2015一轮复习数学第五章第四节课后限时自测
(新课标)北京市2015届高考数学一轮复习 第5讲 不等式课后练习 理
第5讲 不等式经典精讲题一：解不等式|x 2－2x ＋3|<|3x －1|．题二：解关于x 的不等式|2x －1|<2m －1(m ∈R)．题三：求函数y x =的值域．题四：设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________题五：若bc －ad ≥0，bd >0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd．题六：已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小．题七：函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．题八：已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1． (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．题九：设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x)的最大、最小值．题十：设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |．(1) 若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R，f (x )≥2，求a 的取值范围．题十一：证明：关于x 的不等式(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0与(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0，当k 为任意实数时，至少有一个恒成立．题十二：已知f (x )＝32x －(k ＋1)·3x＋2，对任意的x ∈R ，恒有f (x )>0，则k 的取值范围是( )．A ．(－∞, －1)B ．(－∞, 22－1)C ．(－1, 22－1)D ．(－22－1, 22－1)题十三：解关于x 的不等式x 2－2ax －3a 2>0．题十四：已知集合A ＝{x |2x 2－3x －2≤0}，B ＝{x |x 2－ax ＋3a ≤0，a ∈R}，且B ⊆A ，求a的取值范围．题十五：若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－12，2)，则以下结论中：①a >0；②b <0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，正确结论的序号是( )． A ．①②③ B ．②③④ C ．②③⑤ D ．③⑤题十六：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，方程f (x )－x ＝0有两根x 1，x 2满足0<x 1<x 2<1a，当x∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1．第5讲 不等式经典精讲题一： {x |1<x <4}．详解：原不等式⇔(x 2－2x ＋3)2<(3x －1)2⇔[(x 2－2x ＋3)＋(3x －1)][(x 2－2x ＋3)－(3x －1)]<0⇔(x 2＋x ＋2)(x 2－5x ＋4)<0 ⇔x 2－5x ＋4<0(因为x 2＋x ＋2恒大于0)⇔1<x <4． 所以原不等式的解集是{x |1<x <4}．题二： 当m ≤12时，解集为∅；当m >12时，解集为：{x |1－m <x <m }．详解:若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|<2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1>0，即m >12．则－(2m －1)<2x －1<2m －1，所以1－m <x <m ． 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m >12时，原不等式的解集为：{x |1－m <x <m }．题三：．详解：函数y x =的定义域为，1]，设sin ()22x t t ππ=-≤≤，则原函数y x =可化为sin cos y t t =+)4t π+∵22t ππ-≤≤∴3444t πππ-≤+≤看图象（图2）可知sin()124t π-≤+≤∴1)4t π-≤+≤∴1y -≤≤即原函数的值域为]．题四：2105． 详解:依题意有(2x ＋y )2＝1＋3xy ＝1＋32×2x ×y ≤1＋32 · (2x ＋y 2)2，得58(2x ＋y )2≤1，即|2x ＋y |≤2105．当且仅当2x ＝y ＝105时，2x ＋y 达到最大值2105．题五： 见详解．证明：∵bc －ad ≥0，bd >0，∴bc ≥ad ，1bd>0，∴c d ≥a b ．∴c d ＋1≥a b ＋1，即c ＋d d ≥a ＋b b ，即a ＋b b ≤c ＋dd．题六： 当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．详解: f (x )＝mxx －1＝m (1＋1x －1)，f (a )＝m (1＋1a －1)，f (b )＝m (1＋1b －1)．∵a >b >1，∴a －1>b －1>0，∴1＋1a －1<1＋1b －1．①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1b －1)，即f (a )<f (b )；②当m ＝0时，f (a )＝f (b )；③当m <0时，m (1＋1a －1)>m (1＋1b －1)，即f (a )>f (b )．综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．题七： 3≤a ≤4．详解:令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ＝－t 2＋t ＋a ＝－(t －12)2＋a ＋14，当t ＝12时，f (x )有最大值a ＋14，当t ＝－1时，f (x )有最小值a －2．故函数f (x )(x ∈R)的值域为[a －2，a ＋14]，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤174a －2≥1，解得3≤a ≤4．题八： (1)a ＝2，b ＝－5；(2) g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z ；g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z ．详解: (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6．∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5．(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6 <2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z ．∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z ．题九： y mi n =－1；y max =0．详解:∵2(21log x )2+9(21log x )+9≤0∴(221log x +3)(21log x +3)≤0．∴－3≤21log x ≤－23． 即21log (21)－3≤21log x ≤21log (21)23-∴(21)23-≤x ≤(21)－3,∴22≤x ≤8即M ={x |x ∈［22,8］}又f (x )=(log 2x －1)(log 2x －3)=log 22x －4log 2x +3=(log 2x －2)2－1．∵22≤x ≤8 ∴23≤log 2x ≤3 ∴当log 2x =2，即x =4时，y mi n =－1；当log 2x =3，即x =8时，y max =0．题十： (1) ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞；(2) (－∞，－1]∪[3，＋∞)． 详解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|． 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3． ① 当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32．②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，此不等式不成立，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1f (x )≥3的解集为∅．③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≥3的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞．综上得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞．(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1. f (x )的最小值为1－a ．若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .f (x )的最小值为a －1．所以∀x ∈R，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．题十一： 证明：由(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0恒成立．①当k ＝23时，不等式变为43x －13<0，不恒成立，∴k ≠23．②当k ≠23时，对应抛物线恒在x 轴下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧3k －2<0，4k 2－k －k －⇒k <12．由(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0恒成立，并有k 2≠112．∴对应抛物线恒在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2－112>0，k 2－k 2－112⇒k <－13或k >13．由不等式(3k －2)x 2＋2kx ＋k －1<0恒成立或(k 2－112)x 2＋kx ＋1>0恒成立，∴k 的范围是{k |k <12}∪{k |k >13或k <－13}＝R ．∴k 为任意实数时，上述两个不等式至少有一个恒成立，命题得证．题十二： B ．详解:函数f (x )＝32x －(k ＋1)·3x ＋2是关于3x 的二次函数，记t ＝3x>0，函数转化成f (t )＝t 2－(k ＋1)t ＋2对任意的t >0，恒有f (t )>0．当Δ＝[－(k ＋1)]2－4×1×2<0，即(k ＋1)2－8<0时，条件成立， 所以－22－1<k <22－1；当Δ＝[－(k ＋1)]2－4×1×2≥0，k ≤－22－1或k ≥22－1时．由⎩⎪⎨⎪⎧k ＋12≤0，f＝2≥0解得k ≤－1，所以k ≤－22－1．综上所述，1k <，即)122,(--∞∈k ．题十三： 若a >0，则x >3a 或x <－a ；若a ＝0，则x ≠0，x ∈R ；若a <0，则x <3a 或x >－a ． 详解：原不等式可以化为：(x －3a )(x ＋a )>0， 若a >0即3a >－a ，则x >3a 或x <－a ；若a ＝0即3a ＝－a ，则x 2>0，x ≠0，x ∈R ； 若a <0即3a <－a ，则x <3a 或x >－a ．题十四： a ∈[－114，12)．详解：A ＝{x |－12≤x ≤2}，设f (x )＝x 2－ax ＋3a ，(1)当Δ＝a 2－4·3a <0，即0<a <12时，B ＝Ø，满足B ⊆A ；(2)当Δ＝a 2－12a ≥0，要使B ⊆A ，则f (x )＝x 2－ax ＋3a 的图象满足下图所示，即⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a 2≤2Δ＝a 2－12a ≥0f－12f，解得－114≤a ≤0，综上可得a ∈[－114，12)．题十五： C ．详解：∵不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是(－12，2)，∴方程ax 2－bx ＋c ＝0的根是－12，2，且a <0．由韦达定理，得b a ＝32>0，ca＝－1<0．∵a <0，∴b <0，c >0．又当x ＝1时，不等式成立，即得a －b ＋c >0．题十六： 证明：∵x 1、x 2是方程f (x )－x ＝0的两根，∴f (x )－x ＝a (x －x 1)(x －x 2)．∵x ∈(0，x 1)， ∴x －x 1<0，x －x 2<0，∵a >0，∴f (x )－x >0，即f (x )>x ．f (x )－x 1＝f (x )－x ＋x －x 1＝a (x －x 1)(x －x 2)＋(x －x 1)＝(x －x 1)(ax －ax 2＋1)．∵0<x 2<1a，∴ax 2<1，1－ax 2>0，ax >0，∴ax －ax 2＋1>0，x －x 1<0，∴(x －x 1)(ax －ax 2＋1)<0，f (x )－x 1<0，f (x )<x 1，综上所述：x <f (x )<x 1．。
