西北工业大学《高等数学2B》2019-2020学年第二学期期末试卷

.
∫∫ 5. 设曲面 Σ 是圆锥面=z x2 + y2 ( 0 ≤ z ≤ 2) , 则曲面积分 z dS 的值为 Σ
.
二、选择题（共 15 分，每小题 3 分）
1. 下列级数中收敛的是 (
)．
∞
∑ (A) (−1)n n=1
∑ (B) ∞ tan π
n=3 n
∑∞ 4n −1
(C) n=1 n2 + n
2
2
的曲线段.
= 解: P
x= x2 ++ yy2 , Q
y x2
+= − yx2 , 则 ∂∂Py
x= 2( x−22+xyy 2−)2y 2
∂Q , 故曲线积分与路径无关, ∂x
选取= 圆弧 C : x π= cosθ , y π sinθ , θ: π → 0, 则
2
2
∫ ∫ L
(x
+
y)dx x2
六、证明题(本题 5 分)
设常数 a
>
0, 对 ∀ n ∈ N+ ,
un
>
0,
vn
>
0,
且
vn
un un+1
− vn+1
≥
a.
∞
∑ 证明: 级数 un 收敛.
n=1
证明:
vn
un un+1
−
vn+1
≥
a
>
0
即
unvn − un+1vn+1 ≥ a > 0 , un+1
于是
unvn − un+1vn+1 > 0,
∑ 故 f (x) 的傅里叶级数为:
π 4
+
4 π
∞ n=1
(−1)n
−
cos
nπ 2
cos nx. n2
当 x = π 时, f (x) 连续, S( π ) = f ( π );
2
22
∑ ∴
f
(x)
=π 4
+
4 π
∞ n=1
(−1)n
−
cos
nπ 2
cos nx n2 ,
x ∈[0, π].
z
.
由 x + y − z =ez 得：=x 1,=y e 时， z = 1,
( ) ∴ d z (1,e) =
∂z dx + ∂z dy =
∂x (1,e)
∂y (1,e)
1 dx + dy . 1+ e
四、计算题（共 21 分，每小题 7 分）
1. 将函数 f (= x) ln (1+ x2 ) 展开成麦克劳林级数, 并求 f (6) (0) .
0, 2x −
0
≤
x
≤
π 2
,
π,
π 2
<
x
≤
π
展开成以 2π 为周期的余弦级数.
解:
首先将
f
(x)
=
0, 2x −
0
≤
x
≤
π 2
,
π,
π 2
<
x
≤
π
在[−π, π]上延拓为偶函数 F(x),
再将 F(x)延拓为周期 2π 的周期函数, 其傅里叶系数
∫ ∫ a=0
2
π
f (x)d=x
π0
解: 由对称性, ∫∫∫ x dV = 0, 选用球坐标系, Ω
=f
′
2
−
8x3
y
f1′1′
+
(4x4
−
2
y2
)
f1′2′
+
xy
f2′2′ .
I= ∫∫∫ (x + z x2 + y2 + z2 ) dV= ∫∫∫ z x2 + y2 + z2 dV
Ω
Ω
2. 设 z = z(x, y) 是由方程 x + y − z =ez 确定的隐函数, 求全微分 dz (1,e) . 解: 令 F (x, y, z) = x + y − z − ez , 则
0
0
2
1− y2
∫ ∫ (C) 2 dy
f (x, y) dx
0
y
2
1− y2
∫ ∫ (D) 2 dy
f (x, y) dx
0
0
5.
设函数
f
(x,
y)
=
sin( x 2 xy
y)
,
xy ≠ 0,
则
f
′
y
(1,0)
(
0,
xy = 0,
(A) 等于 0
(B) 等于1
(C) 等于 2
). (D) 不存在
2 π
π
π (2x − π)d=x
2
π, 2
∫ ∫ = an
2
π
f (x) co= s nx dx
π0
2 π
π
π (2x − π) cos nx dx
2
=
2 π
(2x
−
π) sin n
nx
+
2 cos n2
nx
=ππ
4 n2π
(−1)n
−
cos
nπ 2
,
n = 1, 2,3, .
