数学物理方程：第7章 无界问题的积分变换法

第7章 无界问题的积分变换法
§7.1 无界问题的傅里叶积分变换法
本节讨论：①傅里叶变换及其性质，②用傅里叶变换求解三类定解问题的方法。

⒈ 傅里叶变换及其性质
当方程中某变量的变化区域为全数轴R 时，可考虑对该变量实施傅里叶变换。

傅里叶变换及其性质 傅里叶变换与逆变换定义为
[]ˆ()()()i x f
f x e dx f x λλ+∞
--∞==⎰F (7.1.1) 11ˆˆ()()()2i x f x f e d f λλλλπ+∞--∞
⎡⎤==⎣⎦⎰F (7.1.2) 傅里叶变换的二阶微分性质：
()()()f i f λ'=F F 与22()()()()f i f f λλ''==-F F F (7.1.3)
卷积性质：若[]()()f t F ω=F ，[]()()g t G ω=F ，则对卷积()()()()τττ*=-⎰R
f t
g t f g t d 有
[]()()()()f t g t F G ωω*=⋅F (7.1.4) []1()()()()F G f t g t ωω-⋅=*F (7.1.5)
☆推论：若x 为n 维向量()12,,,=⋅⋅⋅n x x x x ，则()12,,,λλλλ=⋅⋅⋅n ，以上公式仍成立。

选用傅里叶变换的方法 若定解问题中某一变量的变化区间为(),-∞+∞，可考虑对该变量作傅里叶变换。

对柯西问题（∈x R ）总是宜于作傅里叶变换的。

对于其它类型的定解问题，只要其某变量的定义域为实轴，就可能对该变量实施傅里叶变换。

○傅里叶变换法：记[]u u =F ，
若0
t t t L u Lu f
D u ϕ==+⎧⎨
=⎩， 则
()t t t L h u f
D u ϕ=⎧-=⎪⎨
=⎪⎩ (7.1.6) 若210xx x Lu b u b u b u =++则2210λλ=--+h b ib b 。

特别
若2(0,),(0,)ϕψ⎧''⎪=+⎨'==⎪⎩
xx u a u f
u x u x ， 则22(0,)(),(0,)()λλϕλλψλ⎧''⎪+=⎨'==⎪⎩u a u f u u (7.1.7)
若2(0,)ϕ⎧'⎪=+⎨=⎪⎩xx u a u f u x ， 则22(0,)()λλϕλ⎧'⎪+=⎨=⎪⎩
u a u f
u (7.1.8)
⒉ 传导方程的求解
例1 一维齐次传导方程的柯西问题：21(,0)(0,)()xx u a u x R t u x x ϕ⎧'=∈>⎪
⎨=⎪⎩
解：对x 作傅里叶变换得
22ˆˆˆˆ(0,)()λλϕλ⎧'=-⎪⎨
=⎪⎩u
a u u
这是一个常微分方程。

解得：
22ˆˆ(,)()λλϕλ-=a t u
t e 为求解u ，对上式作逆变换，利用卷积性质得
2222
1111ˆˆˆ(,)()[()][()][]a t a t u t x u
e e λλϕλϕλ------===*F F F F 显然：
1
ˆ[()]()x ϕ
λϕ-=F
，2221
2[]4a t
x e
a t λ--⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
F 所以
()2
2
22
(,)()()exp
44
ξ
ϕϕξξ
+∞⎛⎫
⎛⎫-
⎪
=-=-
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎰
x
x
u t x x d
a t a t
例2求解柯西问题：
2(0)
(0,)()
δ
⎧'=>
⎪
⎨
=
⎪⎩
xx
u a u t
u x
x
解：由上题可得：
2
2
(,)
4
⎛⎫
=-
⎪
⎪
⎝⎭
x
u t x
a t
用积分变换求解定解问题的步骤
⑴对方程取用适当的（依自变量的取值范围而定）积分变换，降低方程的维数。

