复合函数求导
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故在 ， 两点处的切线斜率必须一个是1，一个是-1.
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有 ， ，
则可得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是利用导数得出切线斜率在 范围内，从而根据垂直得出斜率必须一个是1，一个是-1.
2．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的导函数是 ，且 ，则实数 的值为（）
C．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍
D．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
【答案】D
【分析】
先求得 ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意 ，所以由 向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到 的图像.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
6．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高二月考）已知下列四个命题，其中正确的个数有（）
① ，② ，③ （ ，且 ），④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】
由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.
【详解】
① ，所以①错误；
② ，所以②错误；
③ （ ，且 ），所以③错误；
④ ，所以④错误.
．
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ，
所以 ．
故函数 在 上单调递减．
当 时， ．
又当 时， ， ，
所以函数 在 上的取值范围是 ．
[说明：对当 时， 的证法：
因为 （当 时，取等号），
所以 ，
而当 时， ，
所以当 时， ．
又 （当，
故当 时， ]
【点睛】
本题考查了常见函数的导数公式，考查了导数的运算法则，考查了复合函数的求导法则，考查了利用导数求函数的值域，属于中档题.
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
求出导函数，由 ，可求出实数 的值.
【详解】
求导得 ，则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复合函数的导数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
3．（2020·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（理））已知函数 ( )， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（）
12．（2020·西藏山南市·山南二中高三一模（理））已知函数 ，则过原点且与曲线 相切的直线方程为____________.
【答案】
【分析】
设切点坐标为 ，利用导数求出曲线 在切点 的切线方程，将原点代入切线方程，求出 的值，于此可得出所求的切线方程．
【详解】
设切点坐标为 ， ， ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，
13．（2018·浙江高三其他模拟）设函数 ．
（Ⅰ）求 的导函数；
（Ⅱ）求 在 上的取值范围．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）运用导数公式与复合函数的求导法则求导化简即可；
（Ⅱ）根据给定的 ，利用指对数函数性质，判定导函数的符号，判断出函数在该区间的单调性，从而求出函数的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）
.
所以曲线 在 处的切线的斜率为4.
故选D
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查求导和切线的斜率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8．（2020·全国高三专题练习）若 ，则 ________， ________.
【答案】1 13
【分析】
设 ， ，根据 得到 ，再令 即得解.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以
因为 为奇函数，则 ，即 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，
对于①， ，故①错误；
对于②，因为 ，当 时， ，当 时， ，∴ 在 上存在一个极小值点，没有极大值点，故②错误；
对于③，令 ，得 ， ，若 在 上存在零点，则 且a的最小值为 ，故③正确；
对于④， ，当 时， ，则 在 上单调递增，故④正确；
复合函数求导
1．（2021·全国高三专题练习）若曲线 在 ， 两点处的切线互相垂直，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
化简可得 ，求出导数可得切线斜率在 范围内，即可得出切线斜率必须一个是1，一个是-1，即可求出.
【详解】
，
曲线的切线斜率在 范围内，
又曲线在两点处的切线互相垂直，
由于该直线过原点，则 ，得 ，
因此，则过原点且与曲线 相切的直线方程为 ，故答案为 ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：
（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；
（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；
（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．
【详解】
解：因为 ，
由于 且 ，解得： 且 ，
即 的定义域为： ，
，
即： .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导，考查计算能力．
11．（2017·上海市宜川中学高三三模（理））设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为__________．
【答案】
【分析】
【详解】
设 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
即 ，
取 得： ，
又 ，
故 ，
故答案为：1，13.
【点睛】
本题主要考查函数求导，考查二项式系数和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．（2020·陕西高三其他模拟（理））曲线 在点 处的切线方程是_____．
【答案】
【分析】
根据导数的几何意义求解即可.
根据曲线 在点 处的切线的斜率列方程，解方程求得 的值，进而求得 的值.
