统计学基础知识梳理

一、基础知识及应用
（七）显著水平与单样本假设检验
• 怎么去算55这个值呢？使用如下的公式：
• 上面的公式，其实不是拿来求55的，而是求50或者59对应的z值；
• 然后我们自己定义了一个想要的概率，比如90%，那我们知道一个对应的
z值是-1.65；
• 然后拿50或者59对应的z和-1.65比，就行了；
还健在，也不知道会活多少岁，我们顶多是把过去几年死了的土豪
们拉出来看看各自活了多大；
• 假如我们找过去三年死了的土豪，一共找了200个人，这200个人就
构成了一个样本，我们就可以试着通过研究这200个人的样本特征，
去推断整个土豪群体的平均寿命是否超过了100岁（其实我们只能知
道它是否肯定超过了100岁）
面的公式了：
一、基础知识及应用
（六）总体均值估计与置信水平
• 总体均值估计就是在只有个
别样本的情况下，想知道一
个总体均值位置的一种实用
方法；
• 其原理就是通过一个样本，
可以求得一个样本均值，然
后我们发现当样本数量很大
的候，样本均值会离总体
均值越来越近，因为总体均
值就是样本均值的均值~；
• 把这个样本均值分布转换成
多少。
• 想把一个正态分布转换成标准正态分布，只需要用下面的公式就可
以了：
• 现在有计算机，其实任何正态分布都可以直接求概率，无需转换为z
分布了.
一、基础知识及应用
（五点一）样本均值的概率分布
• 所谓样本均值，就是一个总体，比如p3班所有同学的年龄，我们可
以求出一个年龄的均值来；
• 然后任意找两个同学，可以求出一个均值来，这个均值一般都不等
• 所谓超几何分布，就是每次结果之间互相干扰的一种方法，比如你
还是丢硬币，但接硬币的桌子有毛病，当你这次丢出正了以后，桌
子会往一个方向歪，让你下次丢出反面的概率更大，如果你丢出反
面，桌子会往另一边歪，让你下次丢出正面的概率更大，连续多次
丢出正面，桌子就可能彻底歪到反面了，简单说就是每次丢硬币，
概率不再维持π不变了。
发现出现正面的可能有301种，每个概率算起来很复杂，所以有人推
倒出一个公式叫泊松分布概率公式，用这个公式算起来相对容易一
些。
一、基础知识及应用
（三）二项分布与泊松分布
• 任何时候二项分布概率都比泊松分布算出来的概率要更准确，尤其
是现在有了计算机，可以方便的算出来二项分布的概率是多少，不
管n是几。
• 这个性质也可以推及后文的t分布；
• 我们基本上可以断定，50对应的z肯定比-1.65小，59对应的肯定比-1.65
大；
• 这样，我们就通过一个小样本，揭开了砖家的嘴脸；
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（七）显著水平与单样本假设检验
• 我们有时候会用t分布去算，有时候又用z分布；
• 其实和求总体均值的时候一样，如果n太小，z的误差就太大了，容易被
• 样本就是其中抓出来的一部分，例如你持仓的股票；
• 总体的均值用μ表示，有时候也叫期望；
• 样本的均值用 X 表示。
• 有时候我们研究的问题是一个比例事件，比如本年级定向同学占比；
• 那么总体就是全年级的同学，而样本是根据我们的研究方向而取的
一个合集，比如所有P3班同学；
• 那么这时候可以得到一个全年级定向同学的占比，也就是总体的比
• 或者还有一种情况是比如你从袋子里拿球，如果拿出来再放回去，
那每次概率不变，但如果拿出来不放回去，那下次拿的概率就变了，
这种就不是二项分布了，就是超几何分布。
• 当总体很大的时候，比如袋子里球很多，可以忽略误差，但如果总
体很小，就无法忽略了。
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（四）正态分布与非正态分布
• 正态分布就是符合下述公式计算的一种分布方式，现实中很多东西
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统计学基本知识梳理
一、基础知识及应用
重要定义：
• 总体与样本
• 样本均值与总体均值
• 总体比例与样本比例
• 方差与标准差
• 二项分布与泊松分布
• 正态分布与非正态分布
• z分布与t 分布
• 总体均值估计与置信水平
• 显著水平与单样本假设检验
一、基础知识及应用
（一）总体与样本
