圆锥曲线总复习(重要知识)
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思路2: (参数法)
设A(2cos , 2 sin ), B(2cos , 2 sin ), P(2cos , y)
则 y 2 sin • y 2 sin 1, y2 2sin2 1
故点P的轨迹方程为
x 2cos
y
2
2 sin 2
(为参数）
1
消去参数即得。
重点辅导
9
（二）圆锥曲线中的
足：AF1 AF2 4
（1）求椭圆的两焦点坐标；
（2）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、
AD的倾斜角互补，试判断直线 CD的
斜率是否为定值？
重点辅导
13
小结：
圆锥曲线中的定点、 定值问题必然与参数联系 在一起，解决问题的关键 是合理使用参数，找出与 参数变化无关的点或值。
重点辅导
14
（三）圆锥曲线中的
定
第一定义
焦点坐标 准线方程 渐近线方程
义
焦半径公式
第二定义
有关距离
标准方程 双
曲
方程的推导
ห้องสมุดไป่ตู้
范围
线
对称性及中心
几何性质
顶点及实虚轴
离心率 a,b,c关系
相交
直线与双曲线的位置关系
相离
重点辅导
相切
焦点到准线的距离 两准线间距离
有两个交点 求弦长 有一个交点
3
抛物线知识网络结构图
焦点坐标 定
准线方程 义
最值问题
重点辅导
15
例3.已知抛物线y2=4x的顶点为O，点 A（5，0），斜率为1的直线l与线段 OA相交，但不过O、A两点，且交抛 物线于M 、N两点，求∆AMN面积的 最大值及相应的直线l的方程。
分析：设直线l的方程为：x=y+a;则直
线l与OA的交点P(a,0),且0<a<5,于是
SAMN SMAP SNAP
再由方程组和均值不等式求得最值。
8 2; x y 1 0
重点辅导
16
练习：
已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛 物线 y2=2px(p>0) 过焦点F的弦的
两个端点。
（1）
求证：y1y2 、x1x2皆为定值；（2）
求
tan 的AO最B大值（其中O为
坐标原点）。
4
3
重点辅导
17
注：定点与参数的变化无关，故 定点的坐标中不重点辅能导 含有参数。 11
练习：
不论 k 为何实数，曲线
3x2+2y2+kx-ky+ 5 k-6=0
恒过定点，求这个定点的坐标。
( 2 5, 3 5) 55
重点辅导
12
例2.
已知A(1,1)是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，且满
焦点到准线的距离
抛
标准方程
物
方程的推导
范围
对称轴
线
顶点
几何性质
离心率
焦半径定义及公式
通径
相交
直线与抛物线的位置关系
重点辅导
相切 相离
有两个交点 求弦长 有一个交点
4
(一）圆锥曲线的轨迹问题
重点辅导
5
例1.已知点A（-1，0），B（2，0），
有一动点P，使 PBA 2PAB 恒成
立，求点P的轨迹方程。
y y0 • y y0 1, y02 y2 1 代入椭圆方程得：
x2
y2
1(2
x
x2 2);
y2
1(2
x
2)
63
2
故点P的轨迹是两椭圆夹在二直线
x 2 之间重的点辅部导 分.
8
例3.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 x2+2y2=4 交于A,B两点，P是l上满足 PA • PB 1的点，求点P的轨迹。
定点、定值问题
重点辅导
10
例1.抛物线y2=2px(p>0)在顶点张直角的弦 AB必过一定点，则这一定点的坐标为( A )
A.(2p,0) B.(p,0) C(p/2,0) D(4p,0)
分析：引入参数，把弦AB所在的直线 方程用参数表示出来，从而求得直线 所经过的定点。
法1：设OA：y=kx,求出A，B的坐标。 法2：设A(2py12,2py1),B(2py22,2py2)
圆锥曲线总复习
重点辅导
1
椭圆知识网络结构图
焦点坐标
第一定义 定
准线方程
义
焦半径定义及公式 焦点到准线的距离
第二定义
椭
标准方程
有关距离
两准线间距离
方程的推导
中心到准线距离
圆
范围
对称性及中心
几何性质
顶点及长短轴
离心率 a,b,c关系
相交 求弦长
直线与椭圆的位置关系
相离
椭圆的参数方重程点辅导
相切
2
双曲线知识网络结构图
PC1 r 2; PC2 10 r
PC1 PC2 12
(x 2)2 ( y 2)2
1
36 27 重点辅导
7
例3.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 x2+2y2=4 交于A,B两点，P是l上满足 PA • PB 1的点，求点P的轨迹。 思路1: (相关点法)
设P(x,y),A(x,y0),B(x,-y0),则
分析：（五步法）PBA, PAB
与直线PA，PB的倾斜角有关，故可
通过斜率公式列出方程。
根据点P的位置进行分类讨论：
（1）点P在x轴上方； （2）点P在x
轴上；
（3）点P在x轴下方；
y 0(1 x 2); x2 y
2
1(x 1)
重点辅导
3
6
例2.一动圆P和圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0 外切,且和圆C2：x2+y2-10x-4y-71=0 内 切，求动圆圆心P的轨迹方程。 分析：（定义法）先求出二定圆的圆 心和半径，再由圆的相切关系得：
