初三数学毕业考试数学试卷及答案

初三数学毕业考试数学试卷及答案
一、压轴题
1．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA QA ≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．
（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；
（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan BAO 2
∠=
，求点B 的纵坐标t 的取值范围；
（3）直线3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．
2．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE CEB S
S =，求直线CE 的解析式 （3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；
（4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线214
y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214
y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．
①求证：EA ED =．
②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．
4．如图，过原点的抛物线y=﹣12
x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ．
（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；
（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
5．如图，A 是以BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，G 是AD 的中点，连接并延长CG 与BE 相交于点F ，连接并延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．
（1）求证：BF ＝EF ；
（2）求证：PA 是圆O 的切线；
（3）若FG ＝EF ＝3，求圆O 的半径和BD 的长度．
6．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．
7．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．
（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．
8．如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC 方向运动，过点P 作PQ ⊥BC ，交折线段BA-AD 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，点N 在射线BC 上，当Q 点到达D 点时，运动结束．设点P 的运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）当正方形PQMN 的边MN 恰好经过点D 时，求运动时间t 的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN 与△BCD 的重合部分面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；
（3）如图2，当点Q 在线段AD 上运动时，线段PQ 与对角线BD 交于点E ，将△DEQ 沿BD 翻折，得到△DEF ，连接PF ．是否存在这样的t ，使△PEF 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．
9．定义：对于二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠，我们称函数
221()1111()222ax bx c x m y ax bx c x m ⎧++-≥⎪=⎨---+<⎪⎩为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如：2
y x 的m 分函数为221()11()2
x x m y x x m ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩．设二次函数244y x mx m =-+的m 分函数的图象
为G ．
（1）直接写出图象G 对应的函数关系式．
（2）当1m =时，求图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标．
（3）当图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，求m 的取值范围．
（4）当0m >，图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时，直接写出m 的取值范围．
10．如图1，与为等腰直角三角形，与 重合，，．固定，将绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点
，如图2． （1）证明：；
（2）当为何值时，
是等腰三角形？
11．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是“和谐点”．
（1）点M （1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P （a ，3）是第一象限内的一
个“和谐点”，3x a y =⎧⎨=⎩
是关于x ，y 的二元一次方程y x b =-+的解，求a ，b 的值． （2）如图②，点E 是线段PB 上一点，连接OE 并延长交AP 的延长线于点Q ，若点P （2，3），2OBE EPQ S S ∆∆-=，求点Q 的坐标；
（3）如图③，连接OP ，将线段OP 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段11O P ．若M 是直线11O P 上的一动点，连接PM 、OM ，请画出图形并写出OMP ∠与1MPP ∠，1MOO ∠的数量关系．
12．如图，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为OC 上动点(与点O 不重合)，作AF ⊥BE ，垂足为G ，交BO 于H ．连接OG 、CG ．
(1)求证：AH=BE ；
(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；
(3)若OG ⊥CG ，BG=32△OGC 的面积．
13．如图，已知点A 、C 在双曲线()10m y m x =
>上，点 B 、D 在双曲线()20n y n x
=<上，AD// BC//y 轴. (I)当m=6，n=-3，AD=3 时，求此时点 A 的坐标；
(II)若点A 、C 关于原点O 对称，试判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由；
(III)若AD=3，BC=4，梯形ABCD 的面积为492
，求mn 的最小值.
