人教高中数学A版必修一《二次函数与一元二次方程、不等式》PPT课件

ab＝＝21，. 所以 a＋b＝1＋2＝3，即 a＋b 的值为 3.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a>0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 解析：因为不等式 x2－ax＋2a>0 在 R 上恒成立． 所以 Δ＝(－a)2－8a<0，解得 0<a<8. 答案：0<a<8
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
a<0， 所以b＝－56a>0，
c＝16a<0， 代入不等式 cx2－bx＋a>0 中得16ax2＋56ax＋a>0(a<0)． 即16x2＋56x＋1<0，化简得 x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2， 所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
4．求解一元二次不等式的过程
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( × ) (2)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( √ ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( × )
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋
_{_x_|x_<_x_1_，__或__x_>_x_2_}_ ___{_x|_x_≠__－__2b_a_}__ __R____
c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
__{_x_|x_1_<_x_<_x_2_} __
___∅___
___∅___
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为 几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不 等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取 何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的 解集的通法，即判别式法．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
当 a－1＝－a，即 a＝12时，x≠－12， 所以当 a<12时，原不等式的解集为{x|x<a－1 或 x>－a}， 当 a>12时，原不等式的解集为{x|x<－a 或 x>a－1}， 当 a＝12时，原不等式的解集为xx≠－12，x∈R.
x1<x<1a； 当 a＝1 时，不等式的解集为∅；
当 a>1 时，不等式的解集为
1

xa<x<1.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
含参一元二次不等式的解法
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解关于 x 的不等式 x2＋x－a(a－1)>0，(a∈R)． 解：因为关于 x 的不等式 x2＋x－a(a－1)>0， 所以(x＋a)(x＋1－a)>0， 当－a>a－1，即 a<12时，x<a－1 或 x>－a， 当 a－1>－a，即 a>12时，x<－a 或 x＞a－1，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式 ax2＋5x＋c>0 的解集为x13<x<12，则 a，c 的值分别
为( )
A．a＝6，c＝1
B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1
D．a＝－1，c＝－6
解析：选 B.由题意知，方程 ax2＋5x＋c＝0 的两根为 x1＝13，x2 ＝12，由根与系数的关系得 x1＋x2＝13＋12＝－5a，x1x2＝13×12＝ac， 解得 a＝－6，c＝－1.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
一元二次不等式的实际应用 某小区内有一个矩形花坛 ABCD，现将这一矩形花坛扩 建成一个更大的矩形花坛 AMPN，要求点 B 在 AM 上，点 D 在 AN 上，且对角线 MN 过点 C，如图所示．已知 AB＝3 m， AD＝2 m.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 从两个角度看三个“二次”之间的内在联系
(1)函数的角度：一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 表示二次函数 y ＝ax2＋bx＋c 的函数值大于 0，图象在 x 轴的上方；一元二次 不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集即二次函数图象在 x 轴上方部分的 自变量的取值范围． (2)方程的角度：一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集的端点值 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
【解】 (1)因为 Δ＝72－4×2×3＝25>0， 所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不等实根 x1＝－3，x2＝－12. 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 xx＜－3或x>－12. (2)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为xx＝94.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解含参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解】 ①当 a＝0 时，原不等式即为－x＋1<0，解得 x>1.
②当 a<0 时，原不等式化为x－1a(x－1)>0，解得 x<1a或 x>1. ③当 a>0 时，原不等式化为x－1a(x－1)<0. 若 a＝1，即1a＝1 时，不等式无解；
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
若将本例中“xx<13或x>12”改为“{x|13<x<12}”，其他条件不变， 如何求解？
解：由题意知
a13>＋012＝－ba，即ab>＝0－，56a<0，
13×12＝ac
c＝16a>0.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有__一__个__未知数，并且未知数的最高次 数是___2___的不等式，称为一元二次不等式． (2) 一 元 二 次 不 等 式 的 一 般 形 式 是 __a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0_____ 或 __a_x_2_＋__b_x_＋__c_<_0_____ (其中 a，b，c 均为常数，a≠0)
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式(2x－5)(x＋3)<0 的解集为________． 答案：x－3<x<52
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解不含参数的一元二次不等式 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－841≥0； (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－12x2＋3x－5>0.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2．解不等式：－2<x2－3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组 x2－3x>－2①， x2－3x≤10②， 不等式①可化为 x2－3x＋2>0，解得 x>2 或 x<1. 不等式②可化为 x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1 或 2<x≤5}．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋ Βιβλιοθήκη Baidu(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
有两个不相等 有两个相等的实
的实数根 x1， x2(x1<x2)
数根 x1＝x2＝－2ba 没有实数根
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．若不等式(x－a)(x－b)<0 的解集为{x|1<x<2}，则 a＋b 的值
为( )
A．3
B．1
C．－3
D．－1
解析：选 A.因为不等式(x－a)(x－b)<0 的解集为{x|1<x＜2}，所
以 1 和 2 为方程(x－a)(x－b)＝0 的两个根，则有ab＝＝12，或
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
不等式 3x2－2x＋1>0 的解集为( )
A．x－1<x<13 C．∅
B．x13<x<1 D．R
解析：选 D.因为 Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0， 所以不等式 3x2－2x＋1>0 的解集为 R.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 一元二次不等式概念中的关键词
(1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． (2)二次，即未知数的最高次数必须为 2，且其系数不能为 0. 2．二次函数的零点 一 般 地 ， 对 于 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， 我 们 把 使 _a_x_2_＋__b_x_＋__c＝__0__的实数 x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为 R. (4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ ＝(－6)2－40＝－4<0，所 以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图 象开口向上，所以原不等式的解集为∅.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
三个“二次”之间的关系
若关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为
xx<13或x>12，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0 的解集．
【解】
a<0， 由题意知13＋12＝－ba， 13×12＝ac，
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点 一元二次不 等式的解法 三个“二次” 之间的关系 一元二次不等 式的实际应用
学习目标
掌握一元二次不等式的解法
理解一元二次方程、一元二 次不等式与二次函数的关系 会用一元二次不等式解决有
关实际问题
核心素养 数学运算 数学抽象 数学建模
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
1．不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是( )
A.{x|x<－1}
3 B.xx>2
C.x－1<x<32
D.xx<－1或x>32
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解析：选 D.不等式－2x2＋x＋3<0 可化为 2x2－x－3>0，因为 Δ ＝(－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程 2x2－x－3＝0 的两根 为 x1＝－1，x2＝32，又二次函数 y＝2x2－x－3 的图象开口向上， 所以不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是 xx<－1或x>32，故选 D.
代入不等式 cx2－bx＋a>0，得16ax2＋56ax＋a>0(a>0)， 即16x2＋56x＋1>0， 化简得 x2＋5x＋6>0， 解得 x>－2 或 x<－3. 所以所求不等式的解集为{x|x>－2 或 x<－3}．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将 问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二 次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系 如下：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P50－P54，并思考以下问题： 1．一元二次不等式的概念是什么？ 2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应 关系？ 3．求解一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
若 a>1，即1a<1 时，解得1a<x<1；
若
0<a<1，即1a>1
时，解得
1 1<x<a.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
综上可知，当 a<0 时，不等式的解集为xx<1a或x>1； 当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x＞1}；
当 0＜a＜1 时，不等式的解集为