九年级数学上册知识点归纳

22.1一元二次方程

知识点一一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最

高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；

x

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；

负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程

的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配

方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等）一般地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a

x=，这个公式叫做一式子b²-4ac叫做方程ax²+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊

字母△表示它，即△=b²-4ac.

△＞0，方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

一元二次方程△=0，方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根根的判别式

△＜0，方程ax²+bx+c=0(a≠0)无实数根

22.2．3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

（2）因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

（2）设：是指设元，也就是设出未知数。

（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

（4）解：就是解方程，求出未知数的值。

（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6）答：写出答案。

1）²

,

(1)抛物线y=ax²的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

(2)函数y=ax²的图像与的符号关系.

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点

3.二次函数y=ax²+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.

4.二次函数y=ax²+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)²+k的形式，其中h=-b/2a,k=4ac-b²/4a.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①y=ax²；②y=ax²+k；③y=a(x-h)²；④y=a(x-h)²+k；⑤y=ax²

+bx+c.

时，开口向下；相等，抛物线的

公式法：，∴顶点是

对称轴是直线.

得到顶点为(h,k)，对称轴是.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物

线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到

万无一失★

9.抛物线中，a,b,c的作用

(1)a决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：

①b=0时，对称轴为y轴；

的大小决定抛物线

，∴抛物线

轴右侧，则.10.

x=0(y

当

开口向上

当a＜0时x=h (h,k)

开口向下

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：

.

12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线得交点为(0,c)

(h,

二次函数的图像与

是对应一元二次方程

①两个交点

)抛物线与

③没有交点抛物线与

，则横坐标是的

图像G的交点，由方程组的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;

③程组只有一组解时l与G只有一个交点；

④程组无解时l与G没有交点.

(6)抛物线与轴两交点之间的距离：

若抛物线与x轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

13．二次函数与一元二次方程的关系：

(1)一元二次方程就是二次函数当函数y 的值为0时的情况．

轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与轴有交点时，交点的横坐标就是当

次方程

当二次函数的图象与

次方程

有两个相等的实数根；当二次函数的图象与

点时，则一元二次方程没有实数根

量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

知识点一旋转的定义