14．小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD 边打台球，该球桌长AB =4m ，宽AD =2m ，点O 、E 分别为AB 、CD 的中点，以AB 、OE 所在的直线建立平面直角坐标系。

（1）如图1，M 为BC 上一点；
①小明要将一球从点M 击出射向边AB ，经反弹落入D 袋，请你画出AB 上的反弹点F 的位置；
②若将一球从点M (2，12)击出射向边AB 上点F (0.5，0)，问该球反弹后能否撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球?请说明理由
（2）如图2，在球桌上放置两个挡板(厚度不计)挡板MQ 的端点M 在AD 中点上且MQ ⊥AD ，MQ =2m ，挡板EH 的端点H 在边BC 上滑动，且挡板EH 经过DC 的中点E ； ①小聪把球从B 点击出，后经挡板EH 反弹后落入D 袋，当H 是BC 中点时，试证明：DN =BN ；
②如图3，小明把球从B 点击出，依次经挡板EH 和挡板MQ 反弹一次后落入D 袋，已知∠EHC =75°，请你直接写出球的运动路径BN +NP +PD 的长。

15．如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．
（1）求证：AC 是O 的切线；
（2）若点E 恰好是AO 的中点，求BF 的长；
（3）若CF 的长为34
． ①求O 的半径长；
②点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比．
16．在平面直角坐标系xoy 中，点A (-4,-2)，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .
（1）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 经过点A ,B ，求此时抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C ，点D 是直线BC 上一动点（不与B ，C 重合），是否存在点D ，使△ABC 和以点A ,B ,D 构成的三角形相似？若存在，请求出此时D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 的顶点在直线y ＝x ＋2上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．
17．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （3，0），B （0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；
（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方 向 以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时， 动点F 从A 点出发，沿着AB 方向以2个单位/ 秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数(0)m y x x =
>的图象上，顶点C 、D 在函数(0)n y x x
=>的图象上，其中0m n <<，对角线//BD y 轴，且BD AC ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4．
（1）当4m =，20n =时，
①点B 的坐标为________，点D 的坐标为________，BD 的长为________．
②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积．
③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．
（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系．
19．已知四边形ABCD 是矩形．
（1）如图1，E F 、分别是AB CD 、上的点，CE 垂直平分BF ，垂足为G ，连接DG ．
①求证：DG CG =；
②若2BC AB =，求DGC ∠的大小；
（2）如图2，6AB BC ==，M N P 、、分别是AB CD AD 、、上的点，MN 垂直平分BP ，点Q 是CD 的中点，连接,MP PQ ，若PQ MP ⊥，直接写出CN 的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点， 对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：∽
（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到
，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.
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一、压轴题
1．（1）（2，0）（答案不唯一）；（2）8455
t -≤≤-或4855
t ≤≤；（3）431b -≤≤-或143b ≤≤
【解析】
试题分析：
（1）由题意可知，在x 轴上找点P 是比较简单的，这样的P 点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；
（2）如图1，在x 轴上方作射线AM 交⊙O 于点M ，使tan ∠MAO=12，并在射线AM 是取点N ，使MN=AM ，则由题意可知，线段MN 上的点都是符合条件的B 点，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，连接MC ，结合已知条件求出点M 和点N 的纵坐标即可得到所求B 点的纵坐标t 的取值范围；根据对称性，在x 轴的下方得到线段M′N′，同理可求得满足条件的B 点的纵坐标t 的另一取值范围；
（3）如图2，3，由3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，可得点M 的坐标为(?0)3
b -，，点N 的坐标为(0)b ，，由此结合∠OMN 的正切函数可求得∠OMN=60°； 以点D （1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D ，则⊙D 和⊙O 相切于点A ，由题意可知，点A 关于⊙O 的“生长点”都在⊙O 到⊙D 之间的平面内，包括两个圆（但点A 除外）. 然后结合题意和∠OMN=60°分b>0和b<0两种情况在图2和图3中求出ON 1和ON 2的长即可得到b 的取值范围了.
试题解析：
（1）由题意可知，在x 轴上找点P 是比较简单的，这样的P 点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；
（2）如图1，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan OAM 2
∠=，并在AM 上取点N ，使AM=MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B.
作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，
∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.
∵ AC 是⊙O 的直径，
∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.
∴ ∠OAM=∠HMC.
∴ 1tan HMC tan OAM 2
∠∠==. ∴
MH HC 1
HA MH 2
==. 设MH y =，则AH 2y =，1
CH y 2
=， ∴ 5AC AH CH y 22=+=
=，解得4y 5=，即点M 的纵坐标为45
. 又由AN 2AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为8
5
， 故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：
48t 55
≤≤. 由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：84
t 55
-≤≤-. ∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是84t 55-
≤≤-或48
t 55
≤≤. （3）如图2，以点D （1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D ，则⊙D 和⊙O 相切于点A ，由题意可知，点A 关于⊙O 的“生长点”都在⊙O 到⊙D 之间的平面内，包括两个圆（但点A 除外）.
