2020年中考数学题型01操作类试题【含解析】

2020年中考数学题型01操作类试题
、单选题
1.如图，在Rt ABC中，Z B 90：,以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D, E ,
再分别以点D、E为圆心，大于1DE为半径画弧，两弧交于点 F ,作射线AF交边BC于点
2
BG 1,AC 4 ,则ACG的面积是（）
A. 1
B. 3
C. 2
D. 5
2 2
【分析】利用基本作图得到AG平分/ BAC利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1,然后根据三角
形面积公式计算^ ACG勺面积.
【详解】解：由作法得AG平分BAC,
G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1,
所以ACG的面积14 12. 2
故选：C.
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了交平分线的性质.
2.如图，在0ABCD中，将ADC沿ACf叠后，点D恰好落在DC勺延长线上的点E处.若B=60 , AB=3,
则ADE 的周长为（
【答案】C
BAC 90 ,
又;B 60 ,
ACB 30 ,
BC 2AB 6, AD 6,
由折叠可得，
E D B 60 ,
DAE 60 ,
ADE 是等边三角形， ADE 的周长为6 3 18, 故选：C.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定.解题时注意折叠是一种 对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
DEC ,使点A 的对应点D 恰好落在边 AB 上，点B 的对应点
A. 12
B. 15
C. 18
D. 21
【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到
BC=2, AB=6, AD=6,再根据 ADE 是等
边三角形，即可得到 ADE 的周长为6 3 18 .
【详解】由折叠可得,
ACD ACE 90 ,
3.如图，将 ABC 绕点C 顺时针旋转得到 为
E,连接BE.下列结论一定正确的是（
A. AC AD
B. AB EB
C. BC DE
D. A EBC
【答案】D
【分析】利用旋转的性质得ACCD BC=EC / ACDZ BCE所以选项A C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出 A EBC,所以选项D正确；再根据/ EBC
=/EBG/ABC/A+/ AB（=180O- /ACE^J断选项B不一定正确即可.
【详解】解：: ABC绕点C顺时针旋转得到DEC ,
AC=CD BGEC /ACD/BCE
180 ACD 180 BCE
. ./A=/CDA --------------- ; / EB(=ZBE(= -------------
2 2
，选项A C不一定正确
・•・选项D正确.
/ EBB/EBG/ABC/A+/ABC=1800-/ACBPT一定等于900, ・•・选项B不一定正确;
故选：D.
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等腰三角形的性质.
4.如图，菱形ABCD的对角线AC, BD交于点O, AC 4, BD 16,将&ABO沿点A到点C的方向平移，得到A A BC ,当点A与点C重合时，点A与点B之间的距离为（）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
【答案】C
【分析】由菱形性质得到AQ BO长度，然后在Rt/',AOB利用勾股定理解出AB即可1—1
【详解】由菱形的性质得AO OC CO 2, BO OD BO 8
AOB AO B 90，
八AO B为直角三角形LU
AB AO 2 BO 262 82 10
故选C
【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理以及菱形的性质，本题关键在于利用菱形性质求出直角三角形
的两条边
5. 4张长为a、宽为b（a b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a b）的正方形，图中空白部分的面积为S i ,阴影部分的面积为S2 .若S i 2s2,则a、b满足（）
A. 2a 5b
B. 2a 3b
C. a 3b
D. a 2b
【答案】D
【分析】先用a、b的代数式分别表示§ a2 2b2, S2 2ab b2,再根据§2s2,得
a2 2b2 2(2ab b2),整理，得(a 2b)2 0 ,所以a 2b.
1 1
2 2 2
【详解】解：S1 — b(a b) 2 —ab 2 (a b) a 2b , 2 2
S2 (a b)2 S i (a b)2 (a2 2b2) 2ab b2,
•• S i 2S2,
. 2 _ 2 _ _ 2
•• a 2b 2(2ab b ),
整理，得(a 2b)2 0,
a 2
b 0,
a 2b.
故选：D.
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键.