当不保留变量时，方程化为代数方程（适合于常微分方程）；当保留1个变量时，多维方程化为常微分方程；当保留2个（或以上）变量时，方程仍然为偏微分方程（维数降低）。

可利用积分变换的性质。

⑵对边界条件作变换；
⑶解关于ˆu的方程；（多为常微分方程）
⑷对ˆu作逆变换求得u。

（这一步较为困难、涉及卷积公式的应用）
例3非齐次传导方程的柯西问题：
21
(,)(,0)
(0,)()
xx
u a u f t x x R t
u x x
ϕ
⎧'=+∈>
⎪
⎨
=
⎪⎩
解：①对方程进行傅里叶变换得：22ˆ
ˆˆ
u a u f
λ
'+=；
②对边界条件进行傅里叶变换：ˆˆ
(0,)()
uλϕλ
=；
③解常微分方程的边值问题
22ˆ
ˆˆ
ˆˆ
u a u f
u
λ
ϕ
⎧'+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
得：
2222()
ˆ
ˆ
ˆ(,)()(,)
λλτ
λϕλτλτ
---
=+⎰
t
a t a t
u t e f e d
或写为（F为傅里叶变换）：
2222()
()()()
t
a t a t
u e f e d
λλτ
ϕτ
---
=⋅+⋅
⎰
F F F
④对上式作逆变换，利用卷积公式得：
2222
111()0
ˆ()[](,)[]t
a t a t u u
e f e d λλτϕτλτ------==*+*⎰F F F 可证明：
2221
2[]4a t
x e
a t λ--⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
F
所以上式可写为
22
2202222(,)44()()()()exp 44()ϕτλτ
τξξϕξξξττ+∞+∞⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰t t x x u f d a t a t x x d d d a t a t
这就是非齐次传导方程的解。

例4 传导方程的柯西问题：23(,0)(0,,,)()
ϕ⎧'=∆∈>⎪⎨
=⎪⎩u a u
x R t u x y z r （其中2222r x y z =++） 解：对方程进行傅里叶变换：22ˆˆ0u a u λ'+
=，其中λ进行傅里叶变换：ˆˆ(0,)()u
λϕλ=；得边值问题 22ˆˆ0ˆˆ(0,)()λλϕλ⎧'+=⎪⎨
=⎪⎩
u
a u u 解得：
22ˆˆ(,)()λλϕλ-=a t u
t e 由逆变换得：
22
1[]a t u F e λϕ--=*
记r
并且2222213
2
1[]](2)
4a t
a t
i r
r e
e
e
d a t
λλλλπ---⋅=
⋅=
-
⎰⎰⎰F ，
因此
1112
2
()exp[4r r u r dr a t
ϕ-=
-
⒊ 波动方程的求解
例5 波动方程的柯西问题：20
0,0,0,()ψ==⎧=>∈⎪⎨==⎪⎩tt xx t t t u a u t x R
u u x
解：对x 作n 元傅里叶变换得
2200
ˆˆˆ0ˆˆtt t t t u a u u u λψ==⎧=-⎪
=⎨⎪=⎩ 由此解得：
sin ˆˆλψλ
=a t
u
a 记1sin (,)a t U t x a λλ
-⎛⎫
=
⎪⎝⎭F
1,20,
⎧<⎪=⎨⎪⎩
x at a 其它
则原问题有解：
(,)()(,)ψξξξ=-⎰n R
u t x U t x d 1()2ψξξ+-=⎰x at
x at d a （达朗贝尔公式）
例6 求解柯西问题：20
0,0,0,()δ==⎧=>∈⎪⎨==⎪⎩tt xx t t t u a u t x R
u u x
解：由上题得，
1(,)()2δξξ+-=⎰x at x at u t x d a 2221,
()20,
x at H a t x a
⎧<⎪==-⎨⎪⎩其它
例7 波动方程的柯西问题：20
0(,),0,0,0tt xx t t t u a u f t x t x R
u u ==⎧=+>∈⎪⎨==⎪⎩
解：对x 作傅里叶变换得
220
0ˆˆˆ(,)ˆˆ0,0tt t t t u
a u f t u u λλ==⎧+=⎪⎨
==⎪⎩ 且解得：
1ˆ
ˆ(,)(,)sin ()t u t f s a t s ds a λλλλ=-⎰
则原问题有解()1ˆ(,)(,)u t x u
t λ-=F 。

⒋ 调和方程的求解
例8 解调和方程：10
(,0)
(,0)()
xx
yy u u x R y u x x ϕ⎧+=∈>⎪⎨=⎪⎩
解：对x 作傅里叶变换得：
2ˆˆ0ˆˆ(,0)()yy u
u u
λλϕλ⎧-=⎪⎨
=⎪⎩
顾及ˆu
有界，得 ˆˆ(,)()y u
y f e λλλ-= 由于122
1[]y y
e x y λπ--=
+F ，故：
22
2
2
11()
(,)()()
y
y f u x y f x d x y x y
ξξππ
ξ+∞
-∞=*
=
+-+⎰
§7.2 半无界问题的拉普拉斯积分变换法
本节讨论：①柯西问题的拉普拉斯变换法，②半无界问题的拉普拉斯变换法。

