【数学课件】7.5 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
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AB=CD
, OE=OF
四、应用举例
例题1：如图，点O是∠EPF的 平分线上的一点，以O为圆心的 圆和角的两边分别交于点B、D. 求证：PB=PD.
证明：作OM⊥PB，ON⊥PD， M、N 为垂足.
B
M
E
P
N
O D F
∠MPO=∠NPO
OM⊥PB OM=ON PB =PD 变换
ON⊥PD
变换：1
一等三等定理
课堂练习：
想一想？
下面的说法正确吗？ 为什么？如图，因为 ∠AOB=∠A’OB’， 根据圆心角、弧、弦、 A’ 弦心距关系定理可知 A AB=A’B’.
错
O B’
B
在同圆或等圆中
圆心角相等
所 对
弧相等
弦相等
弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦或 两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等.
所 对 所 对
弧AB
和
A’B’
弦AB 和 弦的弦心距OM 和
关系怎样?
A’B’ OM’
三 、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在圆O中，圆心角∠AOB = ∠A’OB’
所 对 所 对
弧AB
=
A’B’
弦AB 弦的弦心距OM
相等
= =
A’B’ OM’
关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等 。
(1)已知:如图,AD=BC.
A D
求证:AB=CD.
(2)已知:如图,AB=CD.
E
O
C B
求证:AD=BC. 1
课堂小结:
2
3
二零零三年 七月
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
好好学习，天天向上。
四中一等三等
B
课堂练习:
A
E D
已知:如图,AB、CD是⊙O的两条弦，
OE、OF为弦心距，根据本 节定理及推论填空：
O
F
C
（ 1 ）如果AB=CD，那么 OE=OF , AB=CD ∠ , AOB=∠COD （ 2 ）如果OE=OF，那么 AB=CD , AB=CD ∠ , AOB=∠COD （ 3 ）如果AB=CD，那么 AB=CD , OE=OF ∠ , AOB=∠COD （ 4 ）如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD
C P O B
例题2：如图，点O是∠EPF的 平分线上的一点，以O为圆心 的圆和角的两边分别交于点 A 、 A B和C、 D. P C 求证：AB=CD.
B
E
O
D F
例题3：如图，弦AB和CD 相交于圆内点P，并且和经 过点P的直径成等角. 求证：AB=CD
想一想？怎样做？
D
A
C P O B
课堂练习:
第七章 圆
圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
§ 7． 5
一、圆的对称性
圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形.
特殊属性:旋转不变性.
二、概念
1.圆心角：顶点在圆心的角．
B O· C E D
A
∠AOB
2.弦心距：从圆心到弦的距离. 线段ＯＥ
线段
三 、 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在圆O中，圆心角∠AOB = ∠A’OB’
B P O D
E
F
B A P C O D F E
例题2：如图，点O是 ∠EPF的平分线上的一点， 以O为圆心的圆和角的两边 分别交于点 A 、B和C、 D. 求证：AB=CD
变换：2
B P O D
E
F
例题3：如图，弦AB和 CD相交于圆内点P，并 且和经过点P的直径成 等角. 求证：AB=CD
D
A
, OE=OF
四、应用举例
例题1：如图，点O是∠EPF的 平分线上的一点，以O为圆心的 圆和角的两边分别交于点B、D. 求证：PB=PD.
证明：作OM⊥PB，ON⊥PD， M、N 为垂足.
B
M
E
P
N
O D F
∠MPO=∠NPO
OM⊥PB OM=ON PB =PD 变换
ON⊥PD
变换：1
一等三等定理
课堂练习：
想一想？
下面的说法正确吗？ 为什么？如图，因为 ∠AOB=∠A’OB’， 根据圆心角、弧、弦、 A’ 弦心距关系定理可知 A AB=A’B’.
错
O B’
B
在同圆或等圆中
圆心角相等
所 对
弧相等
弦相等
弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦或 两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等.
所 对 所 对
弧AB
和
A’B’
弦AB 和 弦的弦心距OM 和
关系怎样?
A’B’ OM’
三 、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在圆O中，圆心角∠AOB = ∠A’OB’
所 对 所 对
弧AB
=
A’B’
弦AB 弦的弦心距OM
相等
= =
A’B’ OM’
关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等 。
(1)已知:如图,AD=BC.
A D
求证:AB=CD.
(2)已知:如图,AB=CD.
E
O
C B
求证:AD=BC. 1
课堂小结:
2
3
二零零三年 七月
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
好好学习，天天向上。
四中一等三等
B
课堂练习:
A
E D
已知:如图,AB、CD是⊙O的两条弦，
OE、OF为弦心距，根据本 节定理及推论填空：
O
F
C
（ 1 ）如果AB=CD，那么 OE=OF , AB=CD ∠ , AOB=∠COD （ 2 ）如果OE=OF，那么 AB=CD , AB=CD ∠ , AOB=∠COD （ 3 ）如果AB=CD，那么 AB=CD , OE=OF ∠ , AOB=∠COD （ 4 ）如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD
C P O B
例题2：如图，点O是∠EPF的 平分线上的一点，以O为圆心 的圆和角的两边分别交于点 A 、 A B和C、 D. P C 求证：AB=CD.
B
E
O
D F
例题3：如图，弦AB和CD 相交于圆内点P，并且和经 过点P的直径成等角. 求证：AB=CD
想一想？怎样做？
D
A
C P O B
课堂练习:
第七章 圆
圆心角、弧、弦、弦 心距之间的关系
§ 7． 5
一、圆的对称性
圆是以圆心为对称中 心的中心对称图形.
特殊属性:旋转不变性.
二、概念
1.圆心角：顶点在圆心的角．
B O· C E D
A
∠AOB
2.弦心距：从圆心到弦的距离. 线段ＯＥ
线段
三 、 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在圆O中，圆心角∠AOB = ∠A’OB’
B P O D
E
F
B A P C O D F E
例题2：如图，点O是 ∠EPF的平分线上的一点， 以O为圆心的圆和角的两边 分别交于点 A 、B和C、 D. 求证：AB=CD
变换：2
B P O D
E
F
例题3：如图，弦AB和 CD相交于圆内点P，并 且和经过点P的直径成 等角. 求证：AB=CD
D
A