2021年高考数学 5.3 等比数列及其前n项和练习

2021年高考数学 5.3 等比数列及其前n项和练习

(25分钟60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(xx·北京模拟)已知x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3成等比数列,则xyz的值为

( )

A.-3

B.±3

C.-3

D.±3

【解析】选C.由等比中项知y2=3,所以y=±,又因为y与-1,-3符号相同,所以y=-,y2=xz,所以xyz=y3=-3. 【加固训练】(xx·福州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-,则x的值为()

A. B.- C. D.-

【解析】选C.当n=1时,a1=S1=x-①,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=x·(3n-1-3n-2)=2x·3n-2,

因为{an}是等比数列,所以a1===②,

由①②得x-=,解得x=.

2.(xx·青岛模拟)在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是

()

A.10000

B.1000

C.100

D.10

【解析】选A.因为lga3+lga6+lga9=lg(a3a6a9)=6,所以a3a6a9=106,由等比数列性质得a1a11=a3a9=,所以=106,又已知an>0,所以a6=102=100,因此a1a11=1002=10000,故选A.

3.(xx·长春模拟)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=()

A.11

B.12

C.14

D.16

【解析】选C.设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=4=q3与a4a5a6=12=q12可得q9=3,an-1anan+1=q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.

4.已知等比数列{an}(n∈N*)中有a5a11=4a8,数列{bn}是等差数列,且a8=b8,则b7+b9等于()

A.2

B.4

C.8

D.16

【解析】选C.b7+b9=2b8,又a5a11=4a8,所以=4a8,因为a8≠0,所以a8=4,即b8=4,所以b7+b9=2b8=8.

【加固训练】已知各项不为0的等差数列{an},满足2a3-+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=()

A.2

B.4

C.8

D.16

【解析】选D.因为数列{an}是等差数列,所以a3+a11=2a7由2a3-+2a11=0得4a7-=0,又an≠0,所以a7=4,所以b6b8==42=16.

5.已知数列{an}的前n项和Sn=an-1(a≠0),则{an}()

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.或者是等差数列,或者是等比数列

D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列

【解析】选C.因为Sn=an-1(a≠0),所以an=即an=当a=1时,an=0,数列{an}是一个常数列,也是等差数列;当a≠1时,数列{an}是一个等比数列.

【加固训练】(xx·青岛模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+1+a,n∈N*,则实数a的值是() A.-3 B.3 C.-1 D.1

【解题提示】由Sn求an,而后由a1=S1求a.

【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n=2·3n,当n=1时,a1=S1=9+a,因为{an}是等比数列,所以有9+a=2×3,解得a=-3.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=10,S2m=30,则S3m=.

【解析】由等比数列的性质知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等比数列,所以10,20,S3m-30成等比数列,故10(S3m-30)=202,解得S3m=70.

答案:70

【加固训练】在正项等比数列{an}中,若++=81,则+=.

【解析】因为a2a4=,a4a6=,=a3·a5.所以++=++=81,即=81,又a3>0,a5>0,故+=9.

答案:9

7.已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=.

【解题提示】由2(an+an+2)=5an+1得q的方程求q,由=a10求a1即可求解.

【解析】因为2(an+an+2)=5an+1,所以2an+2an·q2=5an·q,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去).又因为=a10=a5·q5,所以a5=q5=25=32,所以32=a1·q4,解得a1=2,所以an=2×2n-1=2n,故an=2n.

答案:2n

8.在数列{an}中,若-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”.

下列是对“等方差数列”的判断:

①若{an}是等方差数列,则{}是等差数列;

②已知数列{an}是等方差数列,则数列{}是等方差数列.

③{(-1)n}是等方差数列;

④若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列.其中正确命题的序号为. 【解析】对于①,由等方差数列的定义可知,{}是公差为p的等差数列,故①正确.对于②,取an=,则数列{an}是等方差数列,但数列{}不是等方差数列,故②错.对于③,因为-[(-1)n-1]2=0(n≥2,n∈N*)为常数,所以{(-1)n}是等方差数列,故③正确.对于④,若-=p(p≥2,n∈N*),则-=(-)+(-)+…+(-)=kp为常数,故④正确.

答案:①③④

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(xx·北京模拟)已知等比数列{an}的所有项均为正数,首项a1=1,且a4,3a3,a5成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)数列{an+1-λan}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1(n∈N*),求实数λ的值.

【解析】(1)设数列{an}的公比为q,由条件得q3,3q2,q4成等差数列,所以6q2=q3+q4,

解得q=-3,或q=2,

由数列{an}的所有项均为正数,则q=2,

数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).

(2)记bn=an+1-λan,

则bn=2n-λ·2n-1=(2-λ)2n-1,

若λ=2,bn=0,Sn=0不符合条件;

若λ≠2,则=2,数列{bn}为等比数列,首项为2-λ,公比为2.

此时Sn=(1-2n)=(2-λ)(2n-1),

又Sn=2n-1(n∈N*),

所以λ=1.

【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别