⒈ 拉普拉斯变换及其性质
当方程中某变量的变化区域为半数轴时，可考虑对该变量实施拉普拉斯变换。

▲拉普拉斯变换及其性质 拉普拉斯变换与逆变换定义为
[]0ˆ()()()x f
f x e dx f x λλ+∞
-==⎰L (7.2.1) 11ˆˆ()()()2i x i f x f e d f i βλβλλλπ+∞--∞
⎡⎤==⎣⎦⎰L (7.2.2) 它具有微分性质：
()()(0)f f f λ'=-L L 与2()()(0)(0)f f f f λλ'''=--L L (7.2.3)
⒉ 柯西问题的拉普拉斯变换法
首先，对柯西问题总是宜于对t 作拉普拉斯变换L 。

对拉普拉斯变换，要求函数u 与x u 在端点∞处为0。

此时
0t t t L u Lu f
D u ϕ==+⎧⎨
=⎩
即 ()h L u f g -=- (7.2.4) 若21t L u a u a u '''=+则212λλ=+h a a 。

并且221
ˆ(0)()(0)λ'=--+g a u a a u 。

其中的积分常数在必要时可补充条件()0±∞=u 或()0'±∞=u 来确定。

例1（拉普拉斯变换法）解定解问题：21(,0)(0,)()t xx
u a u x R t u x x ϕ⎧=∈>⎪⎨=⎪⎩
解：对t 作拉普拉斯变换L 得：
2()λϕ-=xx u x a u
它的求解是容易的，定解条件为()±∞<+∞u 。

（请读者自己完成）
例2（拉普拉斯变换法）解定解问题：2(0,0)
(0,)0,
(0,)0(,0)()tt xx t u a u t x u x u x u t f t ⎧=>>⎪⎪
==⎨⎪=⎪⎩
解：对t 作拉普拉斯变换L ，顾及2()(0,)(0,)tt t u u u x u x λλ=--L ，则原问题变为
22;(,0)()λλλ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭
xx u u u F a
式中()F λ为()f t 变换后的函数。

可求得：
(,)()exp λλλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
x u x F a
进一步有
10,(,)()(),x
t a u t x u x x f t t a a -⎧<
⎪⎪==⎨
⎪-≥⎪⎩
L
例3（拉普拉斯变换法）解定解问题：2(0)(,0)0,(,)0(0,)(),(0,)()
ϕψ⎧''=>⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩
xx t u a u
t u t u t l u x x u x x
解：对t 作拉普拉斯变换L ，顾及2()(0,)(0,)tt t u u u x u x λλ=--L ，则原问题变为
22()()0(,0)0,(,)0λλϕψλλ⎧⎪-++=⎨
==⎪⎩
xx a u u x x u u l 这是一个变量为x 的带齐次条件的非齐次微分方程。

（具体求解略）
注：上述三个例子中，边界条件的个数从０到２均可以用傅里叶变换求解。

⒊ 半无界问题的拉普拉斯变换法
若在边界上同时有第一类和第二类条件的也可对x 作拉普拉斯变换的。

例4 用拉普拉斯变换法解定解问题：212(,0)(0,)(),(0,)()(,0)(),(,0)()
xx t x u a u t x u x x u x x u t g t u t g t ϕψ⎧''=>⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩
解：（此问题中x 与t 是相同的，对x 和t 均可作拉普拉斯变换）现对x 作拉普拉斯变换L ，顾及2()(,0)(,0)λλ=--xx x L u u u t u t ，则原问题变为
122()()0
(0,)()
(0,)()λλλϕλλψλ⎧''-++=⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎩
t u u g t g t u u 这是一个变量为t 的带非齐次条件的非齐次微分方程。

（具体求解略）
对一般方程，只要在边界上同时有第一类和第二类条件的也可对x 作拉普拉斯变
换的。

例5 用拉普拉斯变换法解定解问题：122(0,)()(,0),(,0)xx x x u a u u
u x x u t g u t g
βϕ⎧'=+⎪
⎪
=⎨⎪==⎪⎩
解：对方程中x 作变换L ，顾及2()(,0)(,0)λλ=--xx x L u u u t u t 及()(,0)
λ=-xx L u u u t
得
12122()()λλβλ'=--+-u a u g g u g
即
122222()()λβλλβ'=+-+-u a u a g a g
并对初值条件作拉普拉斯变换，则原问题变为：
1222220()()0
()
λβλλβϕλ=⎧'-++++=⎪⎨
=⎪⎩t u a u a g a g u 这是一个变量为t 的带非齐次条件的非齐次微分方程。