6.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中
FM ,GN是折痕.若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则EM的值是( )
GF
A. -5——
B.、2 i
C. -
D. —2
2 2 2
【答案】A
【分析】连接HF,设直线MHf AD边的交点为P,根据剪纸的过程以及折叠的性质得PHh MF且正方形EFGH ，一1
的面积=-x正方形ABCD勺面积，从而用a分别表不出线段GF和线段MF的长即可求解.
5
【详解】连接HF,设直线MHT AD边的交点为P,如图:
••.若正方形EFGHM 五边形MCNGF 面积相等
2.10 a
5
• .MF= PH= 2a
故选A.
【点睛】本题考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解 决问题关键.
7.如图，矩形 ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点 O ,且EG//BC,将矩形折叠，使点 C 与点。

重
合，折痕MN 过点G .若AB 而，EF 2 , H 120；,则DN 的长为（
）
由折叠可知点P 、H F 、 M 四点共线，且PYH= MF
设正方形ABCD 勺边长为 2a, 则正方形ABCD 勺面积为 4a 2
,
由折叠可知正方形 EFGH 勺面积=
_ __________ 4 2
x 正方形ABCD 勺面积=—a ,
5
2.5
HF= ,2 GF= GF
5-^a
2.5
2
・•.正方形EFGH 勺边长
GF=
4 a
再证四边形OGCM 为菱形，得PG 是梯形MCDN 的中位线，根据中位线性质求解 【详解】延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ；如图所示: 则CP DP 1CD — , GCP 为直角三角形， 2 2 •••四边形EFGH 是菱形， EHG 120：,
•• GH EF 2, OHG 60 , EG FH ,
OG GH sin 60
2 — 33,
2
由折叠的性质得:CG OG B OM CM, MOG MCG,
PG .CG 2 CP 2 巨 2
• •• OG//CM , • •• MOG OMC 180 , •
•• MCG OMC 180 ,
• . OM / /CG
，四边形OGCM 为平行四边形,
A '6 3
B "
C 芋
【答案】A
【分析】延长EG 交DC 于P 点，连接
GC 、FH ;由四边形EFGH 是菱形,
GH EF 2, OHG 60 ， EG
FH , OG GH sin 60
2 — 2
EHG 120：,得
,根据根据折叠性质,
••• OM CM ,
，四边形OGCM为菱形，
••• CM OG 3
根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线,
•• DN CM 2PG 、、6,
DN .6 、、3;
故选：A.
D f
【点睛】考核知识点：矩形折叠，菱形判定和性质，三角函数.理解折叠的性质是关键.
8.如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将BCP沿BP折叠，点C恰好落在线段AP
BC 4后，则线段AB的长是（）
与EF的交点Q处，
A. 8
B. 8 2 C 8' 3 。

10
【答案】A
【分析】根据正方形的性质及折叠的特点得到ABQ BQF , ABQ 30 ,再根据含30。

的直角三角形的性质即可求解.
【详解】解：♦.•四边形ABCD是矩形,
2
【分析】由 S ；A ABC= 16、$△ A' EF= 9且 AD 为BC 边的中线知 S ADE
1s
S AEF
1 一
由题意得：BF — BC, EF//AB,
2
ABQ BQF ,
由折叠的性质得：
BQP C 90 , BQ BC ,
1 ―
••• AQB 90 , BF -BQ , 2
BQF 30 , ••• ABQ 30 ,
在 RtABQ 中，AB 2AQ, BQ 73AQ 473,
AQ 4 , AB 8;
故选：A.
【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质与特点
^
9 .如图，将 ABC 沿BC 边上的中线 AD 平移到 ABC 的位置.已知 ABC 的面积为16,阴影部分三
C. 4
D.
角形的面积9.若AA 1,则AD 等于（
）
B. 3
:将 ABC 沿BC 边上的中线 AD 平移得到
AE//AB,
解得A D 3或AD
3人
一
（舍），
7
【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点.
