2021届安徽省安庆市高三下学期3月模拟考试(二模)数学(理)试题 PDF版

A.[4，4]
B.[2 3，2 3]
C.[0，2 3]
D. [0，4]
12.对任意
x
1 e
，e2
，使得不等式
(ln
x
k
)x
3 ln
x
成立的最大整数
k
为
A. 2
B. 1
C. 0
D. 1
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知函数
f
(x)
sin x ex
，则曲线
＜2 ，则
A. 1， π 2
B. 1 ， 2 π
C. 2 ， π 4
D. 2 ， 4 π
9.设抛物线 y2 = 2 px（ p > 0 ）的焦点为 F ，过点 F 作倾斜角为 60 的直线交抛物线于点 A ，
B （点 A 位于 x 轴上方）， O 是坐标原点，记△ AOF 和△ BOF 的面积分别为 S1 ， S2 ，
高三（理）数学试题 第 6 页 共 17 页
2021 年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（理科）参考答案
第Ⅰ卷
二、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C B C A D A B C C A D B
34
x1，y1
，
x2，y2
，因为点 A 位于 x 轴
上方，所以
x1
=
3 2
p
，
x2
=
1 6
p
，所以
S1 S2
=
y1 y2
=
2 px1 = 2 px2
x1 = 3 ，故选 C. x2
10.【解析】设“方亭”的上底面边长为 a
,下底面边长为 b
,高为
h，则V
1 3
h
a2 ab b2
，
V1
1 2
A. (2, )
B. (, 1
C. 1, )
D. (2, )
2.设复数 z 1 i （ i 是虚数单位），则 z2 2 z
A．1
B． 2
C． 3
D． 2
3.从 4 位男生，2 位女生中选 3 人组队参加学习强国答题比赛，且至少有 1 位女生入选，则 不同的选法种数共有
A.8
B. 12
C. 16
D. 20
的离心率为
.
16.钝角 ABC 的面积是 3 15 ， AC 2 ， BC 3，角 A 的平分线交 BC 于点 D ，则 4
AD
.
高三（理）数学试题 第 3 页 共 17 页
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答. 第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
绝密★启封并使用完毕前
2021 年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（理）
本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A x 2 ≤ x＜4， B x a＜x ≤ a 3，若 A B A ，则 a 取值范围是
S2 S2 S4
1 5
，故
S4
4S2 ，从而
a3 a4 3a1 a2 ，即 a1 a2 q2 3a1 a2 ，解得 q2 3 ，
高三（理）数学试题 第 7 页 共 17 页
a2 a1q 1 1 ，故选 B. a2 a4 a1q a1q3 1 q2 4
8.【解析】由图象可知 T ＜2＜3T ，即 π ＜2＜ 3π ，得 π ＜＜3π . 因为 为正整数，
解法 2：不妨设 a 2，0 ，b 1，3 ，c x，y . 因为 c a ≤1 ，所以 x 22 y2 ≤1，
设 x 2 r cos ， y r sin ， 0 ≤r ≤1， R ，
V2 1 ，台体的体积公式为V 1 h S SS' S' ，其中 S，S' 分别为台体的上、下
V1 3
3
底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为
A. 5 1 2
B. 5 1 4
C. 5 1 2
D. 5 1 4
高三（理）数学试题 第 2 页 共 17 页
11.已知 a b 2 ，且 a ， b 的夹角为 60 ，若向量 c a ≤1 ，则 b c 的取值范围是
（Ⅰ）若曲线 C1 与 C2 有公共点，求 r 的取值范围； （Ⅱ）若 r 1，过曲线 C1 上任意一点 P 作曲线 C2 的切线，切点为 Q ，求 PQ 的最小值.
23. [选修 4 - 5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知函数 f (x) 3x 1 x 2
（Ⅰ）解不等式： f x＞5； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 f x≥ x2 m 在0, 3 上恒成立，求实数 m 的取值范围.
ha
a
b
1 2
h
a2 ab
V2
V
V1
1 3
h
a2 ab b2
1h 2
a2 ab
1h 6
a2 ab 2b2
∴ V2
1h 6
2b2 a2 ab
V1
1 h a2 ab
2
1 3
2
a b
a 2 b
2
a b
a b
1 3
a b
5 1 ．故选A． 2
11.【解析】解法 1：取 OA a，OB b，OC c ，则点 C 在以 A 为
1.【解析】由
A
B
A
知
A
B
，故
a
a＜2 3≥
4
，得
a
≥
1
.故选
C.
2.【解析】 z2 2 (1 i)2 2 2i+1 i 1 i ， z2 2 2 .故选 B.
z
1 i
z
3.【解析】可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 C12C24 12（种）； 第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C22C14 4 （种）．根据分类加法计数原理知，
y
f
(x) 在 0，0处的切线方程为
.