（具体求解略）
例6 用拉普拉斯变换法解定解问题：2(,0)(,0)0,(,)0(0,)0,(0,)()
xx t u a u t x u t u t l u x u x x δ⎧''=>⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩
解：现对x 作拉普拉斯变换L ，顾及2()(,0)(,0)xx x L u s u su t u t =--，则原问题变为
20
(0,)0,(0,)1tt t u s u u s u s ⎧⎪-=⎨
==⎪⎩
这是一个变量为t 的带非齐次条件的非齐次微分方程。

它的解为
1
sin u st s
=
因此原问题的解为
11sin u st s -⎛⎫
= ⎪⎝⎭L
§7.3 其它积分变换法（选读）
本节讨论：①正（余）弦变换求解定解问题。

②其它积分变换的方法，③一些技巧
⒈ 傅里叶正（余）弦变换法
其次，若某一变量的变化范围是R +，并且有相应变量的边界约束条件，则可考虑对该变量的积分变换。

若边界条件为第一类条件，则可用（傅里叶）正弦变换；若边界条件为第二类条件，则可用（傅里叶）余弦变换。

以下以变量x 为例进行讨论。

傅里叶正（余）弦变换及其性质 傅里叶正弦变换与逆变换定义为
[]0
ˆ()()sin ()s f f x x dx f x λλ+∞==⎰F ， 10
2ˆˆ()()sin ()s f x f x d f λλλλπ
∞-⎡⎤==⎣⎦⎰F (7.3.1)
傅里叶余弦变换与逆变换定义为
[]0
ˆ()()cos ()c f f x x dx f x λλ+∞==⎰F ， 10
2ˆˆ()()cos ()c f x f x d f λλλλπ
∞
-⎡⎤==⎣⎦⎰F (7.3.2)
傅里叶正弦变换具有微分性质：
()()s c f f λ'=-F F 与2()()(0)s s f f f λλ''=--F F (7.3.3)
傅里叶余弦变换具有微分性质：
()(0)()c s f f f λ'=+F F 与2()(0)()c c f f f λ'''=-F F (7.3.4)
例6（正弦变换法）解定解问题：2(0,0)(0,)(),
(,0)()
xx u a u x t u x x u t g t ϕ⎧'=>>⎪⎨
==⎪⎩
分析：对x 或t 来说，它们均不宜于作傅里叶变换。

对x 来说，不宜作拉普拉斯变换，即若作拉普拉斯变换，则需要ˆ(0)(0)g u u λ'=--（不管对谁作变换），而前一导数
值没有；同样的原因它也不宜于对x 作余弦变换；但它宜于对x 作正弦变换。

对t 来说，
它可以作拉普拉斯变换，也可以作正弦变换。

对t 变换后求解二阶常微分方程，对x 作变换后只求解一阶常微分方程。

（可根据非齐次常微分方程的求解难易程度确定）
解：对x 作正弦变换[]s u u =F ，顾及2[][](0)s xx s u u u λλ=-+F F 得：
222ˆˆ()ˆˆ(,0)()
u a u a g t u λλλϕλ⎧'+=⎪⎨
=⎪⎩ 可解得22
22
2()0
ˆˆ(,)()()t
a t
a t u
y e a g e d λλτλϕλλττ---=+⎰。

再作逆变换得到
22
22
12()0
2ˆ(,)()sin [()]t
a t
a t s u x t e xd a g e d λλτϕ
λλλλττπ
∞
----=
+⎰⎰F
（以下略去）
例7（余弦变换法）解定解问题： 2(,0)
(0,)(),(,0)0xx x u a u t x u x f x u t ⎧'⎪=>⎨==⎪⎩
解：考虑对x 作傅里叶余弦变换c F ，原方程变为222(,0)0λ'++=x u a u a u t ，将第二个条件代入此式并对第一个条件作变换得：
220
0()λλ=⎧'+=⎪⎨=⎪⎩t u a u u f 它的有界解为22
()λλ-=a t u f e ，那么，1()c u u -=F
⒉ 调和方程的积分变换法
其次，若某一变量的变化范围是R +，并且
①若定解条件中不含边界条件（泛定方程），它表示x R ∈
，y R ∈；即可对x 或y 选用傅里叶变换。

也可取球坐标对r =；
②若定解条件中含有一个边界条件，如(,0)()u x f x =时，它表示0,y x R >∈，可对x 用傅里叶变换；
③若定解条件中含有二个边界条件――单变量型。

即同时含1(,0)()u x f x =与
2(,0)()y u x f x =（“单点”）或1(,0)()u x f x =与2(,)()u x b f x =（“双点”）时，可对x 作傅
里叶变换；也可对x 作拉普拉斯变换；
以上三种情况均属（对x ）无边界条件约束的情况。