2
= bn 0= , n 1, 2,3,,
D
D1
A 卷: D B A C D
三、计算题（共 28 分，每小题 7 分）
1. 设函= 数 z
f (x4 − y2, xy),
f 具有连续的二阶偏导数, 求 ∂z ,
∂z 及
∂2z .
∂x ∂y ∂x∂y
解 := ∂z ∂x
4x3
f1′
+
y
f
′
2
,
∂z ∂y
= −2 y f1′
+
x
f
′
2
,
= ∂2 z ∂x∂y
+ +
(y y2
−
x)dy
=
(x + y)dx + ( y − x)dy
C
x2 + y2
∫ =
4 π2
0 π
π 2
(cosθ
+
sinθ
)
⋅
π 2
(− sin θ
)
+
π 2
(sinθ
−
cosθ
)
⋅
π 2
cosθ
dθ
0
=∫π (−1) dθ =π.
∫∫ 3. 计算曲面积分 4zx dydz − 2 yzdzdx + (z −z2 ) dxdy, 其中 Σ 为 yOz 平面的曲线 Σ
3. (−1,3)
5 4.
8
二、选择题（共 15 分，每小题 3 分）
5. 16 2 π 3
=D {(x, y) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}. 解: = 取 D1 {(x, y) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1− x }, 则
I= ∫∫ f (x, y)dxdy= ∫∫ (1− x + 2 y)dxdy
Σ1
Dxy
故原= 式 2π(e2 −1) − 4π(e2 − e=4 ) 2π(2e4 − e2 −1).
五、解答题（共 16 分，每小题 8 分）
∑ ∑ 1.
∞
求幂级数 (2n +1) xn 的收敛域及和函数,
n=0
∞
并求 (−1)n
n=0
2n + 2n
1
的值.
∑ = 解: R lni= →m∞ aann+1 lni→m∞= 22nn ++13 1,
2019～2020 学年第二学期高等数学期末考试试卷参考答案
1− x + 2 y, 当 x + y ≤ 1时,
∫∫ 3. 计算二重积分 I = f (x, y) dxdy, 其中 f (x, y) =
D
0,
当 x + y > 1时,
一、填空题（共 15 分，每小题 3 分）
A 卷： 1. x − 2 y + z − 6 =0 2. (1, 2,1)
西北工业大学２０１９～２０２０学年第二学期期末考试试卷 《高等数学 2B》(A 卷)（共 4 页）
（考试时间：2020 年 9 月 20 日, 14:00-16:00）
题号 一 二 三 四 五 六 成绩 核分人签字 得分
一、填空题（共 15 分，每小题 3 分）
1. 曲面 x2 + y2 + z2 = 6 在点 (1, − 2,1) 处的切平面方程为
.
2. 设函数 f (x, y, z=) xy + y ez , 则梯度 grad f (1,1,0) =
.
∑∞ (x −1)n
3. 幂级数
n=1
2n
的收敛域为
.
∑ 4.
将函数
f
(x)
=
x2,
1,
0
1 2
≤ ≤
x x
< <
1 2
1
,
展开成周期为
2
的正弦级数
∞ n=1
bn
sin
n
πx
,
其和函数记为 S(x), 则 S( 52) =
且
un+1
≤
1 a
(unvn
− un+1vn+1).
数列{unvn}单调递减且 unvn > 0, 故由单调有界准则知
lim
n→∞
unvn
存在,
设
lim
n→∞
un
vn
=
A.
∞
∑ 考虑正项级数 (unvn − un+1vn+1) , 其部分和
n=1
n
∑ Tn =(ukvk − uk+1vk+1) = u1v1 − un+1vn+1,
nxn−1
+
1
1 −
x
∑ =
2
x
(
∞ n=1
xn
)′
+
1
1 −
x=
2x
(1
x −
x
)′
+
1
1 −
x=
2x (1− x)2
+
1 1−
x=
1+ x (1− x)
2
.