2015届高考理科数学一轮第五章数列复习题(带答案)
2015届高考理科数学一轮第五章数列复习题（带答案）第1课时数列的概念与简单的表示方法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．对应学生用书P80]【梳理自测】一、数列的有关概念1．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是()A．an＝4n－7B．an＝(－1)n(4n＋1)C．an＝(－1)n(4n－1)D．an＝(－1)n＋1(4n－1)2．已知数列{an}的通项公式为an＝nn＋1，则这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列3．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()A．30B．31C．32D．33答案：1.C2.A3.B◆以上题目主要考查了以下内容：(1)数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．(2)数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.(3)数列的表示法①列举法：a1，a2，a3，…，an，…；②图象法：数列可用一群孤立的点表示；③解析法(公式法)：通项公式或递推公式．(4)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．二、Sn与an的关系1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．642．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1，2，3，…)，则通项公式an＝________．答案：1.A2.2n－11◆以上题目主要考查了以下内容：若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.【指点迷津】1．一种特殊性数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．数列的图象是一群孤立的点．2．与集合的两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．对应学生用书P81]考向一由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，…；(5)0，1，0，1，….【审题视点】观察数列中每项的共同特征及随项数变化规律，写通项公式．【典例精讲】(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n•2n－32n.(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.(5)an＝0（n为奇数）1（n为偶数）或an＝1＋（－1）n2或an＝1＋cosnπ2.【类题通法】1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征．2．观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决．3．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式所得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)2，0，2，0，…；(2)12，34，78，1516，…；(3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(4)7，77，777，7777，….解析：(1)an＝2（n为奇数），0（n为偶数）.(2)an＝2n－12n.(3)an＝(－1)n1n（n＋1）.(4)an＝79×(10n－1)．考向二由Sn求an(2014•湖南省高三检测)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x•y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为()A．2n－1B．nC．2n－1D．(32)n－1【审题视点】利用函数单调性把f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)转化为Sn与an的关系，利用Sn－Sn－1＝an，求an.【典例精讲】由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为32的等比数列，∴an＝(32)n－1.【答案】D【类题通法】已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an，推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1（n＝1），Sn－Sn－1（n≥2）.。
2015一轮复习数学第六章第七节课后限时自测
课后限时自测A组基础训练一、选择题1．(2013·德州模拟)用数学归纳法证明等式(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)，从n＝k到n＝k ＋1左端需增乘的代数式为( )A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1【解析】n＝k时，左＝(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)，n＝k＋1时，左＝(k＋2)·(k＋3)·…·(k＋k)(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，故需增乘1k＋1·(2k＋1)(2k＋2)＝2(2k＋1)．【答案】 B2．对等式“1＋2＋3＋…＋n＝n·（n＋1）2(n∈N*)”，某同学证明过程如下：①当n＝1时，1＝1×（1＋1）2，等式显然成立；②假设n＝k，(k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋…＋k＝k（k＋1）2.由等差数列前n项和公式知1＋2＋3＋…＋(k＋1)＝（k＋1）（k＋2）2.这说明n＝k＋1时命题也成立．则上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1推理不正确【解析】用数学归纳法证题的关键在于由n＝k成立推出n＝k＋1时也成立，来体现众多命题间的传递性，而此题中n＝k＋1成立是直接用公式推导的，而不是由归纳假设推导n＝k＋1成立．【答案】 D3．某个命题与正整数n有关，如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时命题也成立．现已知当n＝7时该命题不成立，那么可推得( ) A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝8时该命题不成立D．当n＝8时该命题成立【解析】由互为逆否命题的两个命题知，n＝7不成立，可知n＝6也不成立．【答案】 A4．凸n多边形有f(n)条对角线．则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2【解析】f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1，故选C.【答案】 C5．用数学归纳法证明3(2＋7k)能被9整除，证明n＝k＋1时，应将3(2＋7k＋1)配凑成( )A．6＋21·7k B．3(2＋7k)＋21C．3(2＋7k) D．21(2＋7k)－36【解析】要配凑出归纳假设，故3(2＋7k＋1)＝3(2＋7×7k)＝6＋21×7k＝21(2＋7k)－36.【答案】 D二、填空题6．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________．【解析】由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.【答案】π7．已知数列{an }满足a1＝1，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，通过计算a1，a2，a3，a4，可猜想an＝________．【解析】∵a1＝1，∴a2＝12a1＋1＝32，a 3＝12a2＋1＝74，a4＝12a3＋1＝158.猜想an ＝2n－12n－1.【答案】2n－1 2n－18．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n表示)．【解析】f(3)＝2，f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，f(n)＝f(3)＋3＋4＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝12(n＋1)(n－2)．【答案】 5 12(n＋1)(n－2)三、解答题9．用数学归纳法证明下面的等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·n（n＋1）2.【证明】(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×（1＋1）2＝1，∴原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·k（k＋1）2.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·k（k＋1）2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·k＋12[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k·（k＋1）（k＋2）2，∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·n（n＋1）2.10．(2012·安徽高考)数列{xn }满足x1＝0，xn＋1＝－x2n＋xn＋c(n∈N*)．(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0；(2)求c的取值范围，使{xn}是递增数列．【解】 (1)证明：先证充分性，若c<0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c<x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1可得c<0.(2)(ⅰ)假设{x n }是递增数列．由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c. 由x 1<x 2<x 3，得0<c<1.由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，① 注意到c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，②由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c .