• 总体就是一个东西的合集，例如A股所有的股票；
• 标准差就是把它开个根号
• 这个n-1也叫做这个样本的自由度；
一、基础知识及应用
（三）二项分布与泊松分布
• 当你丢硬币的时候，只有正反两个可能，而且硬币正反面出现的概
率相同，每次丢结果互不干扰；
• 当你丢了3次的时候，就会有以下几种可能：
• 0次正，1次正，2次正，3次正；
• 这就构成了一个n=3的二项分布；
• 有四种可能性：
• 1.有钱确实能活过100，这200人均也活过了；
• 2.有钱能活过100，但这200人均没活过；
• 3.有钱也活不过100，但这200人均活过了；
• 4.有钱也活不过100，这200人均也确实没活过；
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（七）显著水平与单样本假设检验
• 在日常生活中，其实我们不是很关心“有钱也活不过100，但这200人
布的样子长的很像正态分布；
• 而且当n越大的时候，就越
像正态分布，经过研究，总
结出了定理：
• 1）在n足够大（n=30的时
候）的时候 样本均值，近似
服从正态分布。
• 2）μ =μx（这里缺一撇）
• 3）方差 中心极限定理 (n越
大，波动越小)
• 中心极限定理非常有用，其
意义就是我们可以通过研究
样本均值来推倒总体的性质。
• 另一个例子，所有股票都只有涨跌两种，那么统计其自上市来涨跌
的次数，就能得出一个涨的比例π，假如是0.5，然后比如取两个星
期n=10，然后你发现过去9天这股票都在跌，那你就能算出第10天
这股票还跌的可能只有1/1024，这个很小了，所以可以说第10天这
股票肯定涨（此处保留部分内容）。
• 所谓泊松分布，就是当n太大的时候，比如你要丢300次硬币，你会
大还是小于100；
• 这个5%就叫显著水平，这个过程就叫假设
检验；
一、基础知识及应用
（七）显著水平与单样本假设检验
• 现在研究另一个问题，有无良砖家说，现代人哪怕再穷，也至少活60岁，
或者说所有穷人的人均寿命>=60岁；
• 那我们就先当他说的是真的，假设所有穷人人均寿命>=60，然后我们去抽
样；
• 我们还是找了过去挂掉的200个穷人，发现其人均寿命只有50岁，所以我们
• 除以数字的个数，就得到方差了。
• 比如数字1，2，3，平均值是2，方差就是2/3；
• 标准差就是把它开个根号
• 标准差能够很好的反应这堆数字之间的波动情况。
一、基础知识及应用
（二）方差与标准差
• 样本的方差与总体有些不一样，它需要除以n-1，原因是从统计上算，
这玩意更靠近总体的方差；
• 比如数字1，2，3，平均值是2，方差就是1；
所以把它变成z分布；
• 我们会发现，如果事实上能活过100，那
200人人均小于100的概率会很小，而且是
越往左，概率越小，如果z为1.65，概率就
只有5%了；
一、基础知识及应用
（七）显著水平与单样本假设检验
• 现在反过来理解这个问题；
• 假如我们假定有钱人均寿命最多100，那任
意样本均值在100右边的概率就会越来越小；
可以认为这砖家就是在鬼扯；
• 如果我们发现这200人的人均寿命是59岁，
那我们就不能绝对的反驳说这砖家说的是
错的了；
• 所以我们就需要一个值，来分界50和59；
• 这个值就和概率有关，比如我们算出来小
于55岁的概率已经是95%了，如果样本均
值还是小于55岁，我们就可以说砖家是鬼
扯，如果样本均值是59，那就不好说了。
砖家抓住把柄，用t分布能消除一些误差；
• 当使用计算机软件的时候，因为计算机不怕累，所以基本上都是用的t分
布，但我们考试的时候，我觉得用z分布老师也不会判错；
• 在实际工作生活中，如果遇到上述问题，用t分布应该更好；
一、基础知识及应用
（七）显著水平与单样本假设检验
• 还有一种砖家，更嚣张，和我们说，穷人的人均寿命就是60岁；
以了，这就叫累积概率；
一、基础知识及应用
（三）二项分布与泊松分布
• 二项分布总体的均值（期望）就是μ=n*π，就是说你如果丢10次硬
币，你觉得会出现5次是正面的；
• 如果这个硬币歪了，比如π变成了0.4，那你丢10次硬币，你觉得会
出现4次是正面的，这就叫期望；
• 二项分布总体的方差2=n*π*（1-π）
例，就是全年级所有定向同学除以年级人数，我们叫π；
