2021年中考数学复习专题之三角形03-【三角形的面积】基础训练

2021中考数学复习专题之三角形03
【三角形的面积】基础训练
一．选择题
1．△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，连结BD，CD，则S
的最大值为（）
△BDC
A．10B．15C．12D．14
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠CBD＝90°，BC＝4，OB＝OD＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（）
A．48B．36C．24D．12
3．在平面直角坐标系中，由点A（a，3），B（a+4，3），C（b，﹣3）组成的△ABC的面积是（）A．6B．12C．24D．不确定
4．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为（）
A．6B．7C．8D．9
5．如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（）
A．24B．28C．35D．30
6．如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n．对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长：③△PAB的面积：④∠APB的大小．其中不会随点p 的移动而变化的是（）
A．①②B．①③C．②④D．③④
7．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是20，则△ABE的面积是（）
A ．10
B ．6
C ．5
D ．4
8．活动课上，小华将两张直角三角形纸片如图放置，已知AC ＝8，O 是AC 的中点，△ABO 与△CDO 的面积之比为4：3，则两纸片重叠部分即△OBC 的面积为（ ）
A ．4
B ．6
C ．2
D ．2
9．如图，已知△ABC 中，CN ＝3BN ，AM ＝CM ，AN 交BM 于O ．若S △ABC ＝40，则下列正确的是（ ）①S △ABO ＝2；②BO ：MO ＝2：3；③AO ：NO ＝4；④S △AMO ＝12：⑤S △CMO ＝13．
A ．①②④
B ．②③④
C ．②③④⑤
D ．①②③④
10．已知点A （1，2a +1），B （﹣a ，a ﹣3），若线段AB ∥x 轴，则三角形AOB 的面积为（ ） A ．21
B ．28
C ．14
D ．10.5
二．填空题
11．如图，点E 、F 都在线段AB 上，分别过点A 、B 作AB 的垂线AD 、BC ，连接DE 、DF 、CE 、CF ，DF 交CE 于点G ，已知AD ＝BE ＝7.5，AE ＝BF ＝CB ＝2.5．如果△DEG 的面积为S 1，△CFG 的面积为S 2，则S 1﹣S 2＝ ．
12．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是高，BE 是中线，CF 是角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法中正确的序号是 ．
①△ABE 的面积等于△BCE 的面积；②∠AFG ＝∠AGF ；③∠FAG ＝2∠ACF ；④BH ＝CH ．
13．如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，且AE ：CE ＝3：1，S △CEP ＝1，则S △BPC ＝ ．
14．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝120°，点D 在边BC 上，且AD ＝4．BD ：CD ＝3：2．当△ABD 面积最大时，AB 的长为 ．
15．如图，AD 是△ABC 的中线，G 是AD 上的一点，且AG ＝2GD ，连结BG ，若S △ABC ＝12，则S △ABG 为 ．
三．解答题
16．在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，﹣2），C（a，b），且+|a+2b﹣7|＝0．
（1）求点C的坐标；
（2）画出△ABC并求△ABC的面积；
（3）若BC与x轴交点为点M，求点M坐标．
17．如图，长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当x为何值时，△APE的面积等于32cm2？（提醒：同学们，要分类讨论哦！）
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高线，已知AE＝4，△ABD的面