故可对x 作傅里叶变换。

不含边界条件约束的常微分方程（一维调和方程）也属此种情况，也可作傅里叶变换。

④若定解条件中含有二个边界条件――双变量型。

即同时含(,0)()u x f x =与
(0,)()u y g y =（或导数形式）；它表示0,0x y >>，可对x 或y 用正弦变换（第二类边界条件时用余弦变换）；
⑤若定解条件中含有三个边界条件。

即含1(,0)()u x f x =、2(,)()u x b f x =与(0,)()u y g y =（或导数形式）
；它表示0,0x y b ><<，可对x （一个条件的变量）用正弦变换（或余弦变换）；
⑥若定解条件中含有四个边界条件，只能使用有限积分变换（略）或用其它方法求解。

例8（余弦变换）解定解问题：20
(,0)(0,)(),(,0)0y u x y u y f y u x ∆=>⎧⎪⎨==⎪⎩
简解：考虑对y 作傅里叶余弦变换c F ，原方程变为2(,0)0λ--=xx y u u u x 。

将第二个条件代入此式并对第一个条件作变换得：
20
0()λλ=⎧-=⎪⎨
=⎪⎩xx
x u u u f 它的有界解可方便直接求得。

例9（正弦变换）解定解问题：20,
(0)(0,)(),(,0)0,(,)()u x u y f y u x u x b g x ∆=>⎧⎪⎨
===⎪⎩
简解：考虑对x 作傅里叶正弦变换s F ，原定解问题变为关于U 的二阶非齐次方程的边值问题：
2()0
(,0)0,(,)()
λλλλλ⎧-+=⎪⎨
==⎪⎩yy u u f y u u b g 求解此方程得到解u ，再用逆变换求得原野解u 。

注：拉普拉斯变换可以对包含一阶导数项的方程直接进行变换，而傅里叶正（余）弦变换则不可以。

⒊ 其它积分变换的方法
汉克尔变换法
例３（汉克尔变换方法）解轴对称调和方程的边值问题：2210
(,0)(),(,)0(0,),(,)0ϕ∂∂∂∆=+=∂∂∂=∞=<∞=⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩
u u
u r r r r r u r r u r u z M u z
解：先对r 作积分变换：0
(,)()(,)(,)λρλ∞
=⎰u z r K r u r z dr 取权函数()r r ρ=可求得核
函数满足方程2()0rK r K λ''+=。

它是０阶贝塞尔方程（见柱函数一章），其解为：
0()K J r λ=
故（汉克尔）积分变换为：
00(,)()(,)λλ∞
=⎰u z rJ r u r z dr
对原定解问题作汉克尔变换，变为200
,0
λϕ==∞⎧-=⎪⎨==⎪⎩zz z z u u u u ，它的解为λϕ-=z u e ，原问题
的其解：
00(,)()()z u r z J r e d λλλϕλλ∞
-=⎰
有限区域的方法 设()f x 在[,]l l -+上可积，称
()cos
l n l
n A f x x dx l π+-=⎰ ()sin l n l
n B f x x dx l πλ-=⎰ (7.3.5) 为()f x 的有限傅里叶变换。

如果()f x 连续且满足()()f l f l -=+，则
011()cos sin
2n n n A n n f x A x B x l l l l
ππ
∞=⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
∑ (7.3.6) 称为有限傅里叶变换的逆变换。

同样可定义有限正弦变换各有限余弦变换，即
()sin ()l
s f n nx f x dx =⎰ 1
2()()sin s n f x f n nx l ∞
==∑ (7.3.7)
()cos ()l
c f n nx f x dx =⎰ 1
12()(0)()cos c c n f x f f n nx l l ∞
==
+∑ (7.3.8)
例4：解定解问题：20
(0,)(,)0(,0)0,(,)ππ∆=+=====⎧⎪
⎨⎪⎩
xx yy u u u u y u y u x u x A
解：取x 为自变量，则积分核(,)K n x 满足方程（调和方程代入积分中两次分部积分）：0xx K K λ+=，由固有值理论与上述边界条件可得齐次边界条件：
(,0)(,)0K n K n π==
固有值问题的解为
(,)sin K n x nx =
则有限傅里叶变换为有限傅里叶正弦变换
(,)(,)sin π
=⎰u n y u x y nxdx
对问题作有限傅里叶变换得
200
0,π==⎧-=⎪⎨
==⎪⎩
yy
y y u n u u u B 式中02,21
sin 0,
2A
n k B A nxdx n n k π
⎧=+⎪==⎨⎪=⎩⎰，求得：
2sh sh π
A ny
u =
n n
再利用反演公式求得（详细推导略）
04sin(21)sh(21)(21)sh(21)i A i x i y
u i i ππ
∞=++=
++∑
例5：解定解问题：122(0,0)(0,)()(,)(),(,)()t xx u a u t x l u x x u t x g t u t l g t ϕ⎧=><<⎪⎪
=⎨⎪==⎪⎩
解：取x 为自变量，作傅里叶正弦变换0
(,)sin
π
=⎰l
n u u t x xdx l。