∵直线y b +与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，
∴点M 的坐标为(?0)
，点N 的坐标为(0)b ，，
∴tan ∠OMN=
ON
OM
= ∴∠OMN=60°，
要在线段MN 上找点A 关于⊙O 的“生长点”，现分“b>0”和“b<0”两种情况讨论：
I 、①当直线y b =+过点N 1（0，1）时，线段MN 上有点A 关于⊙O 的唯一“生长点”N 1，此时b=1；
②当直线y b +与⊙D 相切于点B 时，线段MN 上有点A 关于⊙O 的唯一“生长
点”B ，此时直线y b =+与y 轴相交于点N 2，与x 轴相交于点M 2，连接DB ，则DB=2， ∴DM 2=24
sin 603=
∴OM 21，
∴ON
2=tan60°·OM 21)4=，此时b=4. 综合①②可得，当b>0时，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，则b 的取值范
围为：143b ≤≤-；
II 、当b<0时，如图3，同理可得若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，则b 的取值范围为：431b --≤≤-；
综上所述，若在线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，则b 的取值范围为：
43b 1-≤≤-或1b 43≤≤
2．（1）2y x 2x 3=-++；（2）63y x =-+；（3）点P 的坐标为
(15,1),(13,1)-；（4）存在，点K 的坐标为(2,3)
【解析】 【分析】
（1）由于点A 、B 为抛物线与x 轴的交点，可设两点式求解；也可将A 、B 、C 的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出:3:5AE EB =，求出AE,根据点A 坐标可解得点E 坐标,进而求得直线CE 的解析式；
（3）分两种情况讨论①当四边形DCPQ 为平行四边形时；②当四边形DCQP 为平行四边
形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；
（4）根据抛物线的对称性，AF=BF ，则HF+AF=HF+BF ，当H 、F 、B 共线时，HF+AF 值最小，求出此时点F 的坐标，设()00,K x y ，由勾股定理和抛物线方程得017
4
KF y =-，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为
174，则点S 的坐标为017,4x ⎛⎫
⎪⎝
⎭，此时，
017
4
KS y =-
,∴KF+KG=KS+KG,当S 、K 、G 共线且平行y 轴时，KF+KG 值最小，由点G 坐标解得0x ，代入抛物线方程中解得0y ，即为所求K 的坐标． 【详解】
解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)y
a x x
将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．
∴抛物线的解析式为()
22
2323y x x x x =---=-++．
方法二：∵经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++， 将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有
30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++． （2）
:3:5ACE CEB S S ∆∆=，
1
3
21
52
AE CO
EB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．
333
4882
AE AB ∴==⨯=．
31
122
E x ∴=-+
=． E ∴的坐标为1,02
⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
又C 点的坐标为(0,3)．
∴直线CE 的解析式为63y x =-+．
（3）
2223(1)4y x x x =-++=--+．
∴顶点D 的坐标为(1,4)．
①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ ∥CP ，DQ=CP 得：
D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．
1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．
1x ∴=
∴点P 的坐标为(11)-．
②当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ ∥DP ，CQ=DP 得：
c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-
1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．
1x ∴=
∴点P 的坐标为(1．
∴综合得：点P 的坐标为(11),(1)- （4）∵点A 或点B 关于对称轴1x =对称 ∴连接BH 与直线1x =交点即为F 点． ∵点H 的坐标为450,
8⎛⎫
⎪⎝⎭
，点B 的坐标为(3,0)， ∴直线BH 的解析式为：154588
y x =-+． 令1x =，则15
4
y =
． 当点F 的坐标为151,
4⎛⎫
⎪⎝⎭
时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．
则由勾股定理可得：()2
2
2
001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝
⎭．
又∵点K 在抛物线上，
()2
0014y x ∴=--+
()2
0014x y ∴-=-代入上式中，
()22
20001517444KF y y y ⎛
⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
017
4
KF y ∴=-
． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为
174
．