由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③反复运用③式，得 c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1，x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )n 的性质，得2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.(ⅱ)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列， 即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c>0， 即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．(ⅰ)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立． (ⅱ)假设当n ＝k(k∈N *)时结论成立，即x k <c .因为函数f(x)＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f(x k )<f(c )＝c ，也就是说当n ＝k ＋1时，结论仍成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c>x n ，即{x n }是递增数列．由(ⅰ)(ⅱ)知，使得数列{x n }单调递增的c 的取值范围是(0，14]．B 组 能力提升1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c【解析】 ∵等式对一切n∈N *成立， ∴n ＝1，2，3时等式成立，即 ⎩⎪⎨⎪⎧1＝3（a －b ）＋c ，1＋2×3＝32（2a －b ）＋c ，1＋2×3＋3×32＝33（3a －b ）＋c ， 解得a ＝12，b ＝c ＝14.【答案】 A2．用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2（2n －1）（2n ＋1）＝n （n ＋1）2（2n ＋1）；推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上述归纳假设后需要证明的等式是________．【答案】121×3＋223×5＋…＋k 2（2k －1）（2k ＋1）＋（k ＋1）2（2k ＋1）（2k ＋3）＝（k ＋1）（k ＋2）2（2k ＋3）3．(2012·全国大纲卷)函数f(x)＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n＋1是过两点P(4，5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤xn<xn＋1＜3；(2)求数列{xn}的通项公式．【解】(1)用数学归纳法证明：2≤xn<xn＋1<3.①当n＝1时，x1＝2，直线PQ1的方程为y－5＝f（2）－52－4(x－4)，令y＝0，解得x2＝114，所以2≤x1<x2<3.②假设当n＝k时，结论成立，即2≤xk<xk＋1<3.直线PQk＋1的方程为y－5＝f（x k＋1）－5x k＋1－4(x－4)，令y＝0，解得xk＋2＝3＋4x k＋12＋x k＋1.由归纳假设知xk＋2＝3＋4x k＋12＋x k＋1＝4－52＋x k＋1<4－52＋3＝3；xk＋2－xk＋1＝（3－x k＋1）（1＋x k＋1）2＋x k＋1>0，即xk＋1<xk＋2.所以2≤xk＋1<xk＋2<3，即当n＝k＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n，2≤xn<xn＋1<3.(2)由(1)及题意得xn＋1＝3＋4x n2＋x n.设bn＝xn－3，则1b n＋1＝5b n＋1，1b n＋1＋14＝5⎝⎛⎭⎪⎪⎫1b n＋14，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列． 因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第5章 数列 第3节
[课堂练通考点]1．(2014·日照一模)已知等比数列{a n }的公比为正数，且公比a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( )A ．3B ．－3C ．－13D.13解析：选D {a n }是公比为正数的等比数列，设公比为q ， 则a 2·a 6＝a 24，∴a 24＝9a 4，∴a 4＝9.∴q 2＝a 4a 2＝9. ∴q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝13.2．(2013·全国大纲卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：选C 由3a n ＋1＋a n ＝0得a n ＋1＝－13a n ，所以{a n }为等比数列，公比为－13，由a 2＝－43得a 1＝4，所以由等比数列前n 项和公式得S 10＝3(1－3－10)．3．(2014·扬州中学期中)设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝________.解析：设等比数列{a n }公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4， 得q 2＝a 3a 1＝4，又{a n }的各项均为正数，∴q ＝2.而S k ＝1－2k1－2＝63，∴2k －1＝63，解得k ＝6.答案：64．(2013·皖南八校第三次联考)已知数列{a n }是等比数列，a 1，a 2，a 3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a 1，a 2，a 3中任何两个都不在同一列，则a n ＝________(n ∈N *).解析：123n 2，公比为3的等比数列，∴a n ＝2·3n －1.答案：2·3n －15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋2(4n －1)3＝22n ＋1＋13.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3 ＝ a 2＋10a 1 ，a 5＝9，则a 1＝( )A.13B ．－13C.19D ．－19解析：选C 由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C.2．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…3．(2013·郑州质量预测)在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A 依题意得，数列{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18，则62＝18(3＋k )，由此解得k ＝－1，选A.4．(2013·江西省七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50解析：选A 依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80.S 40＝150.选A.5．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同 解析：选D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列．且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，得a n q 2＋a n q －2a n ＝0，显然a n ≠0，所以q 2＋q －2＝0.又q ≠1，解得q ＝－2.又a 1＝1，所以S 5＝1×[1－(－2)5]1－(－2)＝11.答案：117．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n＝________.解析：当n ＝1时，由已知S n ＝23a n ＋13，得a 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，由已知得到S n －1＝23a n －1＋13，所以a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫23a n ＋13－⎝⎛⎭⎫23a n －1＋13＝23a n －23a n －1, 所以a n ＝－2a n －1，所以数列{a n }为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －18．数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋ma m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋ma m ＝a n ，∴a n ＋m ＝a n ·a m ，∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8； 令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－29．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1， 公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1， 由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)， 得b n ＋1－b n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝⎛⎭⎫43n －11－43＝3·⎝⎛⎭⎫43n －1－1(n ≥2)， 当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝⎛⎭⎫43n －1－1. 10．(2013·东北三校联考)已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4， 解得q ＝－3或q ＝2， ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n ＋1b n ＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝(2－λ)1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)，∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1. 第Ⅱ组：重点选做题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16解析：选Da 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1， 得a 1·1－q 41－q ＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 1(1－q n )1－q＝15，∴q n ＝16， 又∵q 4＝2， ∴n ＝16.故选D.2．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是________．解析：由条件得：f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，即a n ＋1＝a n ·12，所以数列{a n }是首项与公比均为12的等比数列，求和得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ，所以12≤S n<1. 答案：⎣⎡⎭⎫12，1。
2015一轮复习数学第七章第四节课后限时自测