∑ ∑ ( =n∞0= (−1)n 2n2n+1 = n∞0 2n
+ 1) (−
1 2
)n
= S (−
1 2
)
=
2 9
.
2.
将函数
f
(x)
=
k =1
∞
∑ lni→m∞= Tn
u1v1 − A,
于是 (unvn −un+1vn+1) 收敛.
n=1
∞
∞
∑ ∑ 由比较判别法知 un+1 收敛, 故 un 收敛.
n=1
n=1
∑ ∑ 解: = 1 +1x=2 n∞0= (−x2 )=n n∞0 (−1)n x2n , x ∈ (−1,1),
∑ ∴ f ′(= x)
1
2 +
x= x2
∞
2 (−1)n x2n+1, x ∈ (−1,1),
n=0
∫ ∑ ∫ ∑ 所以 f (= x)
x
∞
f (0) + f ′(t)= dt 2
x (−1)n t 2n+1= dt
4x3 [
f1′1′ ⋅ (−2 y)
+
f1′2′
⋅
x] +
f
′
2
+
y[
f2′1′ ⋅ (−2 y) +
f2′2′
⋅ x]
= =
1
1− x
∫0 dx∫0 (1− x + 2 y)d=y
∫2= 1u2 du 2.
0
3
∫12(1− x)2 dx 0
∫∫∫ 4. 计算三重积分 (x + z x2 + y2 + z2 )dV , 其中 Ω 是曲面 z = 1− x2 − y2 与 Ω =z x2 + y2 所围的空间区域.
∫ L
).
(A) π
(B) 1
(C) 0
(D) 2π
π
1
∫ ∫ 4. 设 f (x, y) 为连续函数, 则积分 4 dθ f (ρ cosθ , ρ sinθ ) ρ dρ = (
0
0
)．
2
1− x2
∫ ∫ (A) 2 dx
f (x, y) dy
0
x
2
1− x2
∫ ∫ (B) 2 dx
f (x, y) dy
=
Fx′ =1, Fy′ =1, Fz′ =−1− ez ,
=
∫ ∫ ∫ 2π dθ
π
4 dϕ
1
r cosϕ
⋅r
⋅ r 2sinϕ
dr
0
0
0
∫ 2= π π4 1 sinϕ cosϕ dϕ π .
05
10
∂z ∂x
= − Fx′ Fz′
=1 1+ e
z
,
∂z ∂y
= − Fy′ Fz′
=1 1+ e
n
函数 f (= x) ln (1+ x2 ) 的麦克劳林级数展开式中, x6 项的系数为
= a6
f= (6) (0) 1 , 6! 3
于是 f (6) (0=) 6=! 240. 3
∫ 2.
计算积分
L
(x
+
y)dx x2
+ +
(y y2
−
x)dy
,
其中 L 是由 A(− π ,0) 沿 y = cos x 到 B( π ,0)
∞ (−1)n x2n+2 , x ∈ (−1,1).
0 =n
0 0=n
0
n +1
∑ 当 x = ±1时, 级数为 ∞ (−1)n , 收敛,
n=0 n +1
( ) ∑ ∑ ∴ln 1+ x2=
∞
(−1)n
x
2n+2
=
∞ (−1)n−1 x2n , x ∈[−1,1].
=n 0= n + 1 n 1
∞
当 x = −1时, 级数为 (−1)n (2n +1) 发散;
n=0
∞
当 x = 1时, 级数为 ∑(2n +1) 发散, 故收敛域为 (−1,1). n=0
当 x ∈ (−1,1) 时,
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
S(x)=
=n 0
(
2n
+
1)
∞
∞
xn= 2 nxn +
=n 0=n 0
∞
xn= 2x
=n 1
Ω
Ω
∫ ∫ ∫ ∫ = 2π dθ 0