10 .如图，在^ ABC^, D 是AC 边上的中点，连结 BD 把△ BDC ?古BD 翻折，彳#到4 BDC ',
于点E,连结AC',若AD=AC =2, BD=3则点D 到BC 的距离为（
）
A*
2
【分析】连接CC ,交BD 于点M 过点D 作DHL BC 于点H,由翻折知，△ BDC^△ BDC , BM 直平分CC
DAE DAB,
S
ADE
S
ABD
AD AD 1
16
S ABD — S ABC
2
8 ,根据△ DA Es ADAB^H
A D S … AD S^■正，据此求解可得. AD S ABD
16
、S
AEF
9 ,且AD 为BC 边的中线,
1
S
ADE
2 s
A EF
1
2 S
ABC
8,
DC< AB 交
3.
21
B. ---
D. .13
证△ADE等边三角形，利用解直角三角形求出DIVM, CM73DM- = , B的2,在RtaBMC中，利用勾股定理求出BC'的长，在^ BDC^利用面积法求出Dm勺长.
【详
解】
解：如图，连接CC ,交BDT点M过点D作DHLBC于点H,
, AI>AC=2 , D是AC边上的中点，
DG=AD=2,
由翻折知，△ BD(^ABDC , BD垂直平分CC ,
• .DGDC =2, BGBC , CMC M
. AD=AO DC =2,
ADC为等边三角形，
.•,Z ADeZAC D=/C' AG=60 ,
. DG=DC ,
1
..Z DCC =Z DC C=- X600 =30 , 2
在Rt^CDMK Z DC 0=30 , DC =2,
・•.DIVM, C g Q DM Q,
• . BI\4BD DM3-1=2,
在Rt^BMGK BC = 7BM 2 CM 2亚(石尸V7
“ 1 1
,S BDC- BC DH - BD CM
1 2 2
、7DH 3 ,3
••.. BM =BD DM 3-1=2,
在 RtAC D M^, BC J BM 2 CM 2 J 22 (73)2 5/7
I * 1 1
S BDC -BC DH — BD CM
1 2 2
••• X 7DH 3 ,3
故选B.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度
二、填空题
11 .如图，已知△ ABC 通过测量、计算得^ ABC 勺面积约为 cn 2.（结果保留一位小数）
【分析】过点 C 作CDL AB 的延长线于点D,测量出AB CD 的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ 的面积.
【详解】解：过点 C 作CDLAB 的延长线于点 D,如图所示.
经过测量，AB=2.2 cm C ® 1.7cm)
DH 3 21 7 ABC 【答案】1.9
c 1 1 2、
S ABC -AB CD - 2.2 1.7 1.9 (cm). 2 2
故答案为：1.9 .
【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键.
12.如图，把某矩形纸片ABC弟EF、GHf叠(点E、H在ADi上，点F、G在BC边上)，使得点B、点C
落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D点，若/FPG二90。

，^A E P的面积为4, ADPH 的面积为1,则矩形ABCD勺面积等于 .
【答案】6 ..,5+10.
【分析】根据相似三角形的判断得到△AE44DPH由三角形的面积公式得到&A EP,再由折叠的性质和
勾股定理即可得到答案.
【详解】: A' E// PF
・ ./ A EP=Z D PH
又・. / A=/A'=90 , / D=ZD=90
/ A= / D
. .△A E4AD PH
又.AB=CD ABA' P, CD=D P
•.A' P= D P
设A P=D P=x
S\ AEP：S A D P44 ： 1
•,A E=2D P=2x
5
.•.A' P =D P =2
•.A' E =2D ' P =4
_2
AP 2
1
••• PH = EP
2
DH
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质
的正五边形
ABCDE .图中， BAC 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题.
(5 2) 180 ……… A ,
. S AEP =1 AE A P 2 1
-2x x 2
x 2 4
AD AE EP PH DH 4
AB AP
AB AD 2 (3 5 5) 6 5 10
13.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图 1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图
2所示 度.
108 , ABC是等腰三角形, ABC
BAC BCA 36 度.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质. 解题关键在于知道n边形的内角和为: 180° ( n-2).
