分点突破式学案3：1.2.1 排列(2)

1.2.1排列（2）
1熟练掌握排列数公式；
2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题.
一、课前准备
复习1：．什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也相同 复习2：排列数公式：
m n A ＝ （,,m n N m n *∈≤）
全排列数：n
n A ＝ ＝ .
复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是 二、新课导学 ※ 学习探究：
探究任务一：排列数公式的应用
问题1(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
新知：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用.
探究任务二：解决排列问题的基本方法
问题2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
新知：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可
能用“插空法”等.
※典型例题
例1. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)选5名同学排成一行；
(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；
(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；
(5)全体站成一排，男、女各站在一起；
(6)全体站成一排，男生必须排在一起；
(7)全体站成一排，男生不能排在一起；
(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；
(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；
(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；
(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．
小结：对比较复杂的排列问题，应该仔细分析，选择正确的方法.
例2 用0,1,2,3,4,5这六个数字
(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？
(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？
(3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？
(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？
(5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？
三、总结提升
※学习小结
1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.
2..正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序.
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1．把6位同学排成前后两排，每排3人，则不同排法共有________种(用数字作答)．2．显示屏上的七个小孔排成一排，每个小孔可以显示红、黄、蓝三种颜色，或不显示．若每次由其中三个小孔显示一组红、黄、蓝三色信号，但相邻的两个小孔不同时显示，则该显示屏能够显示的不同信号数为________．
3．从1、2、3、4，…，10十个数中任取两个数，分别做对数的底数与真数，可得到________个不同的对数值．
4.分别求出符合下列要求的不同排法的种数．
(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；
(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；
(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．
参考答案
问题1:(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A 35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法． 问题2：因为第一个数字不能是0,所以先从1-9种选一个数字当百位,再从剩下的9个数字中选一个当十位,再从剩下的数字中选一个当个位.故为9ｘ9ｘ8=648个.
例1.【解析】(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共
有N ＝57A ＝7×6×5×4×3＝2520(种)．
(2)(直接分步法)先考虑甲有13A 种方案，再考虑其余六人全排，故N ＝1
3
A 66A ＝2160(种)． (3)(直接分步法)先安排甲、乙有22A 种方案，再安排其余5人全排，故N ＝22A ·55A ＝240(种)． (4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类； 第一类：甲在最右端有N 1＝66A (种)，
第二类：甲不在最右端时，甲有15A 个位置可选，而乙也有1
5A 个位置，而其余全排55A ， ∴N 2＝15
A 15A 55A ，故N ＝N 1＋N 2＝66A ＋15A 1
5A 55A ＝3 720(种)． 法二(间接法)
无限制条件的排列数共有77A ，而甲或乙在左端(右端)的排法有66A ，且甲在左端且乙在右端的排法有55A ，故N ＝77A －266A ＋55A ＝3 720(种)． 法三(直接分步法)按最左端优先安排分步
对于左端除甲外有16A 种排法，余下六个位置全排有66A ，但减去乙在最右端的排法1
5A 55A 种， 故N ＝16
A 66A －1
5A 55A ＝3 720(种)． (5)相邻问题(捆绑法)
男生必须站在一起，是男生的全排列，有33A 种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有44A 种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有22A 种排法，由分步乘法计数原理知，共有33A ·44A ·22A ＝288(种)．
(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故N ＝33A ·55A ＝720(种)．
(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共44A 种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排有35A 种排法，故N ＝44A ·35A ＝1 440(种)．
(8)对比(7)让女生插空：N ＝33A ·44A ＝144(种)．
(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N ＝2252()A A ⋅·44A ＝960(种)．
(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N ＝77
22
A A ＝2520(种)．
(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的33
1
A ，∴N ＝7722A A ＝840(种)．
(12)直接分步完成共有3474A A ⋅＝5 040(种)． 例2. 解 (1)分三步：
①先选百位数字．由于0不能作百位数字，因此有5种选法； ②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法．
由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．
(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法． 故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．
(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．
(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．
(5)分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)． 当堂检测
1.【解析】 相当于6个人进行全排列，故有A 66＝6×5×4×3×2×1＝720种排法． 【答案】 720
2.【解析】 3个显示小孔不相邻，即在4个不显示的小孔的5个空当中插入3个显示的小孔，又因3个小孔显示的颜色不相同，故有A 35＝60种不同的信号数． 【答案】 60
3.【解析】 从10个数中取出两个数的所有排列数为：A 210＝10×9＝90.
当1为底数时，不合题意的共有9个，共1为真数时，对数值都是零，应去掉8个，又因log 23与log 49同，log 32与log 94同，log 24与log 39同，log 42与log 93同． ∴共有不同对数值90－9－8－4＝69.
【答案】 69
4.(1)分排与直排一一对应，故排法种数为66A ＝720(种)．
(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有1
4A 种选法，然后其他5人排，有55A 种排法，故排法种数为1
4
A 55A ＝480(种)． (3)甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、
右及之间的空位中排，共有42
4
5A A ＝480(种)排法．。