离散数学第3版习题答案

离散数学第3版习题答案
【篇一：华东师范大学离散数学章炯民课后习题第3章
答案】
xt>（1）2是正数吗？
（2）x2+x+1=0。

（3）我要上学。

（4）明年2月1日下雨。

（5）如果股票涨了，那么我就赚钱。

解：
(1) 不是
(2) 不是
(3) 不是
(4) 是
(5) 是
2. 判断下列命题的真值：
（1）若1+1=3，则2+2=4
（2）若鸟会飞，则 1+1=3
解：
(1) 1
(2) 0
11. 将下列两个命题符号化，并分别用真值表和等值演算的方法证
明所得到的那两个命题公式是等值的。

（1）你不会休息所以就不会工作，你没有丰富的知识所以你就不会
工作；
（2）你会工作所以一定会休息并具有丰富的知识。

解：
设p：你会休息，q:你会工作，r:你有丰富的知识。

原命题符号化为
(1) (?p??q) ?(?r??q)
(2) q?(p?r)
12.（1）用等值演算的方法证明命题恒等式p?(q?p)=?p?(p??q)。

13. 构造一个只含命题变量p、q和r的命题公式a，满足：p、q
和r的任意一个赋值是a的成真赋值当且仅当p、q和r中恰有两个
为真。

解：(p?q??r)?( p??q?r)?(?p?q?r)
14. 通过等值演算求p?(p?(q?p))的主析取范式和主合取范式。

解：
主析取范式：(?p?q)?(?p??q)?(p??q)?(p?q )
主合取范式不存在
15. 一教师要从3名学生a、b和c中选派1～2人参加市级科技竞赛，需满足以下条件：
（1）若a去，则c同去；
（2）若b去，则c不能去；
（3）若c不去，则a或b可以去。

问该如何选派？
解：为此问题建立数学模型。

有三个方案：仅c去，仅b去，仅a和c去
16. 证明{?,?}是功能完备集。

17. （1）证明p?(q?s),q,p??r?r?s。

证明：
① p??r 前提引入
② r 附加前提引入
③ p ①②析取三段
④ p?(q?s) 前提引入
⑤ q?s ③④假言推理
⑥ q 前提引入
⑦ s ⑤⑥假言推理
19. 构造下列推理的形式证明：
“今天下午没有出太阳并且今天比昨天冷。

只有今天下午出太阳，我们才去游泳。

若我们不去游泳，则我们乘独木舟游览。

若我们乘独木舟游览，则我们在黄昏时回家。

所以，我们在黄昏时回家。

”解：
设p: 今天下午出太阳,q: 今天比昨天冷,r: 我们去游泳m: 我们乘独木舟游览, n: 我们在黄昏时回家
命题符号化为：
前提：?p?q,r?p, ?r?m,m?n
结论：n
证明：
① ?p?q前提引入
② ?p ①化简
③ r?p 前提引入
④ ?r②③拒取式
⑤ ?r?m 前提引入
⑥ m④⑤假言推理
⑦ m?n前提引入
⑧ n ⑥⑦假言推理
补充：
1. 将当当网的图书高级搜索符号化：
解：p:书名q:著译者r:isbn s:折扣t:定价u:当当价v:出版时间w:
出版时间
符号化为：p?q?r?s?t?u?v?w
2. 请将语句“除非你已满16周岁，否则只要你身高不足1.2米就不
能乘公园的滑行铁道”。

解：
设p:你已满16岁，q:你身高足1.2米，r:你能乘公园的滑行铁道
命题符号化为：(?p??q)??r
3. p、q、r为如下命题：
p：你得流感了
q：你错过了最后的考试
r：这门课你通过了
请用自然语言表达命题(p??r)?(q??r)。

解：
（1）如果你得流感了，你就不能通过这门课；或者你错过了最后的考试，你也不能通过这门课。

（2）
如果你得流感了并且错过了最后的考试，那么你就不能通过这门课。

【篇二：屈婉玲版离散数学课后习题答案【3】】
xt>3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:
(1) 对于任意x,均有错误！未找到引用源。

2=(x+错误！未找到引用源。

)(x错误！未找到引用源。

). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体
域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解：
f(x): 错误！未找到引用源。

2=(x+错误！未找到引用源。

)(x错误！
未找到引用源。

).
g(x): x+5=9.
(1)在两个个体域中都解释为?xf
(x)，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。