14.如图，有一张矩形纸片ABCD, AB 8, AD 6 .先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，
点D落在点E处，折痕为AF ;再将AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则GCF的周长为
450,根据矩形的性质得到FC ED 2,根据勾股定理【分析】根据折叠的性质得到DAF BAF
求出GF ,根据周长公式计算即可.
【详解】解：由折叠的性质可知，DAF BAF 450,
••• AE AD 6,
EB AB AE 2,
由题意得，四边形EFCB为矩形，
••• FC ED 2,
••• AB//FC,
GFC A 450,
•• GC FC 2,
由勾股定理得，GF JFC2GC22亚，
则GCF的周长GC FC GF 4 2亚，
故答案为：4 2 2
5
【点睛】考核知识点：矩形的折叠问题.运用矩形性质分析问题是关键
15.如图，在^ ABC^, / BAB90 , ABAG=10cm 点D为△ABC^J一点,/ BAB15 , AD=6cm 连接BQ 将△ABD^g点A 逆时针方向旋转，使A* AC重合，点D的对应点E,连接DE DE交AC于点F,则CF的长为cm
:
【答案】10 2、, 6
【分析】过点A作AHL DE垂足为H,由旋转的性质可得AE=AD=6,/CA曰/BA摩15° , ZDAE=ZBA(=90 , 再根据等腰直角三角形的性质可得/ HAE45 , AH=3 J2，进而得/ HA F30° ,继而求出AF长即可求得答案.
【详解】过点A作AHL DE垂足为H,
•・•/BAB90。

，AB=AC将△ ABD^g点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E,
.•.AE=AD=6, / CAE=Z BAD=15 , / DA=/BAB90 ,
---------- - 1 ——
•W AD2 AE2 6亚，/ HAE£/DA巨45 ，
1
••.AH= - DE=3 72\ Z HAf=Z HAE Z CA=30 , 2
AH 3.2 2 6
AF=cos HAF 囱，2
•CF=ACAF=10 2而，
故答案为：10 2J6.
由折叠可知：EX EB AX 1, AE J 2，AM DF YF 1
•.正方形边长AB FM .2 1, EM .2 1
EF EM 2 FM 2 \( 2 1)2 (、2 1)2 6 6-
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加
辅
助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键 ^
16.如图在正方形 沿AF 翻折，使点 ABCD 中，BE 1,将BC 沿CE 翻折，使点B 对应点刚好落在对角线 AC 上，将
AD
D 对应点落在对角线 AC 上，求EF .
【答案】.6
【分析】作FM AB 于点M ,构造直角三角形，运用勾股定理求解即可
【详解】作FM AB 于点M ,
【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，
17.如图，在Rt ABC中，c 900,以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB, BC于点M ,N ,
1
再分别以点M ,N为圆心，大于
-MN的长为半径回弧，两弧交于点P,作射线BP父AC于点D .若2 ， S BCD
A 30,，则人-
S ABD
2
【分析】利用基本作图得BD平分ABC ,再计算出ABD CBD 30；,所以DA DB ,利用
S BCD 工
BD 2CD得到AD 2CD ,然后根据三角形面积公式可得到三一的值.
斗也
【详解】解：由作法得BD平分ABC,
••• / C 90： , A 30：,
ABC 60 ,
ABD CBD 30 ,
DA DB ,
在Rt BCD 中，BD 2CD ,
AD 2CD ,
S BCD
S ABD
― ― 1
故答案为1. 2
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角; 作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.
18.七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为4/2的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是
X
【分析】如图3中, 连接CE交MNT Q先利用相似求出OM ON的长，再利用勾股定理解决问题即可. 【详解】如图3,连Z§CE交MN于O.
观察图1、图2可知，EN MN 4,CM 8, ENM CMN 90
E
图3
EON s COM ,
EN ON 1
. . -- ------- 一，
CN OM 2
- 1 4-2 8
ON -MN -,OM -MN -.
