2009年新知杯上海市高中数学竞赛试卷及解析

2009年新知杯上海市高中数学竞赛试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
第II 卷（非选择题）
一、解答题
1.设函数f (x )定义于闭区间[0,1]，满足f (0)=0,f (1)=1，且对任意x 、y ∈
[0,1](x ≤y )，都有f (x+y 2
)=(1−a 2)f (x )+a 2f (y )，其中，常数a 满足0<
a <1.求a 的值.
2.如图，A 是双曲线
x 2
4
−y 2=1的右顶点，过A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右
支交于点M 、N .问：直线MN 是否一定过x 轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P ，试求出这个定点P 的坐标.
3.设A 、B 是集合{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5}的两个不同子集，使得A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集.求不同的有序集合对(A,B )的组数.
4.设正整数构成的数列{a n }使得a 10k−9+a 10k−8+⋅⋅⋅+a 10k ≤19对一切k ∈N 恒成立.
记该数列若干连续项的和∑
a p j p=i+1
为S (i,j )，其中i 、j ∈N +，且i <j .求证：所有
S (i,j )构成的集合等于N +.
二、填空题
5.设a 1,a 2,⋅⋅⋅,a 10
∈(1,+∞).则
log a 12009+log a 22009+⋅⋅⋅+log a 10
2009
log a 1a 2
⋅⋅⋅a 10
2009
的最小值是______.
6.已知,*x y N ∈，且21
12341999x y -+++++=+++++，当2x =时, y = ；若把y 表示成x 的函数，其解析式是y = . 7.已知函数f (x )
=|x 2−2|.若f (a )=f (b )，且0<a <b ，则ab 的取值范围是
______.
]=−y2+y+34的所有实数对(x,y)=______.
8.满足方程log2[2cos2(xy)+1
2cos2(xy)
9.若表示[a]不超过实数a的最大整数，则方程[tanx]=2sin2x的解是______.
10.不等式22x≤3×2x+√x+4×2√2x的解集是______.
11.设A是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即A={1,2,⋅⋅⋅,2009}，集合L⊆A，且L中任意两个不同元素之差都不等于4.则集合L元素个数的最大可能值是______.
12.平面内给出一个凸十边形及其所有对角线，在这样的图中至少有两个顶点是该凸十边形顶点的三角形有______个（用数字作答）.
参考答案
1.a =
√22
【解析】1. 易知f (
12
)=f (
0+12
)=(1−a 2)f (0)+a 2f (1)=a 2，
f (14)=f (0+12
2
)=(1−a 2)f (0)+a 2f (12
)=a 4， f (34
)=f (
12
+12
)=(1−a 2)f (1
2)+a 2f (1)=2a 2−a 4.
故f (
12
)=f (
14+34
2
)=(1−a 2)f (14
)+a 2f (3
4
)=−2a 6+3a 4.
由此得a 2=−2a 6+3a 4.
而0
<a <1，故a 2=12
，得a =√22
.
故答案为:a =
√22
2.P (103
,0)
【解析】2.
显然，右顶点A (2,0).
将y 轴向右平移2个单位，使A 成为新直角坐标系的原点.在新坐标系下，双曲线的方程为
(x ′+2)
24
−y 2=1，
即4y 2−x ′2
−4x ′=0.① 若MN
⊥x 轴，则AM 的斜率为1，即
l AM :y =x ′.
代入式①得M (43,43).
进而，N (
43
,−43).
所以，MN 与x 轴的交点P (43
,0).
若MN 不垂直x 轴，设
l MN :y =kx ′+t (t ≠0).
则
y−kx ′t
=1.
于是，式①可改写成
4y 2
−x
′2
−4x ′
⋅
y−kx ′
t
=0，
即4t (
y x
′
)2−4(y x
′)+4k −t =0. 上面以y
x ′为未知数的一元二次方程的两个根k 1、k 2即是AM 、AN 的斜率. 因为AM
⊥AN ，所以，
k 1k 2=4k−t 4t
=−1.
解得t
=−4
3
k .
故l MN :y =kx −4
3，它也过点P (
43
,0).
综上，在新坐标系中，直线MN 过x 轴上一定点P (43
,0)，即在原坐标系中，直线MN 过x
轴上的定点P (103
,0).
3.570
【解析】3.
集合{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5}有25
个子集，不同的有序集合对(A,B )有25(25
−1)组.
若A
⊂B ，并设B 含有k (1≤k ≤5)个元素.则满足A ⊂B 的有序集合对(A,B )的组数
为∑
C 3k 5i=1
(2
k
−1)=∑
C 3k 5i=0
(2
k
−1)=∑
C 3k 5i=0
2
k
−∑
C 3k 5k=0
=35−25
.