(2)在两个个体域中都解释为?xg(x)，在（a）(b)中均为真命题。

4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:
(1)f(x): x能表示成分数h(x): x是有理数
命题符号化为: ??x(?f(x)?(2)f(x): x是北京卖菜的人 h(x): x是外地
人命题符号化为: ??x(f(x)
?h(x))
h(x))
5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快.
(3) 不存在比所有火车都快的汽车.解:
(1)f(x): x是火车; g(x): x是轮船; h(x,y): x比y快
命题符号化为: ?x?y((f(x)?g(y))
?h(x,y))
9.给定解释i如下:
(a) 个体域d为实数集合r.
(b) d中特定元素错误！未找到引用源。

=0.
(c) 特定函数错误！未找到引用源。

(x,y)=x错误！未找到引用源。

y,x,y?未找到引用源。

.
(d) 特定谓词错误！未找到引用源。

(x,y):x=y,错误！未找到引用源。

(x,y):xy,x,y?
d
d
?h(x,y)))
错误！
.
说明下列公式在i下的含义,并指出各公式的真值: (1) ?x?y(g(x,y)(2) ??f(x,y))
?x?y(f(f(x,y),a)?g(x,y))
答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果xy, 那么x?y. 真值1.
(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么xy. 真值0. 10. 给定解
释i如下：
（a）个体域d=n(n为自然数集合).
（b） d中特定元素错误！未找到引用源。

=2.
（c） d上函数错误！未找到引用源。

=x+y,错误！未找到引用源。

(x,y)=xy. （d） d上谓词错误！未找到引用源。

(x,y):x=y.
说明下列各式在i下的含义，并讨论其真值. (1) 错误！未找到引用源。

xf(g(x,a),x)
(2) 错误！未找到引用源。

x错误！未找到引用源。

y(f(f(x,a),y)→f(f(y,a),x) 答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.
(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.
11. 判断下列各式的类型:
(1) 错误！未找到引用源。

(3) 错误！未找到引用源。

yf(x,y). 解:(1)因为 p
?(q?p)??p?(?q?p)?1 为永真式；
所以错误！未找到引用源。

为永真式；
(3)取解释i个体域为全体实数 f(x,y)：x+y=5
所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真；后件为存
在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，] 此时为假命题
再取解释i个体域为自然数n， f(x,y)：:x+y=5
所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。

此时为假命题。

此公式为非永真式的可满足式。

13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。

(1) 错误！未找到引用源。

(f(x)错误！未找到引用源。

(2) 错误！未找到引用源。

x(f(x)错误！未找到引用源。

g(x)错误！
未找到引用源。

h(x))
解:(1)个体域:本班同学
f(x)：x会吃饭, g(x)：x会睡觉.成真解释
f(x)：x是泰安人,g(x)：x是济南人.（2）成假解释 (2)个体域:泰山学院的学生
f(x)：x出生在山东,g(x):x出生在北京,h(x):x出生在江苏,成假解释. f(x)：x会吃饭,g(x)：x会睡觉,h(x)：x会呼吸. 成真解释.
第五章部分课后习题参考答案
5.给定解释Ｉ如下: (a)个体域d={3,4}; (b)
f(x)
错误！未找到引用源。

为f(3)?4,f(4)?3错误！未找到引用源。

(c)f(x,y)为f(3,3)?f(4,4)?0,f(3,4)?f(4,3)?1错误！未找到引用源。

.
试求下列公式在Ｉ下的真值. (1)?x?yf
(x,y)
?f(f(x),f(y)))
(3)?x?y(f(x,y)解:(1) ?x?yf
(x,y)??x(f(x,3)?f(x,4))
?
(f(3,3)?
f(3,4))?(f(4,3)?f(4,4))
?(0?1)?(1?0)?1
(2) ?x?y(f(x,y)
?f(f(x),f(y)))
?
?x((f(x,3)?f(f(x),f(3)))?(f(x,4)?f(f(x),f(4))))
??x((f(x,3)?f(f(x),4))?(f(x,4)?f(f(x),3)))?((f(3,3)?f(f(3),4))?(f(3,4)?f (f(3),3)))
?((f(4,3)?
f(f(4),4))?(f(4,4)?f(f(4),3)))
?((0?f(4,4))?(f(3,4)?f(4,3)))?((1?f(3,4))?(0?f(3,3)))
?(0?0)?(1?1)?(1?1)?(0?0)?1
12.求下列各式的前束范式。