3 3 3 3
在Rt ENO 中，OE J ON 2~EN 2 4^10 ,同理可求得OG 史10 , 3 3
■ GF — (OE OG) J2,即“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是4^/5. 2
故答案为：4 ,5
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
k 一
19.如图，过点C(3,4)的直线y 2x b交x轴于点A, /AB(=90 , AB=CB曲线y — (x 0)过点B,
x
将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为.
【答案】4
【分析】分别过点B点C作y轴和x轴的平行线，两条平行线相交于点M与x轴的交点为N将C(3,4)
代入y 2x b可得b=-2 ,然后求得A点坐标为(1,0),证明△ ABIN^△ BCM可得AN=BM=3, CM=BN=1,可求
4
出R4,1),即可求出k=4,由A点向上平移后落在y —上，即可求得a的值.
【详解】分别过点B点C作y轴和x轴的平行线，两条平行线相交于点M与x轴的交点为N则/ M=Z
ANB90 ,
把C(3,4)代入y 2x b ,得4=6+b,解得：b=-2 ,
所以y=2x-2 ,
令y=0,则0=2x-2 ,解得：x=1,
所以A(1 , 0),
•♦/CBM/ ABN=90 ,
•••/ AN=90 ,
•♦/ BAN/ABN=90 ,
••• / CBM/ BAN
又・. / M=ZANB=90 , AB=BC
. .△AB降△ BCIM
•.AN=BM BN=CM
•. C(3, 4), ••・设AN=m CMh,
… m n 4 - m 3
则有，解得，
m 1 n 3 n 1
•.ON=3+1=4, BN=1,
•••B(4, 1),
k
••・曲线y -(x 0)过点B, x
k=4,
4
y x
•••将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A移动后对应点的坐标为a=4,
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的
平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键^
20.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，MBC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点,
ABC 50 , BAC 30 ,经过点A, B的圆的圆心在边AC上.
(I )线段AB的长等于
(n)请用无刻度.的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P,使其?t足PAC PBC PCB,
并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明) .
―― .万
【答案】(I) Y17 ；(n)如图，取圆与网格线的交点E, F ,连接EF与AC相交，得圆心O ；AB 2
与网格线相交于点D ,连接DO并延长，交00于点Q ,连接QC并延长，与点B, O的连线BO相交于点P ,连接AP ,则点P满足PAC PBC PCB .
【分析】(I)根据勾股定理即可求出AB的长
(n)先确定圆心，根据/ EAS900取格点E、F并连接可得EF为直径，与AC相交即可确定圆心的位置, 先在BO上取点P,设点P满足条件，再根据点D为AB的中点，根据垂径定理得出OD AR再结合已知条件
ABC 50 , BAC 30得出PAC PBC PCB 20，设PC和DO勺延长线相交于点Q,根据ASA可彳导［OPQ 、
OPA ,可彳导OA=OQ从而确定点Q在圆上，所以连接DO并延长，交00于点Q ,连接QC并延长，与点B, 0的连线B0相交于点P,连接AP即可找到点P
【详解】(I)解：AB /(1)2 22 7
故答案为：J7 2
(n)取圆与网格线的交点E, F ,连接EF ,与AC相交于点0
•・•/EAf=900,，EF为直径，
•••圆心在边AC上.♦•点0即为圆心
••• AB与网格线的交点D是AB中点，连接0，U 0D AB,
连接0B ••• BAC 30 , 0A0B
•0AB/0BA300, / D0A/ D0B600,
在B0上取点P ,并设点P满足条件，: ABC 50
PAC PBC PCB 20：，
•♦/ AP0/CP0400,
设PC和D0勺延长线相交于点Q则/ D0A/ D0B/ P0C/ Q0C600
•.Z A0PZQ0P1200,
・ 0P=0P 0PQ 0PA .0A=0Q
・・•点Q在圆上，，连接D0并延长，交00于点Q ,连接QC并延长，与点B, 0的连线B0相交于点P,
连接AP,则点P即为所求
【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角
形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图. 三、解答题
21.按要求解答下列各题：
（1）如图①，求作一点P,使点P至U ABC的两边的距离相等，且在4ABC的边AC上.（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）如图②，B、C表示两个港口，港DC在港口B的正东方向上.海上有一小岛A在港口B的北偏东60 方向上，且在港口C的北偏西45方向上.测得AB= 40海里，求小岛A与港口C之间的距离.（结果可保留根号）
【答案】（1）见解析；（2 ）2042.