设A(2cos , 2 sin ), B(2cos , 2 sin ), P(2cos , y)
则 y 2 sin • y 2 sin 1, y2 2sin2 1
故点P的轨迹方程为
x 2cos
y
2
2 sin 2
(为参数）
1
消去参数即得。
重点辅导
9
（二）圆锥曲线中的
足：AF1 AF2 4
（1）求椭圆的两焦点坐标；
（2）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、
AD的倾斜角互补，试判断直线 CD的
斜率是否为定值？
重点辅导
13
小结：
圆锥曲线中的定点、 定值问题必然与参数联系 在一起，解决问题的关键 是合理使用参数，找出与 参数变化无关的点或值。
重点辅导
14
（三）圆锥曲线中的
定
第一定义
焦点坐标 准线方程 渐近线方程
义
焦半径公式
第二定义
有关距离
标准方程 双
曲
方程的推导
ห้องสมุดไป่ตู้
范围
线
对称性及中心
几何性质
顶点及实虚轴
离心率 a,b,c关系
相交
直线与双曲线的位置关系
相离
重点辅导
相切
焦点到准线的距离 两准线间距离
有两个交点 求弦长 有一个交点
3
抛物线知识网络结构图
焦点坐标 定
准线方程 义
最值问题
重点辅导
15
例3.已知抛物线y2=4x的顶点为O，点 A（5，0），斜率为1的直线l与线段 OA相交，但不过O、A两点，且交抛 物线于M 、N两点，求∆AMN面积的 最大值及相应的直线l的方程。
分析：设直线l的方程为：x=y+a;则直
线l与OA的交点P(a,0),且0<a<5,于是
SAMN SMAP SNAP
再由方程组和均值不等式求得最值。
8 2; x y 1 0
重点辅导
16
练习：
已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛 物线 y2=2px(p>0) 过焦点F的弦的
两个端点。
（1）
求证：y1y2 、x1x2皆为定值；（2）
求
tan 的AO最B大值（其中O为
坐标原点）。
4
3
重点辅导
17
注：定点与参数的变化无关，故 定点的坐标中不重点辅能导 含有参数。 11
练习：
不论 k 为何实数，曲线
3x2+2y2+kx-ky+ 5 k-6=0
恒过定点，求这个定点的坐标。
( 2 5, 3 5) 55
重点辅导
12
例2.
已知A(1,1)是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
上一点，F1、F2是椭圆的两焦点，且满
焦点到准线的距离
抛
标准方程
物
方程的推导
范围
对称轴
线
顶点
几何性质
离心率
焦半径定义及公式
通径
相交
直线与抛物线的位置关系
重点辅导
相切 相离
有两个交点 求弦长 有一个交点
4
(一）圆锥曲线的轨迹问题
重点辅导
5
例1.已知点A（-1，0），B（2，0），
有一动点P，使 PBA 2PAB 恒成
立，求点P的轨迹方程。
y y0 • y y0 1, y02 y2 1 代入椭圆方程得：
x2
y2
1(2
x
x2 2);
y2
1(2
x
2)
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2
故点P的轨迹是两椭圆夹在二直线
x 2 之间重的点辅部导 分.
8
例3.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 x2+2y2=4 交于A,B两点，P是l上满足 PA • PB 1的点，求点P的轨迹。
定点、定值问题
重点辅导
10
例1.抛物线y2=2px(p>0)在顶点张直角的弦 AB必过一定点，则这一定点的坐标为( A )
A.(2p,0) B.(p,0) C(p/2,0) D(4p,0)
分析：引入参数，把弦AB所在的直线 方程用参数表示出来，从而求得直线 所经过的定点。
法1：设OA：y=kx,求出A，B的坐标。 法2：设A(2py12,2py1),B(2py22,2py2)
圆锥曲线总复习
重点辅导
1
椭圆知识网络结构图
焦点坐标
第一定义 定
准线方程
义
焦半径定义及公式 焦点到准线的距离
第二定义
椭
标准方程
有关距离
两准线间距离
方程的推导
中心到准线距离
圆
范围
对称性及中心
几何性质
顶点及长短轴
离心率 a,b,c关系
相交 求弦长
直线与椭圆的位置关系
相离
椭圆的参数方重程点辅导
相切
2
双曲线知识网络结构图
PC1 r 2; PC2 10 r
PC1 PC2 12
(x 2)2 ( y 2)2
1
36 27 重点辅导
7
例3.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆 x2+2y2=4 交于A,B两点，P是l上满足 PA • PB 1的点，求点P的轨迹。 思路1: (相关点法)
设P(x,y),A(x,y0),B(x,-y0),则
分析：（五步法）PBA, PAB
与直线PA，PB的倾斜角有关，故可
通过斜率公式列出方程。
根据点P的位置进行分类讨论：
（1）点P在x轴上方； （2）点P在x
轴上；
（3）点P在x轴下方；
y 0(1 x 2); x2 y
2
1(x 1)
重点辅导
3
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例2.一动圆P和圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0 外切,且和圆C2：x2+y2-10x-4y-71=0 内 切，求动圆圆心P的轨迹方程。 分析：（定义法）先求出二定圆的圆 心和半径，再由圆的相切关系得：