∴点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 则0174
SK y =-
． 000171717,444y y y ⎛⎫<
∴-=- ⎪⎝
⎭
（两处绝对值化简或者不化简者正确．）
KF SK ∴=．
KF KG SK KG ∴+=+
当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又∵点G 的坐标为(2,0)，
02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．
∴当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
3．（1）2
134y x x =-++；（2）（32
，0）；（3）①见解析；②CM =231或
CM =123+
【解析】 【分析】
（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；
（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明△ABC 是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45°，因此设直线EF 的解析式为y=x+b ，设点M 的坐标为（m ，0），推出点F （m ，6-m ），直线EF 与抛物线21
34
y x x =-++只有一
个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m
的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．
（3）①过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，设点M 的坐标为（m ，0），由2PC =及旋转的性质，证明△EHM ≌△MGP ，得到点E 的坐标为（m-1，5-m ），再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把E （m-1，5-m ）代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长． 【详解】 （1）∵点()6,0C
在抛物线上，
∴1
03664
b c =-⨯++，
得到6=9b c +， 又∵对称轴2x =， ∴2
122()4
b b x a =-
=-=⨯-， 解得1b =， ∴3c =，
∴二次函数的解析式为2
134
y x x =-++；
（2）当点M 在点C 的左侧时，如下图：
∵抛物线的解析式为2
134
y x x =-++，对称轴为2x =，()6,0C
∴点A （2，0），顶点B （2，4）， ∴AB=AC=4，
∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠1=45°；
∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ， ∴FM=CM ，∠2=∠1=45°， 设点M 的坐标为（m ，0）， ∴点F （m ，6-m ）， 又∵∠2=45°，
∴直线EF 与x 轴的夹角为45°，
∴设直线EF 的解析式为y=x+b ，
把点F （m ，6-m ）代入得：6-m=m+b ，解得：b=6-2m ， 直线EF 的解析式为y=x+6-2m ，
∵直线EF 与抛物线2
134
y x x =-++只有一个交点，
∴2
62134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩
， 整理得：2
13204
x m +-=，
∴Δ=b 2-4ac=0，解得m=32
， 点M 的坐标为（
3
2
，0）． 当点M 在点C 的右侧时，如下图：
由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线2
134
y x x =-++不可
能只有一个交点． 综上，点M 的坐标为（
3
2
，0）． （3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，
∵2PC =，由（2）知∠BCA=45°， ∴PG=GC=1， ∴点G （5，0），
设点M 的坐标为（m ，0），
∵将MPC 逆时针旋转90︒得到△MEF ， ∴EM=PM ，
∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°， ∴∠HEM=∠GMP ， 在△EHM 和△MGP 中，
EHM MGP HEM GMP EM MP ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△EHM ≌△MGP （AAS ）， ∴EH=MG=5-m ，HM=PG=1， ∴点H （m-1，0），
∴点E 的坐标为（m-1，5-m ）；
∴EA=22(12)(50)m m --+--=221634m m -+， 又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0）， ∴点D （4，2），
∴ED=22(14)(52)m m --+--=221634m m -+， ∴EA= ED ．
当点M 在点C 的右侧时，如下图：
同理，点E 的坐标仍为（m-1，5-m ），因此EA= ED ． ②当点E 在（1）所求的抛物线2
134
y x x =-++上时，
把E （m-1，5-m ）代入，整理得：m 2-10m+13=0， 解得：m=523+m=523-，
∴CM =231-或CM =123+． 【点睛】
本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质、旋转的性质、分类讨论的思想是解题的关键．
4．（1）2122
y x x =-
+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，
抛物线向左平移． 【解析】 【分析】
（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；
（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2
m
），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；