运用微分性质（记
n l
πλ=
）： ()
20
0()sin ()sin (0)(1)()l
l
n
f x xdx f x xdx f l λλλλ''=-+--⎰⎰
对定解问题作有限傅里叶正弦变换得：
122220(()(1)())
()
λλλ=⎧'=-+--⎪⎨
=Φ⎪⎩n t u a u a g t g t u 式中()λΦ为函数()x ϕ经有限傅里叶正弦变换后的函数。

可解得=n u u 。

再利用反演公式求得原问题的解
12(,)sin
n n n u t x U x l l
π
∞==
∑ ：n u 为函数0(,=⎰l
n u u t x 变换的定义式。

⒋ 用积分变换求解定解问题中的一些技巧
叠加原理的利用 利用叠加原理分离定解条件为“亚齐次型”（仅一个为非齐次的）
例1（叠加原理的应用）解定解问题：2(0,0)(0,)(),
(,0)()
xx
u a u x t u x x u t g t ϕ⎧'=>>⎪⎨
==⎪⎩
解：利用叠加原理将原问题化为：
21111
(0,)()(,0)0xx
u a u u t x u t ϕ⎧'=⎪
=⎨⎪=⎩ ＋ 22222
(0,)0(,0)()xx u a u u x u t g t ⎧'=⎪
=⎨⎪=⎩ 其中，对前一定解问题对x 作正弦变换得
220
2()sin λϕλλλπ
∞-=
⎰
a t
u e xd 即 11()s u u -=F 对上面后一定解问题对t 作拉氏变换得：
2ˆ(0,)()λλλ⎧=⎪⎨
=⎪⎩xx a u u
u g
即 ˆ()λ=u g e 再作逆变换得12()u u -=L ，即
1112()()s u u u u u --=+=+F L
“双积分变换”的使用（FL ）
例2（双积分变换方法）解传导方程的柯西问题：2(,),,0
(0,)(),
t xx u a u f t x x R t u x x x R ϕ⎧⎪=+∈>⎨=∈⎪⎩
解：先对x 作傅里叶变换F 得：
220
t t U a U F
U λ=⎧+=⎪⎨
=Φ⎪⎩ 式中U 、F 、Φ为u 、f 、ϕ的傅里叶变换。

再对t 作拉普拉斯变换L 得：
22kU a U F λ-Φ+=
求得22
λ
Φ+=
+F U k a ，再作逆变换。

先求拉氏逆变换：
122
221
U F
k a k a λλ-Φ
=+++⎛
⎫
⎪⎝⎭
L 再求富氏逆变换：1()u U -=F 求得解。

⒌ 广义积分变换法
积分变换法 常使用的积分变换很多。

统一将它们写为如下形式：
()(,)()()f F K x f x dx F λλλΩ
==⎰ (7.3.9)
其中：()f x 为定义在Ω上函数，(,)K x λ是定义在A Ω⨯上的二元函数；A 可能是区间，也可能是数列，或者是区域。

称()F λ（象函数）为函数()f x （原函数）的积分变换。

称(,)K x λ为核函数。

总是设它的逆变换存在。

（不讨论一般形式的逆变换）
说明：以上各式中的核函数(K x λ,)可以改为带权的核函数()(,)x K x ρλ即可。

关于待定函数的选取 首先讨论(,)K x λ：它满足方程(,)()(,)L K x h K x λλλ*=，为求得确定的解，给它可附以一定的边界条件。

边界条件一般是结合原定解问题使得g 为最简单已知（最好为0）；常常取K 满足第一类齐次边界条件。

值得注意的是(,)K x λ为确定的非零解。

其次讨论g ：为方便计，仅讨论一维的情况。

21t L u a u a u '''=+；210xx x Lu b u b u b u =++ (7.3.10)
系数均为常数,则L 有共轭210xx x L v b v b v b v *=-+；当20a ≠时，()12ϕϕϕ=，当20
a =且10a ≠时，1ϕϕ=；因为20
b >，故()12g g g =。

将i P 的表达式具体写为：
1
122212()()x x x x P K b u b u b K u b K b K u b Ku =-+=+- (7.3.11) 式中，由于K 是已知的，因此x K 也是已知的。

