专题8 利用导数研究函数的零点问题 2023届高考一轮复习满分强化题组训练(全国通用版)解析版

【导数综合问题】

专题8利用导数研究函数的零点问题

2023届高考一轮复习满分强化题组训练（全国通用版）

1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知函数()2

1ln 2

f x x a x ax =

--()0a >．(1)讨论()f x 的单调性；

(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的值．【答案】(1)答案见解析(2)12

a =

【解析】【分析】

（1）利用导数判断单调性，结合0a >，则0∆>，同时注意定义域对根进行取舍；（2）根据题意()()2min f x f x =，分()20f x =和()20f x <两种情况讨论处理．(1)()()21

a f x x a x ax a x x

'=-

-=--，令()0f x '=，得20x ax a --=．

因为0a >，则240a a ∆=+>，即原方程有两根设为12

,x x 0x >，所以21402

a a a x -+=（舍去）

，2

242a a a x ++=则当242a a a x ⎛⎫

++∈⎪ ⎪⎝⎭

时，()0f x '<，当242a a a x ⎫++∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>()f x 在242a a a

⎛++ ⎝

⎭上是减函数，在242a a a

⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭

上是增函数．

(2)

由（1）可知()()2min f x f x =．

①若()2

0f x =，则()()220,

0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即2

22222210,20,

x alnx ax x ax a ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --=，设()12ln h x x x =--，()h x 在()0,∞+上单调递减所以()0h x =至多有一解且()10h =，则21x =，

代入解得12

a =

．②若()20f x <，则()()220,0,f x f x ⎧<⎪

⎨='⎪⎩，即2

22222210,20,

x alnx ax x ax a ⎧--<⎪⎨⎪--=⎩，可得2212ln 0x x --<，

结合①可得21>x ，

因为21

1e x <<，

211

11ln e 2e

e e

f a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2102e e a a =+->，

所以()y f x =在21,e

x ⎛⎫

⎪⎝

⎭

存在一个零点．

当4x a >时，()2ln f x ax a x ax >--()ln 0a x x =->，

所以()y f x =在()2,x +∞存在一个零点．因此()y f x =存在两个零点，不合题意综上所述：12

a =

．2．

（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()0a x

f x x a x -=⋅>，（0a >且1a ≠）.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；

(2)若函数()()1h x f x =-有两个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)增区间为20,ln 2⎛

⎫ ⎪⎝⎭，减区间为2,ln 2⎛⎫+∞

⎪⎝⎭

(2)()()1,,+∞ e e 【解析】【分析】

（1）直接对函数进行求导，根据导数与0的关系即可得结果；（2）将已知转化为()1f x =在()0,∞+有两个不等实根，变形可得ln ln x a

x a =，令()ln x g x x

=，利用()g x 的单调性及其图象即可得结果.(1)

当2a =时，()22x

f x x -=⋅，

()()

()

2

2

2ln 2222ln 222x x x

x x x x x f x -⋅-⋅'=

=

当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当2,ln 2x ⎛⎫

∈+∞

⎪⎝⎭

时()0f x '<；故()f x 的单调递增区间为20,ln 2⎛

⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为2,ln 2⎛⎫+∞

⎪⎝⎭

.(2)

由题意知()1f x =在()0,∞+有两个不等实根，

ln ()1ln l n n l a x f x x a a x x a

x x a

a ==⇔=⇔=⇔

，令()ln x g x x

=

，21ln ()x

g x x -'=，

所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；

又0x +→，()g x →-∞，()1

g e e

=，()10g =，x →+∞，()0g x →，

作出()g x

的图象如图所示：

由图可知ln 1

0a a e

<

<，解得1a >且a e ≠，即a 的取值范围为()()1,,+∞ e e .

3．（2022·山西太原·三模（理））已知函数()2e x

f x ax =-.

(1)若函数()f x 的图像与直线1y x =-+相切，求实数a 的值；(2)若函数()()1g x f x x =+-有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.

【答案】(1)2e 14a -=

(2)（0，2e 1

4

-）

【解析】【分析】

(1)设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于a 的方程组，解之即可；

(2)由二次函数和指数函数的性质知当0x =时不符合题意，故0x ≠，利用分离参数法可得

2

e 1()x x a h x x -+==，根据导数研究函数()h x 的单调性，结合图形即可得出结果.

(1)

()2e x f x ax '=-，设切点为00(,())x f x ，

则()()00011f x x f x ⎧=-+-'⎪⎨=⎪⎩

∴00

2

000e 12e 1x x ax x ax ⎧-=-+⎪⎨-=-⎪⎩