（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离． 【详解】
解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12
-
x 2
+bx+c ． 得040c b b c =⎧
⎨-++=⎩，
∴02c b =⎧⎨=⎩
．
∴2211
2(2)222
y x x x =-
+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）． （2）∵点B 坐标为（2，2）． ∴∠BOA=45°．
∴△PDC 为等腰直角三角形． 如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．
∵O′P=OP=m．
∴C′D=1
2
O′P=
1
2
m．
∴点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（3
2
m，
2
m
）．
当点O′在y=
1
2
-x2+2x上．
则−1
2
m2+2m＝m．
解得：
12
m=，
20
m=（舍去）．∴m=2．
当点C′在y=
1
2
-x2+2x上，
则
1
2
-×(3
2
m)2+2×
3
2
m＝
1
2
m，
解得：
120 9
m=，
20
m=（舍去）．
∴m=20 9
（3）存在n=2
7
，抛物线向左平移．
当m=20
9
时，点C′的坐标为（
10
3
，
10
9
）．
如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．
以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（10
3
，
10
9
），点B（2，2）．
∴点A′（8
3
，
8
9
）．
∴点A″的坐标为（8
3
，
28
9
）．
设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：828 39
k=，
解得：k=7
6
．
∴直线OA″的解析式为y=7
6 x．
将y=2代入得：7
6
x=2，
解得：x=12
7
，
∴点B′得坐标为（12
7
，2）．
∴n=2
122 77 -=．
∴存在n=2
7
，抛物线向左平移．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性
质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（3
2
m
，
2
m
）以及点B′的
坐标是解题的关键．
5．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD＝r＝
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件得到∠EBC＝∠ADC＝90°，根据平行线分线段成比例定理得出
AG CG GD
==
EF CF BF
，等量代换即可得到结论；
（2）证明∠PAO＝90°，连接AO，AB，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质和等量代换，就可得出结论；
（3）连接AB，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BAE＝90°，推出FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，推出四边形FBDH是矩形，得到FB＝DH＝3，根据勾股定理得
到FH＝r，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵EB是切线，AD⊥BC，
∴∠EBC＝∠ADC＝90°，
∴AD∥EB，（同位角相等，两直线平行）
∴AG CG GD
==
EF CF BF
，（平行线分线段成比例）
∵G是AD的中点，
∴AG＝GD，
∴EF＝FB；
（2）证明：连接AO，AB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，（直径所对圆周角为直角）
在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，直角三角形斜边中线为斜边一半，∴AF＝FB＝EF，且等边对等角，
∴∠FBA＝∠FAB，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO＝90°，
∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，
∴PA是⊙O的切线；
（3）如图2，连接AB，AO，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BAE＝90°，
∵EF＝FB，
∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，
过点F作FH⊥AG交AG于点H，
∵FA＝FG，FH⊥AG，
∴AH＝HG，
∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，
∴四边形FBDH是矩形，
∴FB＝DH＝3，
∵AG＝GD，
∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH2222
--，
AF AH=31=22
∴BD ＝
设半径为r ，在Rt ADO 中，
∵222AO =AD +OD ，
∴222r =4，解得：r ＝
综上所示：BD ＝r ＝
【点睛】
本题主要考察了平行线的性质及定理、平行线分线段成比例定理、等边对等角、直角三角形斜边中线的性质、圆周角定理、勾股定理及圆的切线及其性质，该题较为综合，解题的关键是在于掌握以上这些定理，并熟练地将其结合应用．
6．（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492
． 【解析】
【分析】
（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12
PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12
PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．
【详解】