课后限时自测A组基础训练一、选择题1．(2013·宿州模拟)已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中的真命题是( )A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n【解析】对于选项A，由于α⊥β，故存在lα，使l⊥β，又n⊥β，故l∥n，又∵m⊥α，lα，故m⊥l，所以m⊥n，A正确．【答案】 A2．(2013·合肥一模)已知两条直线m，n，两个平面α，β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥αn⊥α；②α∥β，mα，nβm∥n；③m∥n，m∥αn∥α；④α∥β，m∥n，m⊥αn⊥β.其中正确命题的序号是( )A．①③B．②④C．①④D．②③【解析】对于②，m，n可以异面，故不正确；对于③，n可在α内，故也不正确．【答案】 C图7－4－113．如图7－4－11，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【解析】因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．【答案】 D4．(2013·河北衡水中学六模)如图7－4－12，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为H ，则以下命题中，错误的命题是( )图7－4－12A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直于平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°【解析】 连接AC 1，∵BD⊥面AA 1C 1C ，故AC 1⊥BD ；同理AC 1⊥A 1B ，故AC 1⊥面A 1BD ；同理AC 1⊥面CB 1D 1，故AC 1与AH 重合．又AB ＝AA 1＝AD ，A 1B ＝BD ＝A 1D ，故H 为△A 1BD 的重心．【答案】 D5．(2013·上饶模拟)如图7－4－13所示，图7－4－13正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段AC 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝33.给出下列四个结论： ①CE ⊥BD ；②三棱锥E —BCF 的体积为定值；③△BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形； ④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线． 其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 ∵面AC 1⊥BD ，∴CE⊥BD ，故①正确，又V E —BCF ＝V B —CEF ＝13S △CEF ·h ，而S △CEF 为定值，且点B 到平面ACC 1的距离也确定，故②也正确；设E ，F 在底面内的射影为E′，F′，且由于面ACC 1A 1⊥面ABCD ，故E′，F′∈AC ，又EF 为定值，故E′F′的长为定值，故S △BE ′F ′为定值，又面DEA 1与平面ABCD 有公共点D ，没有公共直线l ，则平面ABCD ，平面DEA 1中必存在无数条直线都与l 平行，故③，④也正确．【答案】 D 二、填空题 6．(2013·广州模拟)已知平面α，β，γ，直线l ，m 满足：α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.可由上述条件推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．【解析】 由面面垂直的性质知l⊥α，又l β，∴α⊥β. 【答案】 ②④7．(2013·南京模拟)已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件： ①存在一条直线a ，a⊥α，a⊥β； ②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β； ③存在两条平行直线a ，b ，aα，bβ，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a ，b ，a α，b β，a∥β，b∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为________．(填上所有符合要求的序号)【解析】 对于①显然成立；对于②当平面α，β相交时，也存在平面γ，故②不成立；对于③如果a ，b 平行，也可以推出α，β相交，对于④可以将a ，b 平移平面γ，由面面平行的判定知α∥γ，β∥γ，所以α∥β.【答案】 ①④8．如图7－4－14，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD 内过点D 作DK⊥AB，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．图7－4－14【解析】 如图，过D 作DG⊥AF ，垂足为G ，连接GK ， ∵平面ABD⊥平面ABC ，又DK⊥AB ，∴DK⊥平面ABC ， ∴DK ⊥AF.∴AF ⊥平面DKG ，∴AF⊥GK.容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．∴t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1三、解答题9．(2013·江苏高考)图7－4－15如图7－4－15，在三棱锥S —ABC 中，平面SAB⊥平面SBC ，AB⊥BC，AS ＝AB.过A 作AF⊥SB，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC ； (2)BC⊥SA.【证明】 (1)因为AS ＝AB ，AF⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点． 又因为E 是SA 的中点， 所以EF∥AB.因为EF 平面ABC ，AB 平面ABC ，所以EF∥平面ABC. 同理EG∥平面ABC.又EF∩EG ＝E ， 所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF 平面SAB ，AF⊥SB ，所以AF⊥平面SBC.因为BC平面SBC ，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC ，AF∩AB ＝A ，AF 平面SAB ，AB平面SAB ，所以BC⊥平面SAB.因为SA 平面SAB ，所以BC⊥SA. 10．(2013·湖南高考)如图7－4－16，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，图7－4－16AB ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动． (1)证明：AD⊥C 1E ；(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积． 【证明】 (1)因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ， 而AD 平面ABC ，所以AD⊥BB 1.② 由①②，得AD⊥平面BB 1C 1C.由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E 平面BB 1C 1C ， 所以AD⊥C 1E. (2)因为AC∥A 1C 1，所以∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角．由题意知∠A 1C 1E ＝60°.因为∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°，所以A 1C 1⊥A 1B 1. 又AA 1⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1.于是A 1C 1⊥A 1E.故C 1E ＝A 1C 1cos 60°＝22.又B1C1＝A1C21＋A1B21＝2，所以B1E＝C1E2－B1C21＝2.从而V三棱锥C1－A1B1E＝13S△A1B1E·A1C1＝13×12×2×2×2＝23.B组能力提升1．如图7－4－17，在正四面体A－BCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P 在线段AM上运动(P不与A，M重合)，过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD 交于点Q，给出下列命题：图7－4－17①BC⊥平面AMD；②Q点一定在直线DM上；③VC－AMD＝42.其中正确命题的序号是( )A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解析】在正四面体A－BCD中，M是BC的中点，所以BC⊥AM，BC⊥MD，又AM∩MD＝M，从而BC⊥平面AMD，①正确；由BC⊥平面AMD且BC平面ABC，可得平面AMD⊥平面ABC，过P作直线l⊥平面ABC，由面面垂直的性质定理知l 平面AMD，又因l与平面BCD交于点Q，则Q点一定在平面AMD与平面BCD的交线DM上，②正确；VC－AMD ＝12VC－ABD＝823≠42，③不正确．故选A.【答案】 A图7－4－182．如图7－4－18所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．【解析】连接AC，由ABCD为菱形知A C⊥BD，又PA⊥BD，故BD⊥面PAC，故BD⊥PC.故只需PC垂直于平面BDM内的与BD相交的另外一条直线即可．可填DM⊥PC 或BM⊥PC.【答案】 DM⊥PC 或BM⊥PC3．如图7－4－19所示，在梯形ABCD 中，AB∥CD，E 、F 是线段AB 上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG ； (2)求多面体CDEFG 的体积．图7－4－19【解】 (1)因为DE⊥EF ，CF⊥EF ，所以四边形CDEF 为矩形． 由GD ＝5，DE ＝4，得GE ＝GD 2－DE 2＝3.由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5. 在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2， 所以EG⊥GF.又因为CF⊥EF ，CF⊥FG ，所以CF⊥平面EFG. 所以CF⊥EG ，所以EG⊥平面CFG.又EG 平面DEG ，所以平面DEG⊥平面CFG.(2)如图，在平面EGF 中，过点G 作GH⊥EF 于点H ，则GH ＝EG·GF EF ＝125.因为平面CDEF⊥平面EFG ，所以GH⊥平面CDEF ， 所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16.。
2015届高三一轮文科数学《优题自主测验》21.pptx
A．600 天 B．800 天 C．1 000 天
D．1 200 天
解析
设一共使用了
n
天，则使用
n
32 天的平均耗资为
000＋ 5＋1n02＋4.9n
n
＝
32 n000＋2n0＋4.95，
当且仅当32 n000＝2n0时，取得最小值，此时 n＝800.本题的函数模型是一个在生
活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器
学海无涯Βιβλιοθήκη 一．单项选择题。（本部分共5道选择题）
1. 设 l 是直线，a，β是两个不同的平面（ ） A. 若 l ∥a， l ∥β， 则 a∥β B. 若 l ∥a， l ⊥β， 则 a⊥β C. 若 a⊥β， l ⊥a， 则 l ⊥β D. 若 a⊥β, l ∥a， 则 l ⊥β
答案B
2．将两个顶点在抛物线 y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角 形个数记为n，则( )． A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3
还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去．
答案B
5．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋ (a＋6)x＋1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值
范围是( )．
A．(－1,2) C．(
－ 3,6)
B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞ ，－1)∪(2，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，
由上边图象可知：
当－1≤k＜0 时，方程没有实数根； 当 k＝0 或 k＜－1 或 k≥1 时，方程只有一个实数根； 当 0＜k＜1 时，方程有两个不相等的实数根．
【点评】 数形结合思想是高考必考内容，它对于解答选择、填空题即形象、又 快捷，对于解答题，图象有利于分析、解决问题，但适当的题步骤还是必须的.