①若没有边界条件，如柯西问题。

此时利用方程解的正则性条件 ()0u ±∞=替代边界条件。

（一般而言，如果需要，我们问题认为()()0n u ±∞=成立）。

此时：12x P b Ku =-。

对此处理的办法是，其一给定边界上x u 值（一般也认为是０，见上述讨论），其二是设法使得x u 的系数K 在边界上的值为０。

②如果边界为第一类边界条件，则u 为已知。

未知的仍为x u 的值；可设法使得x u 的系数K 在边界上的值为０或给定边界上x u 值（有限边界上x u 的值未必是０）。

③如果边界条件为其它类型（如第二类、混合型等）可类似讨论。

一般而论，每个边界上给定一个值为好（或总个数为两个，以免引起适定性的麻烦）。

当不能完整确定未知参数时，设法使得该参数的系数为０（调整K 的取值）。

积分变换的选用原则：从以上分析可得以下提示（供参考）
用积分变换解常微分方程时，若没有边界条件可采用傅里叶变换；若有边界条件可
采用拉普拉斯变换。

一般地，对数学物理方程：
①若某一变量的区间为()
-∞+∞，可考虑采用傅里叶变换。

,
②若所有的区间均为有限［a, b］，则可考虑采用有限傅里叶变换，即分离变量法。

③若某一变量的区间为()
0,+∞，可考虑采用拉普拉斯变换或正（余）弦变换等。

④在必要时可对时间变量进行积分变换。

对柯西问题可用拉普拉斯变换，因t∈+∞。

[0,)
【阅读材料】 常用积分变换及其部分性质
【附1】常见的几种积分变换
①富里叶变换与逆变换
[]ˆ()()()i x f
f x e dx f x λλ+∞--∞
=⎰F 11ˆˆ()()()2i x
f x f e d f λλλλπ+∞--∞
⎡⎤=
⎣⎦⎰F
②拉普拉斯变换与逆变换
[]0
ˆ()()()x f
f x e dx f x λλ+∞
-=⎰L
11ˆˆ()()()2i x
i f x f e d f i βλβλλλπ+∞--∞
⎡⎤=
⎣⎦
⎰L ③富里叶正弦变换与逆变换
[]0
ˆ()()sin ()s
f f x x dx f x λλ+∞=⎰F 10
2ˆ
ˆ()()sin ()s f x f x d f λλλ
λπ
∞-⎡⎤=⎣⎦⎰F
④富里叶余弦变换与逆变换
[]0
ˆ()()cos ()c
f f x x dx f x λλ+∞=⎰F 10
2ˆ
ˆ()()cos ()c f x f x d f λλλ
λπ
∞-⎡⎤=⎣⎦⎰F
此外还有汉开尔变换、梅林变换、拉让德变换等等。

【附2】几个常用积分变换的微分性质
一）富里叶变换
性质1：()()()()
n n f
i f λ=F F ，性质２：()
()()n n x f F f ⎡⎤-=⎢⎥
⎣⎦
F 特别：()()()f i f λ'=F F 与22
()()()()f i f f λλ''==-F F F
二）拉普拉斯变换
性质1：
1()(1)0
()()(0)n n n i n i i f f f λλ---==-
∑L L ；性质２：()()()n n x f L f ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦
L
特别：()()(0)f f f λ'=-L L 与2
()()(0)(0)f f f f λλ'''=--L L
三）富里叶正弦变换与余弦变换变换
性质1：()()s c f f λ'=-F F 与 ()(0)()c s f f f λ'=+F F （不封闭）
性质2：2()()(0)s s f f f λλ''=--F F 与 2
()(0)()c c f f f λ'''=-F F （封闭）
【阅读材料】 卷积及其性质
为以后书写简单，将采用卷积形式的记法。

△卷积定义 若已知t R ∈，函数f 1(t )与f 2(t )的卷积，记为f 1(t ) * f 2
(t )，即定义为
1212()()()()f t f t f f t d τττ+∞
-∞
*=-⎰
说明 若已知t R +
∈，函数f 1(t )与f 2
(t )的卷积为 12120
()()()()t
f t f t f f t d τττ
*=-⎰
事实上，对被积函数f 1
(t )而言R τ+∈，但对被积函数f 2(t )而言t R τ+-∈，即[0,]t τ∈。

上式有时也记为
12120
()()()()f t f t f f t d τττ
∞*=-⎰。

如果定义
110,
0()(),
0t F t f t t <⎧=⎨
≥⎩， 220,
0()(),
t F t f t t <⎧=⎨≥⎩
则原定义式1212()()
()()F t F t F F t d τττ
+∞
-∞
*=-⎰
仍成立。