积是6，求BC的长．
19．在平面直角坐标系中，已知以A（﹣1，0）或以B（3，0）为直角顶点的直角三角形ABC的面积为6，求顶点C的坐标．
20．已知A（0，2），B（4，0），C（6，6）
（1）在图中的直角坐标系中画出△ABC；
（2）求△ABC的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：如图：延长AB ，CD 交点于E ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠CAD ＝∠EAD ，
∵CD ⊥AD ，
∴∠ADC ＝∠ADE ＝90°，
在△ADE 和△ADC 中，
，
∴△ADE ≌△ADC （ASA ），
∴AC ＝AE ，DE ＝CD ；
∵AC ﹣AB ＝4，
∴AE ﹣AB ＝4，即BE ＝4；
∵DE ＝DC ，
∴S △BDC ＝S △BEC ，
∴当BE ⊥BC 时，S △BDC 面积最大，
即S △BDC 最大面积＝××10×4＝10．
故选：A ．
2．解：在Rt△OBC中，由勾股定理，得
CO＝＝＝5．
∵AC＝10，
∴AO＝5，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形．
四边形ABCD的面积为BC•BD＝4×（3+3）＝24，故选：C．
3．解：∵点A（a，3），B（a+4，3），
∴AB＝4，
∵C（b，﹣3），
∴点C在直线y＝﹣3上，
∵AB ：y ＝3与直线y ＝﹣3平行，且平行线间的距离为6， ∴S ＝×4×6＝12，
故选：B ．
4．解：连接OC ，OB ，OA ，OD ，
∵E 、F 、G 、H 依次是各边中点，
∴△AOE 和△BOE 等底等高，所以S △OAE ＝S △OBE ， 同理可证，S △OBF ＝S △OCF ，S △ODG ＝S △OCG ，S △ODH ＝S △OAH ， ∴S 四边形AEOH +S 四边形CGOF ＝S 四边形DHOG +S 四边形BFOE ， ∵S 四边形AEOH ＝6，S 四边形BFOE ＝7，S 四边形CGOF ＝8， ∴6+8＝7+S 四边形DHOG ，
解得S 四边形DHOG ＝7．
故选：B ．
5．解：连接EG ，CG ，
∵BD ＝DE ＝EC ，
∴BD ＝BC ，
∵AG ＝BG ＝AB ，
∴S △BDG ＝S △BCG ＝S △ABC ＝S △ABC ，
同理S △ECF ＝S △ABC ＝S △ABC ，
S △AFG ＝×S △ABC ＝S △ABC ，
∴S 四边形DEFG ＝S △ABC ﹣S BDG ﹣S △CEF ﹣S △AGF ＝
S △ABC ＝14，
∴S △ABC ＝30．
故选：D ．
6．解：①∵直线m ∥n ，
∴点P 到直线n 的距离不变；
②∵PA 、PB 的长度随点P 的移动而变化，
∴△PAB 的周长会随点P 的移动而变化；
③∵点P 到直线n 的距离不变，AB 的大小，
∴△PAB 的面积不变；
④直线m 、n 之间的距离不随点P 的移动而变化，∠APB 的大小随点P 的移动而变化； 故不会随点p 的移动而变化的是①③，
故选：B ．
7．解：∵AD 是BC 上的中线，
∴S △ABD ＝S △ACD ＝S △ABC ，
∵BE 是△ABD 中AD 边上的中线，
∴S △ABE ＝S △BED ＝S △ABD ，
∴S △ABE ＝S △ABC ，
∵△ABC 的面积是20，
∴S △ABE ＝
＝5． 故选：C ．
8．解：∵点O 是直角△ABC 斜边AC 的中点，
∴S △ABO ＝S △CBO ，OB ＝OA ＝OC ，
∵△ABO 与△CDO 的面积之比为4：3，
∴△CBO 与△CDO 的面积之比为4：3，
∴OB ：OD ＝4：3，
设OB ＝4x ，则OD ＝3x ，
∴OA ＝OC ＝4x ，
∵AC ＝8，
∴4x +4x ＝8，解得x ＝1，
在Rt △ODC 中，OD ＝3，OC ＝4，
∴CD ＝＝，
∴S △ODC ＝×3×＝，
而△CBO 与△CDO 的面积之比为4：3，
∴S △OBC ＝×
＝2．
故选：D ．
9．解：过M 点作MD ∥BC ，交AN 于点N ，连接OC ，则△DOM ∽△NOB ，
∴DM ：BN ＝DO ：ON ＝MO ：BO ，
∵AM ＝CM ，
∴DM 为△ANC 的中位线，
∴AD ＝DN ，BC ＝2DM ，
∵CN ＝3BN ，
∴DM ：BN ＝3：2，BN ：BC ＝1：4，
∴DO ：ON ＝MO ：BO ＝3：2，
∴BO ：MO ＝2：3，故②正确；
AO ：NO ＝4：1，故③正确；
AO ：AN ＝4：5，OM ：BM ＝3：5，