2015一轮复习数学第五章第三节课后限时自测
课后限时自测(见学生用书第277页)A组基础训练一、选择题1．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an }的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B．2 C．4 D．8【解析】∵a3·a11＝16，∴a27＝16.又∵an >0，∴a7＝4.a5＝a7·q－2＝4×2－2＝1.故选A.【答案】 A2．设Sn 为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝( )A．11 B．5 C．－8 D．－11【解析】由8a2＋a5＝0，得a5a2＝－8，即q3＝－8，q＝－2.∴S5S2＝a1（1－q5）1－qa1（1－q2）1－q＝1－q51－q2＝33－3＝－11.【答案】 D3．已知实数－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz＝( )A．－4 B．±4C．－22D．±22【解析】由题意得y2＝xz＝(－1)(－2)＝2，又y<0，则y＝－2，所以xyz＝－22.【答案】 C4．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第9行中的第4A．132 B．255 C．259 D．260【解析】由数表知表中各行数的个数构成一个以1为首项，公比为2的等比数列．前8行数的个数共有1－281－2＝255(个)，故第9行中的第4个数是259.【答案】 C5．已知数列{an }的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2＝( )A．4 B．2 C．1 D．－2【解析】当n≥2时，Sn－1＝2(an－1－1)，∴an ＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.又a1＝S1＝2(a1－1)，a1＝2，∴a2＝2a1＝4.【答案】 A 二、填空题6．等比数列{an }的公比q＝12，a8＝1，则S8＝________．【解析】由a8＝1，q＝12得a1＝27，∴S8＝a1（1－q8）1－q＝27⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1281－12＝28－1＝255.【答案】2557．已知等比数列{an }的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值是________．【解析】a1＝S1＝t·5－1－15＝t－15；当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝t·5n－2－t·5n－3＝4t·5n－3.由{an }是等比数列，得a1也适合上式，∴t－15＝4t·51－3，∴t＝5.【答案】 58．已知数列{xn }满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg (x101＋x102＋x103＋…＋x200)＝________．【解析】由lg xn＋1＝1＋lg xn，得xn＋1＝10xn.∴x n＋1x n＝10，∴数列{xn}是以10为公比的等比数列．又x101＋x102＋x103＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100.则lg (x101＋x102＋x103＋…＋x200)＝lg 10100＝100.【答案】100 三、解答题9．(2013·湖南高考)设Sn 为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．【解】(1)令n＝1，得2a1－a1＝a21，即a1＝a21.因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.当n≥2时，由2an －1＝Sn，2an－1－1＝Sn－1两式相减，得2an －2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，an ＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan ＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②，得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.10．(2013·陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．【解】(1)设{an }的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn ＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn ＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qSn ＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)Sn ＝a1－a1q n，∴Sn ＝a1（1－q n）1－q，∴Sn＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q＝1，a1（1－q n）1－q，q≠1.(2)证明：假设{an ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N＋，(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，a2 k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，a2 1q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．B 组 能力提升1．公比为32的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 16等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【解析】 由a 3a 11＝16，得a 27＝16，∴a 7＝±4，又a n ＞0，则a 7＝4.∴a 16＝a 7q16－7＝4×(32)9＝32.∴log 2a 16＝log 232＝5. 【答案】 B2．(2013·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________．【解析】 设等比数例{a n }的首项为a 1，公比为q ，则： 由a 2＋a 4＝20得a 1q(1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2 2n ＋1－23．(2013·湖北高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有Sn ＝3[1－（－2）n]1－（－2）＝1－(－2)n.假设存在n，使得Sn≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，即2n≥2 012，即n≥11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．。
2015高三数学一轮复习第五章第五节
课 后 限 时 自 测
菜
单
高三一轮总复习数学 ·BS（理科）
自 主 落 实. 固 基 础
规律方法2
解决数列在实际应用中的问题的关键
自 主 落 实. 固 基 础
3 ＋2 ＋„＋4 －n (2)Tn＝b1b2„bn＝2 ·n＝2 2
－n 2＋7n 2 ，若
－n 2＋7n Tn 最大，则 f(n)＝ 最大，当 n＝3 或 4 时，f(3) 2 ＝f(4)＝6 最大，故 Tn 有最大项，最大值为 T3＝T4＝64.
高 考 体 验 . 明 考 情
高三一轮总复习数学 ·BS（理科）
自 主 落 实. 固 基 础
第五节
数列的综合应用
考纲传真
1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等
高 考 体 验 . 明 考 情
式、解析几何等知识解决一些数列综合题.2.能在实际情形中
运用数列知识解决实际问题．
典 例 探 究 . 提 知 能 课 后 限 时 自 测
菜
单
高 考 体 验 . 明 考 情
典 例 探 究 . 提 知 能
课 后 限 时 自 测
菜
单
高三一轮总复习数学 ·BS（理科）
自 主 落 实. 固 基 础
2．(北师大版教材改编题)已知正项等比数列{an}满 足 log2a1＋log2a2＋„＋log2a2 009＝2 009， 则 log2(a1＋a2 009) 的最小值为( ) A．1 C．2 3 B. 2 D．log22 009
高 考 体 验 . 明 考 情
典 例 探 究 . 提 知 能
在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份是( A．5 月、6 月 B．6 月、7 月 C．7 月、8 月 D．8 月、9 月
2015届高三一轮文科数学《优题自主测验》14.pptx
2－|x|，2－|x|≤12
12，2－|x|＞12
⇔
f12(x)＝
12|x|，x≤－1或x≥1， 12，－1＜x＜1.