(1)?xf
(x)??yg(x,y)
(5)?x1f(x1,x2)解:(1) ?xf
?(h(x1)???x2g(x1,x2))
(本题课本上有错误)
(x)??yg(x,y)??xf(x)??yg(t,y)??x?y(f(x)?g(t,y))
(5) ?x1f(x1,x2)
?(h(x1)???x2g(x1,x2))
??x1f(x1,x2)?(h(x3)??x2?g(x3,x2))??x1f(x1,x4)??x2(h(x3)??g( x3,x2))
??x1?x2(f(x1,x4)?(h(x3)??g(x3,x2)))
15.在自然数推理系统f中,构造下面推理的证明: (1) 前提: ?xf
(x)??y((f(y)?g(y))?r(y))
,?xf
(x)
结论: ?xr(x)
(2) 前提: ?x(f(x)→(g(a)∧r(x))), 错误！未找到引用源。

xf(x) 结论:错误！未找到引用源。

x(f(x)∧r(x)) 证明(1) ①?xf
(x)
前提引入
②f(c)①ei ③?xf
(x)??y((f(y)?g(y))?r(y))
g(y))?r(y))
前提引入
④?y((f(y)? ①③假言推理
⑤(f(c)∨g(c))→r(c))④ui
⑥f(c)∨g(c)②附加⑦r(c)⑤⑥假言推理⑧?xr(x)⑦eg (2)
①?xf(x) 前提引入②f(c) ①ei
③?x(f(x)→(g(a)∧r(x))) ④f(c)→(g(a)∧r(c))
⑤g(a)∧r(c)⑥r(c)⑦f(c)∧r(c)⑧?x(f(x)∧r(x)) 前提引入③ui ②④假言推理⑤化简②⑥合取引入
【篇三：离散数学课后练习题答案(第三版)_乔维声_汤
维版】
1. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解： (1)
设p：这个数是大于1 的整数。

q：这个数的大于1 最小因数是素数。

则原命题可表示为：p?q。

或：设p1：这个数大于1。

p2：这个数是整数。

q：这个数的大于1 最小因数是素数。

则原命题可表示为：p1? p2?q。

(2)
设p：王琳是学生。

q：王琳是党员。

r：王琳能严格要求自己。

s：王琳会得到大家的尊敬。

则原命题可表示为：p ?q?r? s。

(3)
设p：小王富有。

q：小王很快乐。

则原命题可表示为：?p ?q。

(4)
设p：逻辑学枯燥无味。

q：逻辑学毫无价值。

则原命题可表示为：?( p?q)。

(5)
设p：我现在乘公共汽车。

q：我现在坐飞机。

则原命题可表示为：p??q。

(6)
设p：天有雾。

q：他搭船过江。

r：他乘车过江。

则原命题可表示为：p ?? q?r。

2.
设p：天下雪。

用形式语言写出下列命题：
如果这个数是大于1 的整数，则它的大于1 最小因数一定是素数。

如果王琳是学生党员又能严格要求自己，则她一定会得到大家的尊敬。

小王不富有但很快乐。

说逻辑学枯燥无味或毫无价值都是不对的。

我现在乘公共汽车或者
坐飞机。

如果有雾，他就不能搭船而是乘车过江。

q：我将进城。

r：我有时间。

将下列命题形式化： (1) (2) (3) (1) (2) (3) 3. (1) (2) (3) (4) 解： (1) (2) (3) (4)
原公式可翻译为：我有时间而且我将进城。

?(r?q) ??r??q。

原公式可翻译为：我没有时间也没有进城。

我将
进城当且仅当我有时间而且天不下雪。

(q?r)?(r?q) ) ?(q?r) ? (?q ?? r) ? q?r。

原公式可翻译为：如果我
进城，我就有时间；如果我有时间，我就进城。

或：我进城而且我
有时间，或者我没有进城而且我也没有时间。

或：我进城当且仅当
我有时间。

4. (1) (2) (3) (4) 解： (1)
q?(p?q)?p
构造下列命题公式的真值表： q?(p?q)?p (p??q)?(r?q)?r
((p?q)?(q?r))?(p??r) ((?p?(p??q))?r)?(q??r) 天不下雪，我也没有进城。

