浙江省金兰教育合作组织2015-2016学年高一上学期期中联考数学试题

金兰合作组织2015年度第一学期期中高一数学学科试题
考试时间：9:30—11:30 试题满分：150分
一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．函数(
)2log (1)f x x +的定义域为 ( ) A ．[)1,3- B ．()1,3- C ．[]1,3- D ．(1,3]-
2．三个数20.60.6,ln0.6,2a b c ===之间的大小关系是 （ ） A ．b c a <<. B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b << 3．下面各组函数中为相同函数的是 （ ） A ．22()lg ,()lg f x x g x x == B ．11)(,1)(2-+=-=x x x g x x f
C ．2
2
)1()(,)1()(-=
-=x x g x x f D ．2
1)(,2
1
)(22+-=+-=
x x x g x x x f
4．已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x 的解析式是 （ ） A ．()(2)f x x x =-+ B ．()(2)f x x x =- C ．()(2)f x x x =-- D ．()(2)f x x x =+
5．已知函数1()x f x a =，2()a f x x =，3()log a f x x =（其中0a >且1a ≠），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是 （ ）
A
B
C
D
6．设U 为全集，集合,,A B C 是集合U 的子集，且满足条件A B A C =，那么下列各
式中一定成立的是 （ ） A ．A
B A
C = B.B C = C.()()U U A C B A C C = D. ()()U U C A B C A C =
7．已知实数,a b 满足不等式23log log ,a b <则不可能．．．
成立的是 （ ）
A ．01b a <<<
B ．01a b <<<
C ．1a b <<
D ．1b a <<
8．设函数
()ax x x f +=2，若{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满
足条件的所有实数a 的取值范围为
（ ）
A ．04a a <≥或
B ．04a <<
C ．04a ≤<
D ．04a a <>或
二、填空题：本大题有7小题, 9-12题每题6分，13-15题每题4分，共36分.
把答案填在答题卷的相应位置.
9．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{2,4,5}A =，{1,2,5}B =，则=B A __________ ，
()U A C B =______________。

10．设函数)2()21()
1(22)(2
≥<<--≤⎪⎩
⎪⎨⎧+=x x x x x x x f ， 则1()(2)f f = ，
若()3f x =，则x = 。

11．若1,1,a b >>且lg()lg lg ,a b a b +=+则
11
a b
+= ，lg(1)lg(1)a b -+-= 。

12．函数212
()log ()f x x x =-+的单调递减区间是____________，值域为____________。

13．满足条件{,,}={,,,,}a b c M a b c d e 的集合M 有 个。

14．用{}min ,a b 表示,a b 两数中的最小值，若函数{}()min |3|,|1|f x x x =-+，则不等式()(0)f x f <的解集是________________________。

15．当[0,2]x ∈时，函数3)1(4)(2--+=x a ax x f 在0x =时取得最大值，则a 的取值范围是________________________。

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（本小题满分14分）
已知{|14},{|21}A x x B x m x m =-<<=<<-。

（1）()3R m C A B =当 时，求；
（2）若A
B =∅，求实数m 的取值范围。

17．（本小题满分15分）
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P （万元）和Q （万
元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：,5x P Q =
=。

今有a 万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少?
18．（本小题满分15分） （1）已知1
46x x
-+=，求3
32
2
8x x
-
+的值；
（2）若35log 2,log 3,m n ==用,m n 表示4log 15。

19．（本小题满分15分）
设12()2x x a
f x b
++=+是定义在R 上的奇函数（b a ,为实常数）．
（1）求a 与b 的值；
（2）证明函数)(x f 的单调性并求函数)(x f 的值域。

20．（本小题满分15分）
已知函数2
()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （1）当1a =-，求函数()f x 的单调区间；
（2）若不等式()3f x ≥在[1,3]x ∈上恒成立，求a 的取值范围。

金兰合作组织2015年度第一学期期中高一数学试题答案
一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数(
)2log (1)f x x +的定义域为 ( D ) A ．[)1,3- B ．()1,3- C ．[]1,3- D ．(1,3]-
2．三个数20.60.6,ln0.6,2a b c ===之间的大小关系是 （ C ） A. b c a <<. B.c b a << C.c a b << D ．a c b << 3．下面各组函数中为相同函数的是 （ D ） A ．22()lg ,()lg f x x g x x == B ．11)(,1)(2-+=-=
x x x g x x f C ．2
2
)1()(,)1()(-=
-=x x g x x f D ．2
1)(,2
1
)(22+-=+-=
x x x g x x x f
4．已知函数()y f x =在R 上为奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x 的解析式是 （ A ） A ．()(2)f x x x =-+ B ．()(2)f x x x =- C ．()(2)f x x x =-- D ．()(2)f x x x =+
5．已知函数1()x f x a =，2()a f x x =，3()log a f x x =（其中0a >且1a ≠），在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的大致图像，其中正确的是 （ C ）
A
B
C
D
6．设U 为全集，集合,,A B C 是集合U 的子集，且满足条件A B A C =，那么下列各
式中一定成立的是 （ D ） A ．A
B A
C = B.B C = C.()()U U A C B A C C = D. ()()U U C A B C A C =
7．已知实数,a b 满足足不等式23log log ,a b <则不可能．．．成立的是 （ D ） A ．01b a <<<
B ．01a b <<<
C ．1a b <<
D ．1b a <<
8．设函数
()ax x x f +=2，若{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满
足条件的所有实数a 的取值范围为
（ C ）
A ．04a a <≥或
B ．04a <<
C ．04a ≤<
D ．04a a <>或
二、填空题：本大题有7小题, 9-12题每题6分，13-15题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.
9．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{2,4,5}A =，{1,2,5}B =，则=B A {2,5}__ ，
()U A C B =__{2,3,4,5,6}____________。