【分析】（1）作出/ ABC勺平分线（以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AB BC#交一点，然后分别以
这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧在三角形内部交于一点，过点B及这个点
作射线）交AC于点P即可；
（2）过点A作AD BC于点D ,由题意得ABC 30： , ACD 45；,在Rt^ADB中，求出AD的长, 继而在Rt&ADC 中，求出AC长即可.
【详解】（1）如图所示:
（2）过点A 作AD BC 于点D ,
由题意得 ABC 30： , ACD 45：, 在 Rt^ADB 中，
:AB 40,
AD AB|sin30 ： 20,
在 Rt^ADC 中，
i* AD ,sin ACD ——, 1 AC
AC AD 20 .2（海里）， sin 45；
答：小岛与港口之间的距离是 20 •、，海里.
【点睛】本题考查了尺规作图一一作角平分线，解直角三角形的应用，正确掌握作角平分线的方法是解 的关键，添加辅助线构建直角三角形是解
（2）的关键.
22.图①，图②均为 4 4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.在图①中已画出线段
AB ,
②中已画出线段 CD ,其中A B 、C 、D 均为格点，按下列要求画图：
作出的平分线 标出点P .
ABC
⑴
在图
⑴在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F为格点;
⑵在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G,H为格点，CGD
【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）
（2）利用数形结合的思想解决问题即可.
【详解】解：（1）如图，菱形AEB即为所求.
【答案】见解析.CHD 900.
E@
【答案】（1）见解析; （2）见解析.
（2）如图，四边形CGD即为所求.
图0
【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
23.如图，在7 6的方格中, △ABC的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF （E,F均为格点），各画出一条即可.
图 2： ET1AC
图①
【分析】图1,根据格点的特征，利用全等三角形画出图形即可；图2:根据格点的特征，利用全等三角形
及两锐角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图3:根据格点的特征，结合线段垂直平分线的判定定
理画出图形即可.
【详解】如图所示：
【点睛】本题考查了格点三角形中的作图，正确利用格点的特征是解决问题的关键.
24.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹^
（1）如图1, A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2,在DABCM, E为CD的中点，作BC的中点F；
②图3,在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作^ ABC勺高AH
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【分析】（1）作直径AC分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M
N,作直线M皎圆于点B, D四边形ABC朝为所求；
（2）①连接AC BD交于点Q则O为BD的中点，连接BE交CO^点G,连接DG^延长交BC于点F,则F即为所求；
②如图，利用网格特点连接BM则可彳#直线BMLAG连接CN则可彳#直线CNL AR两线交于点E,连接
AE并延长交BC于点H,则AH即为所求.
【详解】(1)如图所示，四边形ABCW为所求；
(2)①如图所示，点F即为所求;
②如图所示，AH即为所求.
【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是
解题的关键.
25.如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF .求证：
(1) ECB FCG ;
⑵ EBC FGC .
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到A BCD ,由折叠可得， A ECG ,即可得到ECB FCG ；
(2)依据平行四边形的性质，即可得出 D B, AD BC,由折叠可得， D G, AD CG ,即可得到B G , BC CG ,进而得出EBC FGC .
【详解】(1) ■/四边形ABCD是平行四边形，
A BCD ,
由折叠可得，A ECG ,
BCD ECG,
BCD ECF ECG ECF ,
ECB FCG ；
(2)；四边形ABCD是平行四边形，
D B, AD BC,
由折叠可得， D G , AD CG ,
B G, B
C CG,
又；ECB FCG ,
EBC FGC (ASA).
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键 .
26.图①、图②、图③均是 6X6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为 A B 、C 、D 、E 、F 均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求 画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法.
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析.