如果我有时间，我将进城。

如果天不下雪而我又有时间的话，我将进城。

?p ?? q。

r?q。

?p ? r?q。

将p、q、r所表示的命题与上题相同，试把下列公式翻译成自然语言： r?q ?(r?q) q?(r??p) (q?r)?(r?q)
解：原命题可分别表示为：
19. (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
判断下列命题公式中哪些是重言式？哪些是矛盾式？哪些既不是重
言式又不是矛盾式？ (p?q)?(?q??p) (q?(p?q))?(p?q)
(p?q)?(q?p)?(?p?q) q?(p?q)?(p??q) (p?q)?(p?q?p)
((p?q)?(r?s))?(p?r?q?s)
20.
所以(p?q)?(?q??p) 是重言式。

21. (q?(p?q))?(12) 所以(q?(p?22.
所以(p?q)?(q?p)?(?p?q)既不是重言式又不是矛盾式（或，是可满
足式）。

23. q?
(14) (15)
(p?q)?(p?q(16) 所以(p?q)?
(19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54)
用推导法证明下列命题公式是等价的：
p?(q?p)??p?(p?q) ?(p?q)?(p??q)?(?p?q) ?(p?q)?(?p?(?p?q))?( ?p?q) (p?q)?(r?q)? p?r?q p?(q?r)?(p??q)?(p?r) (q?r?s)? (r? p?s) ? r?(p?q)?s 证明：
p?(q?p)?(p?q)?p ??(p?q)?p ?(?p??q)? p ?(?p?
p)??q ?1??q ?1
?p?(p?q) ?(?p?p)? q ?0? q ?1
所以p?(q?p)??p?(p?q)。

?(p?q)??((p?q) ?(q?p)) ??(p?q) ?? (q?p) ??(?p?q) ??(?q?p) ?(p??q)?(q ??p) ?(p??q)?(?p?q)
?(p?q)?(?p?(?p?q))? (p?q) ? (?p?(?p?q)) ?(p?q) ?
((?p??p)?q) ?(p?q) ? (?p?q) ?( (p?q) ? q) ??p ? q ??p ??p?q (p?q)?(r?q)?(?p?q)?(?r?q) ?( (?p?q)??r)?( (?p?q)?q) ?( ?p??r) ?(q??r)?q ?? ( p?r) ?q ?p?r?q
p?(q?r)? (p?q)?r ? ? (p?q) ?r
(55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109)
(p??q)?(p?r) ?
(?p??q)?( ?p?r) ?( (?p??q)? ?p)?r ?(?p??q) ?r ? ? (p?q) ?r
所以p?(q?r)? (p??q)?(p?r)。

(q?r?s)? (r? p?s) ? (? (q?r) ?s)? (?r? p?s) ? (?q??r?s)? (?r? p?s) ? (?q?(?r?s) )? (p ? (?r ?s) ) ?(?q?(?r?s) )? p? (?q?(?r?s) ) ? (?r ?s) ?(?q?(?r?s) )? p?
(?r ?s) ?(?q? p )?((?r?s) ? p)? (?r ?s) ?(?q? p )? (?r ?s)
r?(p?q)?s? r?(?p?q)?s ? ?(r?(?p?q) ) ?s ? (?r?? (?p?q) ) ?s ? (?r? (p??q) ) ?s ? (p??q) ?(?r?s)
所以(q?r?s)? (r? p?s) ? r?(p?q)?s。

用分析法证明下列蕴含重言式： p?q?p?q p?q?p? p?q p??p?q
p?(q?r)?(p?q)? (p?r) (p?q)?(q?r)?p?r 证明：
若p?q为真，则p与q都为真，所以p?q为真，故p?q?p?q。

假设p? p?q 为假，则p为真，且p?q为假，于是q为假，所以
p?q为假，故p?q?p? p?q。

假设?p?q为假，则?p为真，即p为假，故p??p?q。

假设(p?q)? (p?r) 为假，则p?q为真，p?r为假；由p?r为假知p
为真，r为假；再由p?q为真知q为真；所以q?r为假，则p?(q?r)为假，故p?(q?r)?(p?q)? (p?r)。

假设p?r为假，则p为真，r为假，
若q为真，则q?r为假，所以(p?q)?(q?r) 为假；若q为假，则
p?q为假，所以(p?q)?(q?r) 为假；故(p?q)?(q?r)?p?r。

