2023届北京市东城区高三二模数学试卷(word版)

2023届北京市东城区高三二模数学试卷(word版)

一、单选题

(★) 1. 已知集合，，则（）

A．⫋B．C．D．

(★★) 2. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（）A．B．C．D．

(★★) 3. 已知数列中，，，为其前项和，则（）

A．B．C．D．

(★★) 4. 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为（）

A．B．C．D．

(★★) 5. 已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（）

A．B．C．D．

(★) 6. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（）

A．种B．种C．种D．种

(★★) 7. 设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（）

A．B．

C．D．

(★★★) 8. “”是“函数为偶函数”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

(★★) 9. 已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有（）

A．个B．2个C．个D．无数个

(★★★) 10. 设，其中为自然对数的底数，则（）

A．B．

C．D．

二、双空题

(★★) 11. 已知向量满足，与的夹角为，则 ______ ;

______

(★★) 12. 函数在一个周期内的部分取值如下表：

则的最小正周期为 _______ ； _______ ．

三、填空题

(★★★) 13. 若，则实数的一个取值为 __________ .

(★★★) 14. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（）的两部分，则 _______

(★★★★) 15. 定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：

①若为递增数列，则存在最大值；

②若为递增数列，则存在最小值；

③若，且存在最小值，则存在最小值；

④若，且存在最大值，则存在最大值.

其中所有错误结论的序号有 _______ ．

四、解答题

(★★) 16. 在中, .

(1)求;

(2)若,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求及的面积.

条件①: ;

条件②: ;

条件③: .

(★★★) 17. 如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.

(1)设为的中点，求证：；

(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.

(★★★) 18. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：

(1)从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；

(2)设表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据，定义随机变量，如下：

（i）求的分布列和数学期望；

（ii）设随机变量，的的方差分别为，，试比较与的大小．（结论不要求证明）

(★★★) 19. 已知焦点为的抛物线经过点．

(1)设为坐标原点，求抛物线的准线方程及△的面积；

(2)设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

(★★★) 20. 已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求在区间上的最大值；

(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.

(★★★★★) 21. 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.

(1)若，求及；

(2)若，求证：互不相同；

(3)已知，若对任意的正整数都有或，求

的值.