同理，满足B
⊂A 的有序集合对(A,B )也有35−25组.
所以，满足条件的有序集合对(A,B )的组数为25
(25
−1)−2(35−25)=570.
4.见解析
【解析】4. 显然，S (i,j )
∈N +.
接下来证明：对于任意的n 0
∈N +，存在S (i,j )=n 0.
用S n 表示数列{a n }的前n 项和，考虑10n 0
+10个前n 项和
S 1<S 2<⋅⋅⋅<S 10n 0+10.①
由题设知
S 10n 0+10=∑
∑
a 10i+j 10j=1
n 0
i=1
≤19(n 0+1).
另外，再考虑如下10n 0+10个正整数：
S 1+n 0<S 2+n 0<⋅⋅⋅<S 10n 0+10+n 0.②
显然，S 10n 0+10+n 0
≤20n 0+19.
这样，不等式①、②中出现20n 0
+20个正整数，都不超过20n 0+19.
由抽屉原理知，其中必有两个相等.
由于不等式①中各数两两不等，不等式②中各数也两两不等，故存在i 、j
∈N ，使得
S j =S i +n 0，即j >i ，且n 0=S j −S i =S (i,j ).
故所有S (i,j )构成的集合等于N . 5.100
【解析】5.
原式=(∑lg2009lga i 10
i=1
)lg (∏a i 10i=1)
lg2009
=(∑
1
lga i
10
i=1)(∑lga i 10i=1) ≥102
，
当且仅当a 1
=a 2=⋅⋅⋅=a 10时，上式等号成立.
故原式的最小值是100. 故答案为:100
6.4； 2
1
3-=x y
【解析】6.
试题由
()1192
19
x y y +-=-得：()()()
2223131x x y y +=+-
又 ,*x y N ∈ 因此 2231,231x
x
y y +=+=-2
1
3-=⇒x y 。

7.(0,2)
【解析】7. 如图，由y
=f (x )的图像可知，使得f (a )=f (b )，且0<a <b 的只能是0<a <
√2<b <2，且f (a )=2−a 2,f (b )=b 2−2.
故2−a2=b2−2，即a2+b2=4.
因此，a、b可表示成b=2cosθ,a=2sinθ(0<θ<π
4 ).
于是，ab=4cosθ⋅sinθ=2sin2θ.
由于0<2θ<π
2
，故ab的取值范围为(0,2).
故答案为:(0,2)
8.(kπ+π2,12)(k∈Z)
【解析】8.
由2cos2(xy)>0，得左边≥log22=1.
而右边=−(y−1
2
)2+1≤1.
因此，只能左边=右边=1.
故y=1
2
,2cos2(xy)=1
2cos2(xy)
=1⇒cos2x
2
=1+cosx
2
=1
2
⇒cosx=0⇒x=
kπ+π
2
(k∈Z).
故答案为:(kπ+π2,12)(k∈Z) 9.x=kπ或lπ+π4(k、l∈Z)【解析】9.
若[tanx]=0，则
sinx=0⇒x=kπ(k∈Z)；
若[tanx]=1，则sinx=±√2
2
⇒x=lπ+π
4
(l∈Z)；
若[tanx]=2，则sinx=±1，原方程无解.
综上，原方程的解为x=kπ或lπ+π
4
(k、l∈Z).
故答案为:x=kπ或lπ+π
4
(k、l∈Z)
10.[0,4]
【解析】10.
4×22√x+3×2x+√x≥22x
⇔4+3×2x−√x≥22x−2√x
⇔(2x−√x)2−3×2x−√x−4≤0
⇔−1≤2x−√x≤4⇔x−√x≤2
⇔(√x)2−√x−2≤0
⇔−1≤√x≤2⇔0≤x≤4.
故答案为:[0,4]
11.1005
【解析】11.
将集合A划分成如下1005个子集：
A4k+i={8k+i,8k+i+4}(i=1,2,3,4;k=0,1,⋅⋅⋅,250),A1005={2009}.
若L的元素个数大于1005，则上述前1004个子集中至少有一个是L的子集，
即L中存在两个元素之差等于4.
另外，在前边1005个子集中各取一个元素构成的集合L满足条件.
因此，集合L元素个数的最大可能值为1005.
故答案为:1005
12.960
【解析】12.
三个顶点都是凸十边形顶点的三角形有C103个.
仅有两个顶点是凸十边形顶点的三角形，另一个顶点必是两条对角线的交点.两条对角线确定凸十边形的四个顶点，而四个顶点及对应的两条对角线的交点可得四个仅有两个顶点是凸十边形顶点的三角形.因此，仅有两个顶点是该凸十边形顶点的三角形有4C104个.
综上，所求三角形的个数为C103+4C104=960.
故答案为:960。