写出下列
命题公式的对偶： ?(?p??q)??(?p?q) ?p (p??q) ?(p?q) ?(?p??q) p?( (q?r) ? ?(p??q) ) 解：
因为?(?p??q)??(?p?q) ?p?? ((?p??q) ? (?p?q) )?p ??
( ?p??p ??p?q??q??p? ?q ?q )?p ?? (?p? ?p ?
q ??p ??q) ?p ? ? (?p) ?p ? p ?p ?1
所以?(?p??q)??(?p?q) ?p的对偶为0。

(p??q) ?(p?q) ?(?p??q) 的对偶为(p??q) ? (p?q) ? (?p??q)。

因
为p?( (q?r) ? ?(p??q) ) ?? p ? ( (q?r) ? ?(p??q) ) ?? p ?
( (?q ?r) ? ?(p??q) )
所以p?( (q?r) ? ?(p??q) )的对偶为? p? ( (?q? r) ??(p??q) )。

利
用真值表判断公式c是否是前提h1、h2、…的有效结论： h1：p?q；h2：p；c：p?q h1：p?(q?r)；h2：p?q；c：r
h1：?p?q；h2：?( q ?? r)；h3：? r；c：?p 解：
其真值表如下表所示：
(110) (111)
因为使h1：p?q；h2：ph1、h2的有效结论。

(112) (113)
因为使h1：p?(q
(114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143) (144) (145) (146) (147) (148) (149) (150) (151) (152) (153) (154) (155) (156) (157) (158) (159) (160) (161) (162) (163) (164) (165) (166) (167) (168) (169) (170) (171) (172) (173) (174) (175) (176) (177) (178) (179) (180) (181) (182) (183) (184) (185) (186) (187) (188) (189) (190) (191) (192) (193) (194) (195) (196) (197) (198) (199) (200)
用形式证明的方法证明： ?a?b，c?? b? a?? c p?q，r? ?q，r??
p (a?b) ?(c?d)，a??a? c?d p?q? r，? r?s，?s??p??q
(a?b) ? (c?d)，b?e，d?f，?(e?f)，a?c??a w?p?i，i ?c?s，
s?c，?c?r??w s??q，?r?q，?r?? (?r? s) a?b?c?d，d?e?f? a?
f
c?m?n，a ?(b?c)，?p? m?? n? a?( b ? p) 证明：
①a（附加）②?a?b （前提）③b （①,②）④c?? b （前提）
⑤b ?? c（④,e14,e6）⑥? c （③,⑤）⑦a?? c （①,⑥；cp规则）①r（前提）②r? ?q （前提）③?q（①,②）④p?q（前提）⑤?
p （③,④）①a??a （前提）②?a（①）③?(a?b) （②）
④(a?b) ?(c?d) （前提）⑤c?d（③,④）①?s（前提）②? r?s （前提）③? r （①,②）④p?q? r（前提）⑤? (p?q)（④）
⑥?p??q （⑤,
?e10
）
①a （假设）③c（①，②,
i11）④(a?b) ? (c?d) （前提）
i⑤(a?b)（④, 1） i2）⑥(c?d) （④, i11⑦b（①, ⑤,
i）
⑧d（③, ⑥, 11）⑨b? e（前提）
i⑩e （⑦, ⑨, 11）
11 ○d? f（前提）
i11）
12 ○f （⑧, 11, ○
13 ○e ?f （⑩, 12○）14○?(e?f)（前提）15 ○(e?f) ?? (e?f)
（13,○14,○所以(a?b) ? (c?d)，b?e，d?f，?(e?f)，a?c??a。

①?c?r（前提）②?c （①）③s?c（前提）④? s （②,③）
⑤?(c?s) （②,④）⑥i ? c?s（前提）⑦? i （⑤,⑥）⑧w?p?i
（前提）⑩? w? p（⑨,⑨?( w?p) （⑧）
②a?c（前提）
i9）
e10）
11○?w（⑩）①?r （前提）②?r?q （前提）③q （②）
④s??q （前提）⑤? s （③,④）⑥? (?r? s) （①,⑤）①a（附加）②a?b （①）③a?b?c?d（前提）④c?d （②,③）⑤d （④）⑥d?e （⑤）⑦d?e?f（前提）⑧f （⑥,⑦）⑨a? f （①,⑧；cp
规则）①a（附加）②a ?(b?c) （前提）③b?c （①,②）④b（附加）⑤c （③,④）⑦?c ??m? n （⑥,
⑥c?m?n （前提）⑧?m? n （⑤,⑦）⑩?m? n? p （⑨, ?e11,e10
）
⑨?p? m?? n （前提）
?e14,e6,e10
）。