• 而P3班同学中定向的占比，就是这个样本的比例，叫P；
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（二）方差与标准差
• 当你得到一堆数字的时候，你可能会想知道这堆数字之间有什么规
律，那就要对这些数字比大小；
• 首先需要一个参考数，就用这堆数字的均值μ；
• 然后每个数减去μ，平方后求和；
• 也就是说，每一个样本，可以通过样本均
值和样本标准差求出一个z，拿这个z和我
们希望的显著水平对应的z1去比，比如我
们希望是95%对应的z0=1.96，如果比z0大，
就说明所有土豪的平均寿命应该确实超过
100岁了，否则一个样本的均值不可能在这
么大的地方，
• 如果求出来比z0小，那只能说明有钱人人
均寿命是多少都有可能了，无法判断到底
于总体均值；
• 把所有任意两个同学的年龄均值都求一遍，就得到一堆数字了，而
且数量要比同学总数还多；
• 然后我们就得到了一个n=2的样本均值的随机变量；
• 把这个随机变量画成频数分布图，就会发现是一个中间高，两边低
的图形，这个就叫样本均值的概率分布。
一、基础知识及应用
（五点二）中心极限定理
• 数学家们发现，样本均值分
• 这种砖家就更好对付了，我抽一个样本，如果人均寿命是50岁或者70岁，
那说明肯定不是60岁，如果是59或者61，那就不好说了；
• 那同样的道理，在右边再找一个z值就可以了，这种就叫双边假设检验，
对应的显著水平就会翻倍；
• 当然因为显著水平是给定的，所以其实是在做单边假设检验的时候，给我
一、基础知识及应用
（五）z分布与t 分布
• 所谓t分布就是把右边这些图，
用求z分布的公式照猫画虎
一下，把均值和方差的影响
消除掉；
• 任何一个样本均值的分布，
所有的t分布都不是正态分布，
但n越大，t分布就越陡峭，
就越接近z分布；
• 因为我们不知道样本均值分
布的方差，所以就用中心极
限定理公式来替换，就有下
（六）总体均值估计与置信水平
• 右边这个图是样本均值的分
布图，也就是说，其本质其
实是个t分布图；
• 也就是说，其实我们用t分布
的值去求置信区间和置信水
平将更准确；
• 但因为t分布和n有关，在手
算的时候比较麻烦，所以老
师会用z分布，而计算机和
课后习题上会用t分布；
• 对于小样本，就是n<30的样
本，z分布求出来的置信区
间的误差会变得很大，用t分
布能好一些，但前提是总体
是服从正态分布的，否则误
差还是很大。
一、基础知识及应用
（七）显著水平与单样本假设检验
• 有时候，我们会遇到一些这玩意正常不正常的问题，比如有人说，
只要有钱，就能活过100岁，你想知道这事儿对不对；
• 我们不可能说把自古以来所有马云爸爸都揪出来算，况且马云爸爸
• 对于丢硬币这个实验来说，总体是丢无限次这个硬币，样本就是你
丢的这三次；这时候我们可能需要评估一个样本的比例，也就是正
面出现的概率，就是说你会预估自己下三次丢的时候，会出现几次
正面；
• 因为每次丢出现正面概率都是0.5，通过排列组合就可以求出现各种
出现正面的概率了；
• 如果想知道最多只出现了1次的概率，就把0次的和1次的加起来就可
都是符合正太分布的。
• 正态分布我们一般关心它
的均值和标准差，有了均
值和标准差就可以很容易
找到一个正态分布。
• 并非所有的连续分布都是
正态分布。
一、基础知识及应用
（五）z分布与t 分布
• 所谓z分布，就是标准差是1，均值是0的正态分布，又叫标准正态分
布，用z分布的意义，就是为了方便的求任何正态分布的概率应该是
z分布，方便观察；
• 我们发现，z越大，左右包
含的范围就越广，就越有可 • 取一个合理的z值，这个z值对应的概率，就叫
置信水平，这个概率是中间这部分的面积。
能把总体均值包含在里面；
• 但相对的，z越大，这个区 • 这个范围样本均值加减z倍标准差的范围就叫
置信区间
间就越大，超过一定值就没
有意义了。
一、基础知识及应用
活过”的情况，因为没法验证，这个老师说下节课讲；
• 我们希望的是，假如我们找了200人做了一个样本，我们希望我们的
样本很有说服力，也就是说，我们希望“有钱能活过100，但这200人
人均没活过”的概率最小，这个概率就叫显著水平；
• 200个人的样本能得出一个样本均值，我们
知道样本均值服从正态分布（200>30），