝⎛⎭⎫v 202 千米时，时间最快，所以
y ＝⎝⎛⎭⎫v 202×16＋400v ＝v 25＋400v ≥2v 25×400v ＝8，当且仅当v 25＝400v
，即v ＝100时等号成立，所以最快需要8小时．
6. 如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高
为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD ＝2x ，梯形的面积为S ，则S 的最大值是__3227
__． 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则点B 的坐标为(1，－
1)．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py(p>0)，则2p ＝1，解得p ＝12
，
所以抛物线方程为x 2＝－y.因为CD ＝2x ，所以点D 的坐标为(x ，－
x 2)，
等腰梯形的高为1－x 2，所以S ＝2x ＋22
(1－x 2)＝(x ＋1)(1－x 2)，0＜x ＜1，求导可以得到当x ＝13时，S 取最大值3227
. 7. 某工厂引入一条生产线，投入资金250万元，每生产x 千件，需另投入成本w(x)，
当年产量不足80千件时，w(x)＝13
x 2＋10x(万元)，当年产量不小于80千件时，w(x)＝51x ＋10 000x
－1 450(万元)，当每件商品的售价为500元时，该厂产品全部售完． (1) 试写出年利润L(x)(万元)与年产量x(千件)的函数关系式；
(2) 当年产量为多少千件时该厂的利润最大？
解析：(1) 当每件商品售价为0.05万元时，x 千件销售额为0.05×1 000x ＝50x(万元)．
当0＜x ＜80时，L(x)＝50x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13
x 2＋40x －250； 当x ≥80时，L(x)＝50x －(51x ＋10 000x
－1 450)－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ， 故L(x)＝⎩
⎨⎧－13x 2＋40x －250， 0<x<80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ， x ≥80. (2) 当0＜x ＜80时，L(x)＝－13x 2＋40x －250＝－13
(x －60)2＋950， 故当x ＝60时，L(x)有最大值为950；
当x ≥80时，L(x)＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x·10 000x
＝1 000， 当且仅当x ＝10 000x
，即x ＝100时，L(x)有最大值为1 000， 故当年产量为100千件时，该厂的利润最大．
8. 如图，某市在海岛A 上建了一个水产养殖中心．在海岸线l 上有相距
70千米的B 、C 两个小镇，并且AB ＝30千米，AC ＝80千米．已知B 镇在养殖
中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人．现欲在BC
之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆
路运输每百人每千米的运输费用之比为1∶2.
(1) 求sin ∠ABC 的大小；
(2) 设∠ADB ＝θ，试确定θ的大小，使得运输总费用最少．
解析：(1) 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB·BC ＝900＋4 900－6 4002×30×70
＝－17， 所以sin ∠ABC ＝437
. (2) 由(1)知sin ∠DAB ＝sin(θ＋∠ABD)＝－17×sin θ＋437
cos θ， 在△ABD 中，由正弦定理得30sinθ＝AD 437 ＝BD －17sinθ＋437
cosθ， 解得AD ＝12037sinθ，BD ＝1203cosθ7sinθ－307
.
设水路运输每百人每千米的费用为k 元，则陆路运输每百人每千米的费用为2k 元，
则运输总费用y ＝(5CD ＋3BD)×2k ＋8k ×AD ＝20k ⎝
⎛⎭⎫35＋67＋2437×2－cosθsinθ. 令H(θ)＝2－cosθsinθ，则H′(θ)＝1－2cosθsin 2θ
. 当0＜θ＜π3时，H′(θ)＜0，H(θ)单调递减；当π3＜θ＜π2
时，H′(θ)＞0，H(θ)单调递增， 所以当θ＝π3
时，H(θ)取最小值，同时y 也取得最小值， 此时BD ＝907，满足0＜907
＜70， 故当θ＝π3
时，运输总费用最少． 9. 如图，OM ，ON 是两条海岸线，Q 为大海中一个小岛，A 为海岸线OM 上的一个
码头．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6km ，小岛Q 到海岸线OM ，ON 的距离分别为3km ，6105
km.现要在海岸线ON 上再建一个码头B ，使得水上旅游线路AB(直线)经过小岛Q.
(1) 求水上旅游线路AB 的长；
(2) 若小岛正北方向距离小岛6km 处的海中有一个圆形强水波P ，水波
生成th 时的半径为r ＝3at(其中0<a<5，a ∈R )(单位：km)．强水波开始生
成时，一游轮以18 2 km/h 的速度自码头A 开往码头B ，问强水波是否会
波及游轮的航行？并说明理由．
解析：(1) 以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．
则由题设知点A(6，0)，直线ON 的方程为y ＝－3x.
设点Q(x 0，3)(x 0>0)．
由|3x 0＋3|10
＝6105， 解得x 0＝3或x 0＝－5(舍去)，所以点Q(3，3)．
故直线AQ 的方程为y ＝－(x －6)，即x ＋y －6＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，x ＋y －6＝0得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝9，即点B(－3，9)， 所以AB ＝（－3－6）2＋92＝92(km)．
故水上旅游线路AB 的长为9 2 km.
(2) 由题意可得点P(3，9)，
当强水波生成t h 时，游轮在线段AB 上的点C 处，
则AC ＝182t ，0≤t ≤12
，所以点C(6－18t ，18t)． 若强水波不会波及游轮的航行，即PC 2>r 2对t ∈⎣⎡⎦
⎤0，12恒成立， 即PC 2＝(18t －3)2＋(9－18t)2>r 2＝9at 恒成立．
当t ＝0时，上式恒成立；
当t ≠0，即t ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，a<72t ＋10t
－48恒成立. 令g(t)＝72t ＋10t －48，t ∈⎝⎛⎦⎤0，12， 所以g(t)＝72t ＋10t
－48≥245－48， 当且仅当t ＝56∈⎝⎛⎦
⎤0，12时等号成立，
所以当0<a<245－48时，r<PC 恒成立．
故当0<a<5时，强水波不会波及游轮的航行．
10. 如图，有一块半径为R 的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形
游泳池ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰三角形CDE ，其中O 为圆心，点A ，B 在圆的直径上，点C ，D ，E 在圆周上．
(1) 设∠BOC ＝θ，征地面积记为f(θ)，求f(θ)的表达式；
(2) 当θ为何值时，征地面积最大？
解析：(1) 连结OE ，可得OE ＝R ，OB ＝Rcosθ，BC ＝Rsinθ，θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， 所以f(θ)＝2S 梯形OBCE ＝R 2(sinθcosθ＋cosθ)，θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2. (2) 由(1)得f′(θ)＝－R 2(2sinθ－1)(sinθ＋1)，
令f′(θ)＝0，得sinθ＋1＝0(舍去)或sinθ＝12
. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，f′(θ)>0，函数f(θ)单调递增；当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，f′(θ)<0，
函数f(θ)单调递减，
所以当θ＝π6
时，f(θ)取得最大值． 故当θ＝π6
时，征地面积最大．。