10．设函数)2()21()
1(22)(2
≥<<--≤⎪⎩
⎪⎨⎧+=x x x x x x x f ， 则1()(2)f f =
116 ，若()3f x =，则x =
11．若1,1,a b >>且lg()lg lg ,a b a b +=+则11
a b
+= 1 ，lg(1)lg(1)a b -+-= 0 。

12．函数212
()l o g ()f x x x =
-+的单调递减区间是___1
(0,)2__，值域为
____[2,)+∞________。

13．满足条件{,,}
={,,,,}a b c M a b c d e 的集合M 有 8 个，
14．用{}min ,a b 表示,a b 两数中的最小值，若函数{}()min |3|,|1|f x x x =-+，则不等式()(0)f x f <的解集是 (2,0)
(2,4
- 。

15．当[0,2]x ∈时，函数3)1(4)(2--+=x a ax x f 在0x =时取得最大值，则a 的取值
范围是 2
3
a ≤
_____ 。

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16．（本小题满分14分）已知{|14},{|21}A x x B x m x m =-<<=<<-。

（1）()3R m C A B =当 时，求；
（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围。

解: （1）
3,{|35},{|14}R m B x x C A x x x ==<<=≤-≥或…………4分
(){|13}R C A B x x x ∴=≤->或…………7分
（2）21,1B m m m A B =∅≥-≤=∅当时，即得，满足…………10分
21,1B m m m ≠∅<->当时，即得，
,21144A B m m m =∅∴-≤-≥≥或，解得：
综上所述：14m m ≤≥或…………15分
17．（本小题满分15分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P
（万元）和Q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：,5x P Q =
=。

今有a 万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？
解：设对乙种商品投资x 万元，则对甲种商品投资()a x -万元，总利润为y 万元，根据题
意得1()5y a x =-0)x a ≤≤…………4分
令x t =
，则2t x =，0t ≤≤
所以221211()(1),5555
a y a t t t +=
-+=--+（0t ≤≤9分
当1t =∈，即1a ≥时，max 1
5a y +=，此时1,1x a x a =-=-
当1t =∉，即01a <<时，max y =,0x a a x =-= 由此可知，为获得最大利润，当01a <<时，对甲、乙两种商品投资分别为0万元和a
1a ≥时，对甲、乙两种商品投资分别为1a -万元和1万元，获得的最大利润为1
5
a +万元。

…………15分 18．（本小题满分15分） （1）已知1
46x x
-+=，求3
32
2
8x x
-
+的值；
（2）若35log 2,log 3,m n ==用,m n 表示4log 15。

解：（1）显然0x >，令1
12
2
2,a x b x
-==，则已知22
6,2a b ab +==…………3分
222()210,a b a b ab a b +=++=+=…………5分 33
33222
2
8()()x x
a b a b a ab b -+=+=+-+=7分
（2）35
lg 2log 2lg 2lg31lg3lg3log 3lg3lg51lg 21mn m mn n
n mn ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪+∴⎨⎨
⎪⎪====⎪⎪-+⎩⎩
…………11分
4lg15lg3lg5lg3lg 211
log 15lg 42lg 22lg 22n mn
+-++=
===
…………15分 19．（本小题满分15分）设12()2x x a
f x b
++=+是定义在R 上的奇函数（b a ,为实常数）．
（1） 求a 与b 的值；
（2） 证明函数)(x f 的单调性并求函数)(x f 的值域。

（1）)(x f 是奇函数时，
1(0)0,12a
f a b
+=
=∴=-+…………… （3分） ()()f x f x -=-又
，即1
12121
22x x x x b b
--++--=-++对任意实数x 成立． 化简整理得(2)2(2)2(24)0x x b b b --⋅+-⋅+-=， 这是关于x 的恒等式，所以2b =…………… （7分）
（2）12111()22221
x x x f x +-==-++，
证明：任取1212,x x R x x ∈<且
12
211
2
121122()()2121(21)(21)
x x x x x x f x f x --=-=++++ 121212,022,()()x x x x f x f x <∴<<∴<
即函数)(x f 在R 上单调递增，…………… （ 12分）
211x +>，1
0121
x
∴<
<+， 从而2
1
)(21<<-
x f ；所以函数)(x f 的值域为)21,21(-．…………… （ 15分）
20．（本小题满分15分）已知函数2
()2f x x x x a =+-，其中a R ∈．
（1）当1a =-，求函数()f x 的单调区间；
（2）若不等式()3f x ≥在[1,3]x ∈上恒成立，求a 的取值范围。

解：（Ⅰ）22(1)1(1)()11
3()(1)
33x x f x x x ⎧-++≤-⎪
=⎨+->-⎪
⎩
()f x 在(,1)-∞-和1
(,)3
-+∞上递增，在在1(1,)3--上递减 …………6分
（Ⅰ）22
2
2()()()3()()
33x a a x a f x a a x x a ⎧--+≤⎪
=⎨--
>⎪⎩
当0a ≥时，()f x 在(,)a -∞和(,)a +∞上均递增，∵2()f a a =，则()f x 在R 上递增 当0a <时，()f x 在(,)a -∞和(,)3a +∞上递增，在在(,)3
a a 上递减 …………12分 可知，()f x 在[1,2]x ∈上恒递增
则min ()(1)1213f x f a ==+-≥，解得0a ≤或2a ≥…………15分。