∵S △ABC ＝40，AM ＝CM ，BN ：BC ＝1：4，
∴S △ABN ＝10，S △ABM ＝20，
∵S △ABO ：S △ABN ＝AO ：AN ＝4：5，S △AMO ：S △ABM ＝MO ：BM ＝3：5，
∴S △ABO ＝8，故①错误；S △AMO ＝12，故④正确；
∵AM ＝CM ，
∴S △CMO ＝S △AMO ＝12，故⑤错误．
故选：B ．
10．解：∵AB ∥x 轴，
∴2a +1＝a ﹣3．解得a ＝﹣4．
∴A （1，﹣7），B （4，﹣7）．
∴AB ＝3．
∴△AOB 的面积为：×3×7＝10.5，
故选：D ．
二．填空题
11．解：∵AD ＝BE ＝7.5，AE ＝BF ＝CB ＝2.5．
∴AF ＝BE ，
∴AD ＝AF ＝7.5，
在△ADE 和△BEC 中，
，
∴△ADE ≌△BEC （SAS ），
∴S △DAE ＝S △CBE ，
∵S 1＝S △DAF ﹣S △DAE ﹣S △EFG ，S 2＝S △CBE ﹣S △EFG ﹣S △CBF ，
∴S 1﹣S 2＝S △DAE +S △CBF ＝+＝．
故答案为．
12．解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG ＝2∠ACF ，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出BH ＝CH ，故④错误；
故答案为：①②③．
13．解：连接PA ，
∵D 是AB 的中点，
∴S △ADC ＝S △BCD ，S △PAD ＝S △PBD ，
∴S △BPC ＝S △APC ，
∵AE ：CE ＝3：1，S △CEP ＝1，
∴S △AEP ＝3S △CEP ＝3，
∴S △APC ＝4，
∴S △BPC ＝4，
故答案为4．
14．解：作DE ⊥AB 于E ，
∴S △ABD ＝AB •DE ，
∵DE ⊥AB ，
∴DE ≤AD ．
当DA ⊥AB 时，DE 与DA 重合，此时，DE 取得最大值4，△ABD 面积最大，
作CF ⊥AB ，交BA 的延长线于F ，
∴DE ∥CF ，
∴△BDE ∽△BCF ， ∴＝，即＝， ∴＝，
∴CF ＝，
∵∠BAC ＝120°，
∴∠CAF ＝60°，
∴∠ACF ＝30°
∴AF ＝tan30°•CF ＝×＝，
∵AD ∥CF ， ∴＝＝，
∴AB ＝． 故答案为．
15．解：∵AD 是△ABC 的中线，S △ABC ＝12，
∴S △ABD ＝S △ABC ＝×12＝6，
∵AG ＝2GD ，
∴S △ABG ＝S △ABD ＝×6＝4，
故答案为：4．
三．解答题
16．解：（1）∵
+|a +2b ﹣7|＝0， ∴， 解得：，
∴C （1，3）；
（2）如图，△ABC 为所作，
如图，分别过点B ，点C 作x 轴的平行线BF ，DE ，过点A ，点B 作y 轴的平行线DF ，EB ， ∴S △ABC ＝S 四边形DFBE ﹣S △ADC ﹣S △BCE ﹣S △ABF ，
＝4×5﹣﹣﹣，
＝8；
（3）设点M 的坐标为（m ，0），
∵S
△ABC ＝S
△AMC
+S
△ABM
，S
△ABC
＝8，
∴，
∴AM＝，
∴m﹣（﹣1）＝，
∴m＝，
∴M（，0）．17．解：①如图1，
当P在AB上时，
∵△APE的面积等于32，
∴×2x•8＝32，
解得：x＝4；
②当P在BC上时，
∵△APE的面积等于32，
∴S 矩形ABCD ﹣S △CPE ﹣S △ADE ﹣S △ABP ＝32，
∴10×8﹣（10+8﹣2x ）×5﹣×8×5﹣×10×（2x ﹣10）＝32， 解得：x ＝6.6；
③当P 在CE 上时，
∴（10+8+5﹣2x ）×8＝32，
解得：x ＝7.5＜（10+8+5），
x ＝7.5时2x ＝15，P 在BC 边，
∴舍去；
答：4或6.6．
18．解：∵AD 为△ABC 的中线，
∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×6＝12， ∴×AE •BC ＝12，即4•BC ＝12，
∴BC ＝6．
19．解：设C 点的纵坐标为t ，
∵A （﹣1，0），B （3，0），
∴AB ＝4，
∵S
＝×4×|t|＝6，解得|t|＝3，
△ABC
∴点C的坐标为（﹣1，3）或（3，3）或（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）．
20．解：（1）在平面直角坐标系中画出△ABC如图所示：
（2）△ABC的面积＝6×6﹣×4×2﹣﹣＝36﹣4﹣6﹣12＝14．
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