【分析】(1)直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形;
(2)直接利用三角形面积求法得出答案；
(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.
【详解】解：(1)如图①所示， ABM 即为所求；
(2)如图②所示， CDN 即为所求；
(3)如图③所示，四边形 EFGH 即为所求；
27.如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将°BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点
F 作F
G 力CD 交BE 于点G ,连接CG.
(1)求证：四边形CEFG 是菱形;
1,点
(1) 在图①中以线段 AB 为边画一个 ABM,使其面积为6.
(2) 在图②中以线段 CD 为边画一个 CDN ,使其面积为6.
(3)在图③中以线段 EF 为边画一个四边形 EFGH ,使其面积为9,且 EFG 900 .
(2)若AB 6,AD 10,求四边形CEFG的面积.
【答案】(1)详见解析；(2)—
3
【分析】(1)根据题意可得A B CEW^BFE,因此可得FG EC ,又FG || CE ,则可得四边形CEFG是平行四边形，再根据CE FE,可得四边形CEFG是菱形.
(2)设EF x,则CE x,DE 6 x ,再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形CEFG的面积.
【详解】(1)证明：由题意可得，
A BCE4BFE ,
BEC BEF,FE CE ,
••• FG || CE ,
FGE CEB,
FGE FEG ,
FG FE ,
FG EC ,
.•・四边形CEFG是平行四边形，
又.. CE FE,
.•・四边形CEFG是菱形；
(2) ..矩形ABCD 中，AB 6, AD 10, BC BF ,
BAF 90, AD BC BF 10,
DF 2,
设 EF x,则 CE x,DE 6 x ,
. FDE 90 ,
2 2 2
2
6 x x , 解得，x 10 , 3
【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可
28.综合与实践
动手操作:
第一步：如图1,正方形纸片ABC 期对角线AC 所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C 的直线折叠，使点B, 点D 都落在对角线 AC 上.此时，点B 与点D 重合，记为点N,且点E,点N,点F 三点在同一直线上，折痕 分别为CE CF 如图2.
第二步：再沿 AC 所在的直线折叠，△ ACEWAACFl 合，彳#到图3
使点C 与点F 重合，如图4,展开铺平，连接EF, FG GM ME 如图5,
图中的虚线为折痕
问题解决:
.....
AE ....
••• CE
10 ，四边形CEFG 的面积是：CE DF
10「20 2 —— 3 3
第三步：在图3的基础上继续折叠,
⑴在图5中，/ BEC勺度数是，——的值是；
BE -----------
(2)在图5中，请判断四边形EMGF勺形状，并说明理由；
(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形：.
【答案】(1)67.5 ° ; J2；(2)四边形EMG超矩形，理由见解析；(3)菱形FGCK菱形EMC十个即可).
【分析】(1)由正方形的性质可得/ B=90° , / ACB/BAB45。

，根据折叠的性质可得/ BCE=22.5 ,继
而可求得/ BEB67.5。

，在Rt^AEN中，由sin/EA附里可得AE= J2 EN即可求得生生P AE BE EN '
(2)四边形EMG是矩形，理由如下：由折叠的性质可得/ 1 = Z2=Z 3=74=22.5° , CMCG / BEB/NEC/ NFC=/DFC67.5 , MCME GC=GF, Z 5=71=22.5° , / 6=7 4=22.5° ,继而可得/ ME=/GF=90 ,再根据等腰直角三角形的性质可得ZCMG45 ,由三角形外角的性质得/ BMEZ 1 + 7 5=45 ,根据平角的定义求得/ EMG90 ,根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得到四边形EMG是矩形；
(3)如图所示，四边形EMCH：菱形，理由如下：先证明四边形EMCH：平行四边形，再根据有一组邻边相
等的平行四边形是菱形即可证明平行四边形EMC曜菱形.(同理四边形FGC曲是菱形).