学海无涯
f12(x)的图象如上图所示，因此 f12(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
答案C
3．设{an}是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，Y，
∴m2＝3，
∴kMF ·kMF ＝－1，MF ⊥MF ，M→F·M→F＝0.
1
2
1
2
1
2
法 二 ∵M→F＝(－3－2 3，－m)，M→F ＝(2 3－3，－m)，
1
2
∴M→F ·M→F ＝(3＋2 3)(3－2 3)＋m2＝－3＋m2.
1
2
∵M 在双曲线上，∴9－m2＝6，
∴m2＝3，∴M→F ·M→F ＝0.
1
2
(3) ∵△F1MF2 中|F1F2|＝4 3，且|m|＝ 3，
∴S△F1MF2＝21·|F1F2|·|m|＝12×4 3× 3＝6.
．
答案 C
2．设函数 y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数 K，定义函数 fK(x)＝
fK，xf x，f＞Kx，≤K，
( )． A．(－∞，0) C．(－∞，－1，当 K＝12时，函数 fK(x)的单调递增区间为
B．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
学海无涯
一．单项选择题。（本部分共5道选择题）
1. a、b、c 为三条不重合的直线，α、β、γ 为三个不重合的平面，现给出四
个命题
① αβ∥∥cc⇒α∥β
② αβ∥∥γγ⇒α∥β
③ αa∥∥cc⇒a∥α
④ aα∥∥γγ⇒α∥a
2015年高中数学新课标一轮复习上册5-4
课时提升演练
一轮复习 ·新课标数学 ·理（上册）
命题趋势 1．热点预测：2014 年高考对本节内容的考查仍将以常用方 法求和为主，尤其是错位相减法．题型延续解答题的形式，分值 约为 12 分． 2．趋势分析：用基本方法对数列求和还将是 2014 年高考考 查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较 强.2014 年高考复习时应予以高度关注．
课时提升演练
一轮复习 ·新课标数学 ·理（上册）
[解析] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝31，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn －1＝33－2n，
∴an＝33－2n(n∈N*)， 即数列{an}是公差为－2，首项为 31 的等差数列， 令 an＝33－2n≥0，则 n≤16， 故当 0<n≤16 时，Tn＝Sn＝32n－n2； 而当 n≥17 时， Tn＝S16－(a17＋a18＋…＋an)＝－Sn＋2S16， 即 Tn＝－32n＋n2＋2(32×16－162) ＝n2－32n＋512，
(1)[答案] √ [解析] 根据等差数列的求和公式及运算的 合理性可知．
(2)[答案] × [解析] 若一个数列的通项公式由两个数列 的乘积组成，应该用错位相减法．
(3)[答案] × [解析] 用错位相减法求得． (4)[答案] × [解析] 需要分 a＝0，a＝1，以及 a≠1 且 a≠0 三种情况求和． (5)[答案] √ [解析] 根据周期性求和．
(2)方法：设 Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，① 则 qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，② ①－②得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就 转化为根据公式可求的和．
基础回扣·思维辨析 试题调研·考点突破 好题演练·智能提升
安徽省2015届高考数学一轮复习 5.1数列的概念与简单表示课后自测 理
安徽省2015届高考数学一轮复习 5.1数列的概念与简单表示课后自测 理(见学生用书第285页)A 组 基础训练一、选择题1．数列{a n }：1，－58，715，－924，…，的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N ＋) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋) D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋) 【解析】 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.【答案】 D2．如图5－1－1所示，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )图5－1－1A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －12C ．a n ＝n n ＋12D ．a n ＝n n ＋22【解析】 观察所给图案知，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12. 【答案】 C3．(2014·滨州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2【解析】 因为S n ＝2a n －2，所以a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2，所以S 2＝2a 2－2＝a 1＋a 2，即a 2＝a 1＋2＝4，选A.【答案】 A4．已知a 1＝1，a n ＝n(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n【解析】 ∵a n ＝n(a n ＋1－a n )，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n，∴a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n.【答案】 D5．(2014·广州模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132【解析】 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.【答案】 B 二、填空题6．(2014·天津模拟)数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n≥1且n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝________.【解析】 因为a n ＋1＝2a n ＋3，所以a n ＋1＋3＝2a n ＋3＋3＝2(a n ＋3)，即数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.【答案】 a n ＝2n ＋1－37．已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.【解析】 由a n ＋1－a n ＝2n ＋1得a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －3，…，a 3－a 2＝5， a 2－a 1＝3，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2＋3＋5＋7＋…＋(2n －3)＋(2n －1) ＝2＋n －12n ＋22＝n 2＋1.【答案】 n 2＋18．(2013·合肥高三第二次质检)数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋b n ，若对任意的n ∈N *都有a n ≥a 5，则实数b 的取值范围是________．【解析】 若b<0，则a n ＝n ＋b n为N *上的增函数，不符合题意；若b ＝0，a n ＝n 亦为N *上的增函数，不符合题意；故b>0，由a n ≥a 5可知，a 5为数列{a n }中的最小项，故⎩⎪⎨⎪⎧a 4≥a 5a 6≥a 5，解得b ∈[20,30]．【答案】 [20,30] 三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6(n ∈N *)． (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 【解】 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n>6或n<1(舍)． ∵n ∈N *，∴数列从第7项起各项都是正数．10．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，②①－②即得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n.B 组 能力提升1．将石子摆成如图5－1－2的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )…图5－1－2A ．2 018×2 012 B．2 018×2 011 C ．1 009×2 012 D．1 009×2 011【解析】 由图形规律知，a 2 012＝5＋(4＋5＋6＋…＋2 014)＝5＋1 009×2 011， ∴a 2 015－5＝1 009×2 011，故选D. 【答案】 D2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k ＜9(k ∈N *)，则a 1的值为________，k 的值为________．【解析】 当n ＝1时，a 1＝23a 1－13，∴a 1＝－1.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1－13＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2， ∴数列{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列， ∴a n ＝－(－2)n －1，S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1＜－23×(－2)k －1－13＜9得－14＜(－2)k －1＜－2，又k ∈N *，∴k ＝4. 【答案】 －1 43．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．【解】 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n≥2)， ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝1，1nn≥2.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0， ∴{c n }是递减数列．。
2015届高三一轮文科数学《优题自主测验》18.pptx
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解析 答案：C
3．过圆 x2＋y2＝1 上一点作圆的切线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，则
学海无涯
|AB|的最小值为( )
A. 2
B. 3 C．2
D．3
解析 设圆上的点为(x0，y0)，其中 x0>0，y0>0，则切线方程为 x0x＋y0y＝1.