【详解】
直线 的斜率为 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 . ， ，所以 ，所以 = .
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两直线垂直时斜率的关系，考查复合函数导数的求法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
① ；
② 在 有且仅有一个极大值点；
③ 在 上存在零点，则a的最小值为 ；
④ 在 上单调递增；
A．①②B．①③④C．③④D．②③④
【答案】C
【分析】
根据 为奇函数，求出 ，可知①错误；当 时， ，当 时， ，可知②错误；根据函数 的零点为 ， ,可知③正确；当 时， ， 为单调递减函数，可知④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点，考查了正弦函数的单调性，属于中档题.
4．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数 ， ， ， ，…，依此类推， （）
A． B． C．0D．
【答案】A
【分析】
结合函数导数的求解，求出 ， ， ， ， ，…，找出规律，即可求出 ，继而可求出 的值.
故选A
【点睛】
本题考查了指数，对数，三角复合函数的求导公式，熟练掌握公式是关键，属于基础题.
7．（2019·河南新乡市·高考模拟（理））若 为奇函数，则曲线 在 处的切线的斜率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据函数的奇偶性求出a=2,再求出函数的导数和切线的斜率.
【详解】
是奇函数 ， ， ， ，
【详解】
解： ， ，
， ，
，…，由 ，
得 ，则 .
故选:A.
【点睛】
本题考查了导数的求解.本题的关键是找出函数解析式的规律.
5．（2020·全国高三专题练习）要得到函数 的导函数 的图像，只需将 的图像（）
A．向右平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B．向右平移 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍
【详解】
因为 ，故 ，故 ，又 ，
故 在点 处的切线方程为 ，即为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题，属于基础题.
10．（2020·天津市第四十二中学高三其他模拟）函数 的导函数是 ，则 ______________.
【答案】
【分析】
利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值．
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有 ， ，
则可得 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解题的关键是利用导数得出切线斜率在 范围内，从而根据垂直得出斜率必须一个是1，一个是-1.
2．（2020·全国高二课时练习）已知函数 的导函数是 ，且 ，则实数 的值为（）
C．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍
D．向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
【答案】D
【分析】
先求得 ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意 ，所以由 向左平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到 的图像.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
6．（2020·河北张家口市·涿鹿中学高二月考）已知下列四个命题，其中正确的个数有（）
① ，② ，③ （ ，且 ），④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【分析】
由指数，对数，三角函数的求导公式一一判断即可.
【详解】
① ，所以①错误；
② ，所以②错误；
③ （ ，且 ），所以③错误；
④ ，所以④错误.
．
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ，
所以 ．
故函数 在 上单调递减．
当 时， ．
又当 时， ， ，
所以函数 在 上的取值范围是 ．
[说明：对当 时， 的证法：
因为 （当 时，取等号），
所以 ，
而当 时， ，
所以当 时， ．
又 （当，
故当 时， ]
【点睛】
本题考查了常见函数的导数公式，考查了导数的运算法则，考查了复合函数的求导法则，考查了利用导数求函数的值域，属于中档题.
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
求出导函数，由 ，可求出实数 的值.
【详解】
求导得 ，则 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查复合函数的导数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
3．（2020·湖南长沙市·雅礼中学高三月考（理））已知函数 ( )， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（）
12．（2020·西藏山南市·山南二中高三一模（理））已知函数 ，则过原点且与曲线 相切的直线方程为____________.
【答案】
【分析】
设切点坐标为 ，利用导数求出曲线 在切点 的切线方程，将原点代入切线方程，求出 的值，于此可得出所求的切线方程．
【详解】
设切点坐标为 ， ， ， ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，
13．（2018·浙江高三其他模拟）设函数 ．
（Ⅰ）求 的导函数；
（Ⅱ）求 在 上的取值范围．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）运用导数公式与复合函数的求导法则求导化简即可；
（Ⅱ）根据给定的 ，利用指对数函数性质，判定导函数的符号，判断出函数在该区间的单调性，从而求出函数的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）
.