解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，
//PN BD ∴，12
PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =
， AB AC =，AD AE =，
BD CE ∴=，
PM PN ∴=，
//PN BD ，
DPN ADC ∴∠=∠，
//PM CE ，
DPM DCA ∴∠=∠，
90BAC ∠=︒，
90ADC ACD ∴∠+∠=︒，
90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，
PM PN ∴⊥，
故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；
（2）PMN ∆是等腰直角三角形．
由旋转知，BAD CAE ∠=∠，
AB AC =，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，
ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12
PM CE =， PM PN ∴=，
PMN ∴∆是等腰三角形，
同（1）的方法得，//PM CE ，
DPM DCE ∴∠=∠，
同（1）的方法得，//PN BD ，
PNC DBC ∴∠=∠，
DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，
MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠
BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠
ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，
90BAC ∠=︒，
90ACB ABC ∴∠+∠=︒，
90MPN ∴∠=︒，
PMN ∴∆是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，
MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，
//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，
MN ∴最大AM AN =+，
连接AM ，AN ，
在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，
AM ∴=，
在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =
MN ∴=最大
22211114922242
PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12
PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，
∴点D 在BA 的延长线上，
14BD AB AD ∴=+=，
7PM ∴=，
2211497222
PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12
PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．
7．（1）MP = NP ，180°－α；（2）PMN 是等边三角形，证明见解析；（3）MN 的最
大值为【解析】
【分析】
（1）由三角形的中位线的判定与性质不难得出，MP =12BD ，MP //BD 以及NP =12CE ，NP //CE ，因此MP = NP ，将MPN ∠利用平行线的性质转化为EBD ∠与PEA ∠的和求解即可．
（2）有（1）同理可证MP = NP ，MP //BD ，NP //CE ，在根据平行线的性质以及三角形外角的性质将MPN ∠转化为ABD ∠，ABE ∠，PBN ∠，ECB ∠这四个角的和，求出MPN ∠的度数，判断PMN 的形状即可．
（3）由题意不难得出M 的运动轨迹是以点A MN 最大与最小时M 的位置，分别求出最大最小值即可．
【详解】
（1）AB =AC ，AD =DE ，
∴BD =EC ，
M 、P 分别是DE 、BE 的中点，
∴MP =12
BD ，MP //BD ， ∴EPM EBD ∠=∠， 同理可证：NP =
12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，
∴NPE PEA ∠=∠，
∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=EBD ∠+PEA ∠=180°－α．
（2）由旋转可得：CAB EAD ∠=∠，AD =AE ，
∴CAE BAD ∠=，
在CAE 与BAD 中，
AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
， ∴CAE ≌BAD ，
∴CE =BD ，
由（1）同理可证MP =12BD ，MP //BD ，NP =12
CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，
∴PMN 是等腰三角形，
EPM ∠=EBD ∠=ABD ∠+ABE ∠，
NPE ∠=PBN ∠+PNB ∠=PBN ∠+ECB ∠，
∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=ABD ∠+ABE ∠+PBN ∠+ECB ∠=180°－120°=60°， ∴PMN 是等边三角形．
（3）等腰直角ADE 中，AD =3，
∴DE
M 是DE 的中点，
∴AM
∴M 的运动轨迹是以点A
为圆心，2
为半径的一个圆， 如图，连接NA 并延长分别交⊙A 于点M 1、M 2，
等腰直角ABC 中，AB =7，
∴BC
N 是BC 的中点，
∴AN
=2
，AN ⊥BC ，
当点M 旋转至M 1位置时，MN 最大，MN =722+322=52； 当点M 旋转至M 2位置时，MN 最小，MN =722－322
=22．
【点睛】
本题较为综合，主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线以及点的运动轨迹，本题关键在于利用平行线的性质将角进行转化以及分析出点的运动轨迹为圆．
8．（1）t=4；
（2）S=22210()