分别令 x＝0，y＝0 得 A(x10，0)，B(0，y10)，
学海无涯
一．单项选择题。（本部分共5道选择题）
1. 若 m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，则下列命题不．正
确
的是( )
A. 若 α∥β，m⊥α，则 m⊥β
B. 若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α
C. 若 m∥α，m⊥β，则 α⊥β
D. 若 α∩β＝m，且 n 与 α、β 所成的角相等，则 m⊥n
．
学海无涯
解 析 (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝34 ，
π
π
3
又∵ 4 ＜α＜ 2 ，sin α＞cos α.∴cos α－sin α＝－ 2 .
3 答 案－ 2
2 ．已 知 数 列 {an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则
∴|AB|＝
1
x0
2＋
1
y0
11
2＝x0y0≥x20＋y
2＝2.
0
2
答案 C 4．函数 y＝3x 与 y＝－3－x的图象关于( ) A．x 轴 对 称 B．y 轴 对 称 C．直线 y＝x 对称
D．原点中心对称 解析：由 y＝－3－x 得－y ＝3－x，(x，y)可知关于原点中心对称．
走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题5
阶段性测试题五(平面向量)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知向量a＝(1，m)，向量b＝(m,2)．若a∥b，则实数m等于()A．－2 B. 2C．±2 D．0[答案] C[解析]∵a∥b，∴1×2－m2＝0，∴m＝±2.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()A．－2 B．0C．1 D．2[答案] D[解析]∵a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，a＋b与4b－2a 平行，∴3(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.2．(2014·威海期中)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则|2a－b|＝()A．2 B．4C．2 2 D．8[答案] A[解析] 由条件知|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝1， ∴|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4，∴|2a －b |＝2.3．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] ∵c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，即1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.(理)(2014·营口三中期中)已知a ＋b ＋c ＝0，且a 与c 的夹角为60°，|b |＝3|a |，则cos 〈a ，b 〉等于( )A.32B.22 C ．－12 D ．－32 [答案] D[解析] 设〈a ，b 〉＝α，∵|b |＝3|a |， ∴|b |2＝3|a |2，a ·b ＝3|a |2cos α， a ·c ＝|a |·|c |·cos60°＝12|a |·|a ＋b |. ∵a ·c ＝－(a ＋b )·a ＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－3|a |2cos α， |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b＝|a |2＋3|a |2＋23|a |2cos α＝4|a |2＋23|a |2cos α，∴－|a |2－3|a |2cos α＝12|a |·4|a |2＋23|a |2cos α，∴－3cos α－1＝124＋23cos α，∴cos α＝－32，故选D. 4．(2014·泸州市一诊)△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.13 B.23 C ．－23 D ．－13[答案] B[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， ∴λ＝23.5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝3，点P 在AD 上且满足AD →＝3AP →，则DA →·(PB→＋PC →)＝( ) A ．6 B ．－6 C ．－12 D ．12[答案] C[解析] ∵AD ＝3，AD→＝3AP →，∴|AD →|＝3，|AP →|＝1，∴|PD→|＝2， ∵D 为BC 的中点，∴DA →·(PB →＋PC →)＝DA →·2PD →＝－2·|DA →|·|PD →|＝－12.(理)(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB→＋AC →)满足( ) A ．最大值为16 B ．最小值为4 C ．为定值8 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →|·cos α，∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD→|2＝8. 6．(2014·辽宁师大附中期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1[答案] D[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴存在实数k ，使得AB→＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝kμ，∴λμ＝1，故选D.7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a －b 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] 解法1：∵a －b ＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)， ∴|a －b |2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，∴|a －b |＝1，又b ＝1，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－12， ∴cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b |a －b |·|b |＝－121×1＝－12，∴〈a －b ，b 〉＝120°.解法2：作单位圆如图，∠AOx ＝75°，∠BOx ＝15°，则OA →＝a ，OB→＝b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∴△AOB 为正三角形，∴∠ABO ＝60°，从而OB →与BA →所成的角为120°， 即b 与a －b 所成的角为120°.[点评] 数形结合解答本题显得特别简捷．8．(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知在△ABC 中，AR →＝2RB→，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝( ) A ．1 B.89 C.79 D.23[答案] C[解析] ∵AR→＝2RB →，CP →＝2PR →， ∴AR →＝23AB →，RP →＝－13CR →，∴AP →＝AR →＋RP →＝AR →－13CR →＝AR →－13(CA →＋AR →)＝23AR →＋13AC →＝49AB →＋13AC →，∴m ＋n ＝79.9．(文)(2014·营口三中期中)已知点G 是△ABC 的重心，AG →＝λAB →＋μAC →(λ、μ∈R )，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG→|的最小值是( ) A.33 B.22 C.23 D.34 [答案] C[解析] 设D 为△ABC 的边BC 的中点，AG →＝23AD →＝23·12(AB →＋AC →＝13AB →＋13AC →，∴λ＝μ＝13，∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，∴|AB →|·|AC→|＝4， ∴|AG →|2＝19(|AB →|2＋|AC →|2－4)≥19×(2|AB →|·|AC →|－4)＝49，∴|AG →|≥23. (理)(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC→＋2PD →|的最小值为( ) A ．2 B ．4 C.522 D.252[答案] C[解析] ∵AB ＝2，BC ＝1，∠BAC ＝45°，∴AB ·sin ∠BAC ＝BC ，∴AC ⊥BC ，以C 为原点直线BC 与AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则C (0,0)，B (－1,0)，A (0,1)，D (2,1)，∵P 在直线AB ：y －x ＝1上，∴设P (x 0,1＋x 0)，则PC →＋2PD →＝(－x 0，－1－x 0)＋2(2－x 0，－x 0)＝(4－3x 0，－1－3x 0)，∴|PC →＋2PD →|2＝(4－3x 0)2＋(－1－3x 0)2＝18x 20－18x 0＋17＝18(x 0－12)2＋252，∴当x 0＝12时，|PC →＋2PD →|min ＝522，故选C.10．(文)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0[答案] A[解析] 由条件知，A 1(－1,0)，F 2(2,0)，∵P 在双曲线右支上，∴P 在上半支与下半支上结论相同，设P (x 0，3x 20－3)，x 0≥1，∴P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－3x 20－3)·(2－x 0，－3x 20－3)＝(－1－x 0)(2－x 0)＋(3x 20－3)＝4x 20－x 0－5＝4(x 0－18)2－8116，∴当x 0＝1时，(P A 1→·PF 2→)min＝－2，故选A. (理)(2014·浙江省五校联考)已知A 、B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且∠AOB ＝120°，MN 是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(0<λ<1)，则CM →·CN→的取值范围是( ) A ．[－12，1) B ．[－1,1) C ．[－34，0) D ．