所以曲线 在 处的切线的斜率为4.
故选D
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查求导和切线的斜率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8．（2020·全国高三专题练习）若 ，则 ________， ________.
【答案】1 13
【分析】
设 ， ，根据 得到 ，再令 即得解.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以
因为 为奇函数，则 ，即 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，
对于①， ，故①错误；
对于②，因为 ，当 时， ，当 时， ，∴ 在 上存在一个极小值点，没有极大值点，故②错误；
对于③，令 ，得 ， ，若 在 上存在零点，则 且a的最小值为 ，故③正确；
对于④， ，当 时， ，则 在 上单调递增，故④正确；
复合函数求导
1．（2021·全国高三专题练习）若曲线 在 ， 两点处的切线互相垂直，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
化简可得 ，求出导数可得切线斜率在 范围内，即可得出切线斜率必须一个是1，一个是-1，即可求出.
【详解】
，
曲线的切线斜率在 范围内，
又曲线在两点处的切线互相垂直，
由于该直线过原点，则 ，得 ，
因此，则过原点且与曲线 相切的直线方程为 ，故答案为 ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：
（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；
（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；
（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．
【详解】
解：因为 ，
由于 且 ，解得： 且 ，
即 的定义域为： ，
，
即： .
故答案为： ．
【点睛】
本题考查基本函数求导公式和导数运算法则，以及复合函数求导，考查计算能力．
11．（2017·上海市宜川中学高三三模（理））设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的值为__________．
【答案】
【分析】
【详解】
设 ， ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
即 ，
取 得： ，
又 ，
故 ，
故答案为：1，13.
【点睛】
本题主要考查函数求导，考查二项式系数和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．（2020·陕西高三其他模拟（理））曲线 在点 处的切线方程是_____．
【答案】
【分析】
根据导数的几何意义求解即可.
根据曲线 在点 处的切线的斜率列方程，解方程求得 的值，进而求得 的值.
【详解】
直线 的斜率为 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 . ， ，所以 ，所以 = .
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两直线垂直时斜率的关系，考查复合函数导数的求法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
① ；
② 在 有且仅有一个极大值点；
③ 在 上存在零点，则a的最小值为 ；
④ 在 上单调递增；
A．①②B．①③④C．③④D．②③④
【答案】C
【分析】
根据 为奇函数，求出 ，可知①错误；当 时， ，当 时， ，可知②错误；根据函数 的零点为 ， ,可知③正确；当 时， ， 为单调递减函数，可知④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点，考查了正弦函数的单调性，属于中档题.
4．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数 ， ， ， ，…，依此类推， （）
A． B． C．0D．
【答案】A
【分析】
结合函数导数的求解，求出 ， ， ， ， ，…，找出规律，即可求出 ，继而可求出 的值.
故选A
【点睛】
本题考查了指数，对数，三角复合函数的求导公式，熟练掌握公式是关键，属于基础题.
7．（2019·河南新乡市·高考模拟（理））若 为奇函数，则曲线 在 处的切线的斜率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据函数的奇偶性求出a=2,再求出函数的导数和切线的斜率.
【详解】
是奇函数 ， ， ， ，
【详解】
解： ， ，
， ，
，…，由 ，
得 ，则 .
故选:A.
【点睛】
本题考查了导数的求解.本题的关键是找出函数解析式的规律.
5．（2020·全国高三专题练习）要得到函数 的导函数 的图像，只需将 的图像（）
A．向右平移 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B．向右平移 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍
【详解】
因为 ，故 ，故 ，又 ，
故 在点 处的切线方程为 ，即为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题，属于基础题.
10．（2020·天津市第四十二中学高三其他模拟）函数 的导函数是 ，则 ______________.
【答案】
【分析】
利用基本函数求导公式和导数运算法则，求出导数，然后代入求值．