9()1128203243447)?1222(12734
)8(t t t t t t t t t ≤+≤≤-+≤⎧⎪⎪⎪⎪⎨-+-⎪⎪⎪⎪⎩＜＜＜＜； （3）存在，当t=4、4811或4011时，△PEF 是等腰三角形． 【解析】
试题分析：（1）作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，可以得出四边形AGHD 为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG ≌△DCH ，可以求出BG=CH 的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH 的值，就可以求出BP 的值，即可以求出结论t 的值；
（2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S 的值；
（3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-12
t ，分为三种情况：EF=EP 时可以求出t 值，当FE=FP 时，作FR ⊥EP ，垂足为R ，可以求出t 值，当FE=FP 时，作FR ⊥EP ，垂足为R ，可以求出t 值，当PE=PF 时，作PS ⊥EF ，垂足为S ，可以求出t 值．
试题解析：（1）如图2，作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，
∴四边形AGHD 为矩形．
∵梯形ABCD ，AB=AD=DC=5，
∴△ABG ≌△DCH ，
∴BG=12（BC-AD ）=3，AG=4， ∴当正方形PQMN 的边MN 恰好经过点D 时，点M 与点D 重合，此时MQ=4， ∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴t=4，即4秒时，正方形PQMN 的边MN 恰好经过点D ；
（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t ，
∵tan ∠DBC=
12，tan ∠C=tan ∠ABC=43， ∴GP=
12t ，PQ=43t ，BN=t+43t=73t ， ∴NR=76
t ， ∴S=2174()102
6329
t t t t +⨯=； 如图3，当3＜t≤4时，BP=t ，
∴GP=12
t ，PQ=4，BN=t+4，
∴NR=12t+2， ∴S=11(2)2222
t t ++⨯=2t+4； 如图4，当4＜t≤7时，BP=t ，
∴GP=12
t ，PQ=4，PH=8-t ，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4， ∴CN=3-（t-4）=7-t ， ∴NR=
2843t -， ∴S=22841(4)(4)(4)(8)11282232221233
t t t t t t -+-+-+=-+-； 如图5，当7＜t≤8时，BP=t ，
∴GP=12
t ，PQ=4，PH=8-t ， ∴S=21(4)(8)341222224
t t t +-⨯+=-+ ∴S=22210()
9()1128203243447)?
1222(12734
)8(t t t t t t t t t ≤+≤≤-+≤⎧⎪⎪⎪⎪⎨-+-⎪⎪⎪⎪⎩＜＜＜＜；
（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=3
5
，
由（1）可知EP=1
2
BP=
1
2
t，
则EF=EQ=PQ-EP=4-1
2
t，
①如图6，当EF=EP时，4-1
2
t=
1
2
t，
∴t=4；
②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，
∴ER=1
2
EP=
3
5
EF，
∴11
22
t=
3
5
（4-
1
2
t)，
∴t=48 11
；
③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，
∵ES=1
2
EF=
3
5
PE，
∴1
2
（4-
1
2
t) =
3
5
×
1
2
t，
∴t=
4011
． ∴当t=4、
4811或4011
时，△PEF 是等腰三角形． 考点：相似形综合题．
9．（1）22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪
=⎨-+-+<⎪⎩（2）图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和
最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝
⎭（3）当1
3m <或12m =或1m 时，图象G 在
x m ≥的部分与x 轴只有一个交点（4
m <<
，14m <<． 【解析】 【分析】
（1）根据分函数的定义直角写成关系式即可；
（2）将m=1代入（1）所得的分函数可得2243(1)121(1)2
x x x y x x x ⎧-+≥⎪
=⎨-+-<⎪⎩，然后分11
x -≤<和14x ≤≤两种情况分别求出最高点和最低点的坐标，最后比较最大值和最小值即可解
答；
（3）由于图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，则可令对应二元一次方程的根的判别式等于0，即可确定m 的取值；同时发现无论m 取何实数、该函数的图象与x 轴总有交点，再令x=m 代入原函数解析式，求出m 的值，据此求出m 的取值范围； （4）先令2441x mx m m -+-=或-m①，利用根的判别式小于零确定求出m 的取值范围，然后再令x=m 代入2441x mx m m -+-=或-m②，然后再令判别式小于零求出m 的取值范围，令x=m 代入2
12212
x mx m m -
+-+=或-m③，令判别式小于零求出m 的范围，然后取①②③两两的共同部分即为m 的取值范围． 【详解】
（1）图象G 对应的函数关系式为22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪
=⎨-+-+<⎪⎩
（2）当1m =时，图象G 对应的函数关系式为2243(1)121(1)2
x x x y x x x ⎧-+≥⎪
=⎨-+-<⎪⎩．
当11x -≤<时，将2
1212y x x =-
+-配方，得21(2)12
y x =--+． 所以函数值y 随自变量x 的增大而增大，此时函数有最小值，无最大值．。