14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的
累计时长 X (小时)近似服从正态分布，人均活动时间约 40 小时.若某高中学校 1000 学生
中参加该活动时间在 30 至 50 小时之间的同学约有 300 人.据此，可推测全市 n 名学生中，
B. 1
C. 2
D. 3
6.已知
2
sin
π 4
sin
wk.baidu.comtan
2
1 ，则
tan
A． 2
B． 2
C． 1 2
D． 1 2
高三（理）数学试题 第 1 页 共 17 页
7.设
an
是等比数列，前
n
项和为
Sn
，若
S2
S2
S4
1 5
则 a2 a2 a4
1 A.
5
1 B.
4
1 C.
3
1 D.
2
8.已知函数 y cos(x ) 的图象如图所示，其中 为正整数，
概率依次为 2 、 1 、 1 、 1 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响。 3234
（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率； （Ⅱ）用 X 表示小强同学答题结束时的得分，求 X 的分布列； （Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率.
20.（本小题满分 12 分）
设 F1 ， F2 分别为椭圆 C :
x2 a2
22
有最大值， 最大值为 3.故选 D.
6.【解析】由
2
sin
π 4
sin
tan
2
1，得 sin
cos
2 sin 2
2
1.
因为 cos 1 2sin2 ，所以 sin cos cos ，即 sin 2cos ，所以 2
tan 2 ，故选 A.
7.【解析】设an 是等比数列的公比为 q ，
至少有 l 位女生人选的不同的选法有 16 种．故选 C.
4.【解析】由函数解析式知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数和单调递增函数，于是原不
等式可化为 f 2x 1 f 3 ，所以 2x 1 3，解得 x , 1 .故选 A.
5.【解析】画出线性约束区域，所以当直线 y 1 x 1 z 经过 3.0点时，目标函数 z x 2 y
则 S1 = S2
A. 9
B. 4
C. 3
D. 2
10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的
一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在
一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为V1 ，“刍甍”的体积为V2 ，若
高三（理）数学试题 第 5 页 共 17 页
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 f x x2 x lnax b， a R ， a ≠ 0 . （Ⅰ）当 a =1， b = 0 时，求证： f x＞ 5 ；
4
（Ⅱ）若 f x≥ x2 恒成立，求 ab 的最大值.
（二）选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题目计分.
圆心，半径为 1 的圆面上（包括边界），设向量 b，c 的夹角为 ， 由图可知， 取值范围为[ π ，π ]； b c b c cos 2 c cos ，
62 由于 c cos 为向量 c 在向量 b 上的投影，且 0 ≤ c cos ≤ 2 .故
b c 的取值范围是[0，4] .选 D.
高三（理）数学试题 第 8 页 共 17 页
4.设函数 f x 2x 2x x3 ，则使得不等式 f 2x 1 f 3 0 成立的实数 x 的取值范
围是
A. , 1
B. , 2
C. 1,
D. 2,
x ≤ 3 5.已知实数 x ， y 满足 x y 1≥ 0 ，则 z x 2 y 的最大值为
x 3y 3≤ 0
A. 5
y2 b2
1（ a＞b＞0 ）的左、右焦点， P 是椭圆 C
的短轴
的一个端点，已知△ PF1F2 的面积为
2
， cos F1PF2
1 3
.
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与 PF2 平行的直线 l ，满足：直线 l 与椭圆 C 交于两点 M ， N ，且以线
段 MN 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.
累计时长超过 50 小时的人数大约为
.
15.已知 F1 ，F2 分别为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1（ a
> 0 ，b
> 0 ）的左、右焦点，过点 F2 作 C
的一条渐近线的垂线，垂足为 G . 连接 F1G ，设直线 F1G ， F2G 的斜率分别为 k1 ， k2 ，
若
k1k2
1 3
，则双曲线 C
（一）必考题：共 60 分.
17.（本小题满分 12 分）
已知数列 an 满足
a1
1 2
，
nn
1 anan1
n
1an
nan1
0
，
n≥2，n
N
.
（Ⅰ）求证：数列
n
1
1an
为等差数列；
（Ⅱ）设数列
2n 1an2
的前
n
项和
S
n
.证明：
3 4
≤
S
n＜1
.
18.（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，底面△ ABC 是正三角形，O1 是其中心，侧面 BCC1B1 是正方形， O2 是其中心. （Ⅰ）判断直线 O1O2 与直线 AA1 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若四面体 A1ABC 是正四面体，求平面 BCC1B1 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.
22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
：
x
y
r r
cos sin
（
为参数，常数
r＞0
），以坐标原点
为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位曲线 C2 的
极坐标方程为 2 8 sin 15 0 .
2
4
2 2
4
所以 2 . 又 x = 2 时， ymin 1，所以 4 2kπ π ，即 2kπ π 4 ， k Z ，
已知 ＜2 ，所以 π 4 . 故选 C.
9.【解析】由题意可知，直线 AB 的方程为 y （3 x p），代入 y2 = 2 px ，整理得 2
( ) ( ) x2 5 px 1 p2 0 .设点 A 、 B 的坐标分别为
高三（理）数学试题 第 4 页 共 17 页
19.（本小题满分 12 分） 某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设 置了由易到难的 A、B、C、D 四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题 A、B、C、 D 顺序作答；每位同学初始得分均为 10 分，答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、 3 分、6 分，答错任一题减 2 分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束；当累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，通过比赛；当作答完四 题，累计分数仍不足 14 分时，答题结束；假设小强同学对问题 A、B、C、D 回答正确的