【详解】(1)二.四边形ABCD1正方形，
____ _ 1 _____ 。

_ J _________ ___
，/B=90 , / ACB:—/BCR45 , / BAG—/BAD=45 , 2 2
...折叠,
____ 1 ,
. Z BCE - ZBCE=22.5 , BE=EN / ENCZ B=90 , 2
••/BEG90 -22.5 =67.5 , / ANE90 ,
EN
在RtAAEN^, sin / EA仲——, AE
.EN 、5
AE 2
•••AE= 2EN
•些AE 2
BE EN
故答案为：67.5 , 我；
(2)四边形EMG是矩形，理由如下：
••・四边形ABC比正方形，B=ZBCDZD=90 , 由折叠可知：/ 1 = Z2=Z 3=74=22.5° , CM=CG / BEC：/NEC/NFC：/DFB67.5 ,
由折叠可知：MH GH＞别垂直平分EC FC, •••MCME G(=GF
.•.Z 5=71=22.5° , / 6=7 4=22.5° ,••・/ME=/GFE：90 ,
•••/ MC=90 , CM=CG
••• / CMG45 ,
又・• / BMEZ 1 + 7 5=45° ,
••/EMG180 -/CMGZBM=90 ,
，四边形EMG是矩形；
⑶ 如图所示，四边形EMCHE菱形，理由如下:
由(2) / BM=45 =Z BCA
EM AC
...折叠,
• .CM=CH EM=CM
EM=CH
. .EM, CH
••・四边形EMC距平行四边形，
又CMEM
，平行四边形EMC建菱形.
(同理四边形FGCH1菱形，如图所示
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握
相关知识是解题的关键.
29.(1)如图1,菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且BAD 60，请直接写出HD:GC:EB 的结果(不必写计算过程)
(2)将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2,求HD:GC:EB;
(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3,且AD:AB AH : AE 1: 2 ,此时HD :GC : EB的结果与(2) 小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果(不必写计算过程) ；若无变化，请说明理
由.
【答案】(1) 1:用:1; (2) 1：73:1 (3)有变化，1：75:2
【分析】(1)连接AG ,由菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且BAD 60，易得A , G , C共线，延长HG交BC于点M ,延长EG交DC于点N ,连接MN ,交GC于点O ,则GMCN也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论；
(2)连接AG,AC,由ADC和AHG都是等腰三角形，易证与DAH ' CAG与DAH BAE, 利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论；
(3)连接AG, AC ,易证ADC AHG和ADH ABE,利用相似三角形的性质可得结论.
【详解】(1)连接AG ,
•..菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且BAD 60 ,
GAE CAB 30 , AE AH , AB AD,
A，G , C 共线，AB AE AD AH ,
HD EB，
延长HG交BC于点M ,延长EG交DC于点N ,连接MN ,交GC于点O ,则GMCN也为菱形，
GC MN , NGO AGE 30 ,
OG 、3
-- cos30 —,
GN 2
. GC 2OG ,
GN 1
GC -.3 '
HGND为平行四边形,
HD GN ,
(2)如图，连接AG , AC ,
0\ ••• ADC和AHG都是等腰三角形，AD: AC AH : AG 1:技DAC HAG 30,
DAH CAG ,
DAH N CAG,
HD :GC AD : AC 1: 73,
. DAB HAE 60 ,
DAH BAE，
在DAH和BAE中，
AD AB
DAH BAE
AH AE
DAH BAE (SAS)
HD EB,
HD:GC:EB 1:百:1.
(3)有变化.
如图，连接AG , AC ,
•• AD : AB AH : AE 1:2, ADC AHG 90,
ADC AHG ,
AD : AC AH : AG 1: .5 ,
D DAC HAG ,
DAH CAG ,
DAH CAG,
HD :GC AD : AC 1: 75,
D DAB HA
E 90 ,
DAH BAE，
:DA: AB HA: AE 1:2,
ADH N ABE,
DH :BE AD: AB 1:2,
HD :GC : EB 1: -5:2
【点睛】本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大.
30.如图，等边ABC中，AB=6,点D在BC上，Bt=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合)，于DE的轴对称图形为FDE .
(1)当点F在AC上时，求证：DF/ AB CDE关
D C。