自己导出[,]t A B ∈时的卷积公式的形式公式。

△二维卷积的形式 若已知t R +
∈，x R ∈，函数
1(,)f t x 与2(,)f t x 的卷积为
12120(,)(,)(,)(,)t
f t x f t x f f t x d d τξτξτξ+∞
-∞
*=--⎰
⎰
△卷积定理 若
()[]F f ω=F ，()[]G g ω=F
☆卷积后的变换等于变换后的乘积 即
[]()()f g F G ωω*=⋅F
()
1[()()]F G f g ωω-⋅=*或：F
☆乘积后的变换等于变换后的卷积 即
11
[][][]()()
22f g f g F G ωωππ
⋅=*=*F F F
习题七
⒈用傅里叶变换法求解定解问题：
①2(,)(0,)(),(0,)()tt xx t u a u f t x u x x u x x ϕψ⎧⎪=+⎨==⎪⎩； ②200(,,,)
0,0
tt t t t u a u f t x y z u u ==⎧=∆+⎪⎨==⎪⎩
⒉用傅里叶变换与拉普拉斯变换法求解定解问题：
①0,0sin (,0)u y x u x x ∆=>⎧⎪⎨=⎪⎩
；
②2(0,)()t xx u a u u x g x ⎧⎪=⎨=⎪⎩（其中：()sin g x x =或2()1g x x =+）
⒊用积分变换法求解定解问题：【选做：将其改为三维问题求解】
①20
00,()δ==⎧''=⎪⎨==⎪⎩xx t t t u a u u u x ； ②20()δ=⎧'=⎪⎨=⎪⎩xx t u a u u x ；
③200(,)0,0δτ==⎧''=+-⎪⎨==⎪⎩xx t t t u a u t x u u ； ④20
(,)0δτ=⎧'=+-⎪⎨=⎪⎩xx t u a u t x u
⒋用积分变换法求解定解问题：
①22,,0(0,)(),(,0)0
t xx x u a u c u t x u x x u t ϕ⎧⎪=->⎨==⎪⎩； ②1,,0(0,)1,(,0)1xy u x y u y y u x =>⎧⎪⎨=+=⎪⎩
③20
00,,00,()xy
y x u c u x y u u g y ==⎧+=>⎪⎨==⎪⎩； ④2(0,)()t xx x u a u bu cu u x x ϕ⎧⎪=++⎨=⎪⎩；
⑤20
00,,0(),0y x x u x y u f x u ==∆=>⎧⎪
⎨==⎪⎩； ⑥2(1,),(,2)0t xx x u a u u x x u t ⎧⎪=⎨==⎪⎩
⒌用积分变换法求解定解问题：（h 、b 、C 为常数且0h >）
①0,0(,0)()lim 0→∞
∆=>==⎧
⎪⎪
⎨⎪⎪⎩r u y
u x f x u （r ）； ②2
,(,0(0,),(,0)0lim 0
→∞
=->===⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩）t xx x x u a u hu t x u x b u t u
③20
(0(,0),(,)3u u r C u r C θππ∆=<<⎧⎨
==⎩
)
⒍用积分变换法求解定解问题：
①20(0,)()t xx u a u t u x x δ⎧⎪=>⎨=⎪⎩； ②20(0,)0,(0,)()tt xx t u a u t u x u x x δ⎧⎪=>⎨==⎪⎩
③2(,0)(,0)0,(,)0(0,)()xx u a u t u t u t l u x x δ⎧'=>⎪⎪
==⎨⎪=⎪⎩
； ④2(0)(,0)0,(,)0(0,)0,(0,)()
xx t u a u t u t u t l u x u x x δ⎧''=>⎪⎪
==⎨⎪==⎪⎩
；
⒎分别利用齐次化原理法和积分变换法求解下列初值问题：
①sin (0)0,(0)1''+=⎧⎨'==⎩y y x y y ； ②20
sin 0=⎧'=+⎪⎨=⎪⎩xx t u a u t x
u ；
③00430,0==''=-⎧⎨==⎩xx t t t u u xt u u ； ④20
(,0)0,(,1)0=⎧'=+⎪⎪
==⎨⎪=⎪⎩xx t u a u t
u t u t t u
⒏分别利用齐次化原理法和积分变换法求解下列初值问题：
①220sin =⎧'=+⎪⎨=⎪⎩xx t u a u t x u x
； ②200(,)0,δτ==⎧''=+-⎪⎨==⎪⎩xx t t t u a u t x u u x
【选做】：用“双积分变换”方法求解： ⒍② ⒎② ⒏② ⒐②。