[－1,0)[答案] C[解析] 以直线MN 为x 轴，单位圆的圆心O 为原点建立直角坐标系，则M (－1,0)，N (1,0)，∴OM →·ON→＝－1，∵OC→＝λOA →＋(1－λ)OB →，(0<λ<1)， ∴BC→＝λBA →(0<λ<1)， ∴C 在线段AB 上(不包括端点)，∵OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝120°，∴|OC →|∈[12，1)，∴CM →·CN →＝(CO →＋OM →)·(CO →＋ON →)＝|CO →|2＋CO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|CO →|2－1∈[－34，0)． 11．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)如图，平面内的两个单位向量OA →，OB →，它们的夹角是60°，OC →与OA →、OB →向量的夹角都为30°，且|OC→|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的值为( )A ．2B ．4C ．2 3D ．4 3[答案] B[解析] 以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，∵OA ＝1，OB ＝1，∠AOB ＝60°，∴OD ＝3，∵OC →与OA →、OB →的夹角都为30°，∴OD →与OC →共线，∴OC→＝2OD →＝2OA →＋2OB →，∴λ＝μ＝2，λ＋μ＝4. 12．(2014·枣庄市期中)如图，OA →，OB →分别为x 轴，y 轴非负半轴上的单位向量，点C 在x 轴上且在点A 的右侧，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、BC 上的点．若OE →与OA →＋OB →共线.DE →与OA →共线，则OD →·BC→的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] B[解析] 由条件设OE→＝λ(OA →＋OB →)，DE →＝μOA →， ∴OE→＝(λ，λ)，DE →＝(μ，0)， ∴OD →＝OE →＋ED →＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，BC →＝(x 0，－1)，x 0>1，∵BD →与BA →共线，BD →＝OD →－OB →＝(λ－μ，λ－1)，BA →＝OA →－OB →＝(1，－1)，∴λ－μ1＝λ－1－1，∴2λ－μ＝1，∵BE→与BC →共线，BE →＝OE →－OB →＝(λ，λ－1)， ∴x 0λ＝－1λ－1，∴x 0＝λ1－λ.∴OD →·BC →＝(λ－μ)x 0－λ＝(λ－μ)λ1－λ－λ＝(1－λ)·λ1－λ－λ＝0.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是________．[答案] －2[解析] ∵a 与b 的方向相反，∴存在k <0，使a ＝k b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，kx ＝1，∴x 2＝4，∵k <0，∴x ＝－2. (理)(2014·江西临川十中期中)若非零向量a ，b ，c ，满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝________.[答案] 0[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使b ＝λa ，又a ⊥c ，∴a ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·(a ＋2λa )＝(1＋2λ)a ·c ＝0.14．(文)(2014·辽宁师大附中期中)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] －17[解析] ∵λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)，由条件知(λa ＋b )·(a －2b )＝3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.(理)(2014·浙江杜桥中学期中)已知a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________．[答案] 2[解析] ∵a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝3，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λ|a |2－2|b |2＋(2λ－3)a ·b ＝3λ－6＝0，∴λ＝2.15．(文)(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a 与b 的夹角为π6，|a |＝3，|b |＝1，则|a －b |＝________；若平行四边形ABCD 满足AB→＝a ＋b ，AD→＝a －b ，则平行四边形ABCD 的面积为________． [答案] 1 3[解析] 由条件知，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝3－2×3×1×cos π6＋1＝1，|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3＋2×3×1×cos π6＋1 ＝7，∵AB →·AD→＝(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝2， ∴AB →·AD →＝|a ＋b ||a －b |cos 〈AB →，AD →〉＝7cos 〈AB →，AD →〉＝2，∴cos 〈AB →，AD →〉＝27，sin 〈AB →，AD →〉＝37， ∴S ＝|AB →||AD →|sin 〈AB →，AD →〉＝1×7×37＝ 3. (理)(2014·山西曲沃中学期中)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP→的取值范围是________． [答案] [0,1][解析] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，∵棱长为1， ∴四边形ABC 1D 1为矩形，AB ＝1，AD 1＝2，又DC→＝AB →， ∴DC →·AP →＝AB →·AP →＝|AB →|·|AP →|·cos 〈AB →，AP →〉，当P 点与D 1点重合时，|AP →|·cos 〈AB→，AP →〉取最小值0， 当P 点与B 点重合时，|AP →|·cos 〈AP→，AB →〉取最大值1，∴|AP →|·cos 〈AB→，AP →〉∈[0,1]， 又|AB →|＝1，∴DC →·AP→∈[0,1]． 16．(文)(2014·湖南省五市十校联考)点M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤3y ≤3x ≤3y 表示的平面区域Ω内的一动点，使z ＝y －2x 的值取得最小的点为A (x 0，y 0)，则OM →·OA→(O 为坐标原点)的取值范围是________．[答案] [0,6][解析] 作出可行域Ω为如图四边形OBCD 区域，作直线l 0：y －2x ＝0，平移l 0，当平移到经过点B (3，1)时，z 取最小值，∴A 为B 点，即A (3，1)，∵M 在平面区域Ω内运动，|OA→|为定值， OM →·OA →＝|OA →|·(|OM →|·cos 〈OA→，OM →〉)，∴当M 与O (或C )重合时，|OM→|cos 〈OA →，OM →〉取到最小值(或最大值)，且M 与O 重合时，OM →·OA →＝0，M 与C 重合时，OM →·OA→＝(3，3)·(3，1)＝6，∴0≤OM →·OA→≤6.(理)(2014·襄阳四中、襄阳五中联考)设点P (x ，y )为平面上以A (4,0)，B (0,4)，C (1,2)为顶点的三角形区域(包括边界)内一动点，O为原点，且OP→＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ的取值范围为________． [答案] [14，1][解析] 直线AB ：x ＋y ＝4，直线AC ：2x ＋3y －8＝0，直线BC ：2x ＋y －4＝0，∴点P 所在的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，2x ＋3y ≥8，2x ＋y ≥4.即△ABC 的内部和边界，∵OP→＝λOA →＋μOB →＝(4λ，4μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4λ，y ＝4μ.∴λ＋μ＝14(x ＋y )． 作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0，可知当平移到经过点C (1,2)时，x ＋y 取最小值3，与直线AB 重合时，x ＋y 取最大值4，从而3≤x ＋y ≤4，∴14≤λ＋μ≤1.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a ＋b )·(a －b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值[解析] (1)由条件知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝12，|a |＝1，∴|b |＝22，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12， ∴|a －b |＝22，∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52， ∴|a ＋b |＝102，设a －b ，a ＋b 的夹角为α，则cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. 18．(本小题满分12分)(文)(2014·江西临川十中期中)已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；(2)若t 1＝a 2，当OM→⊥AB →且△ABM 的面积为12时，求a 的值． [解析] (1)证明：∵当t 1＝1时，AM →＝OM →－OA →＝t 2AB →， ∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．(2)当t 1＝a 2时，OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又∵AB →＝(4,4)，OM →⊥AB →，∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14a 2.∴OM→＝(－a 2，a 2)． 又∵|AB→|＝42， 点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|·S △ABM ＝12，∴12|AB →|·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.(理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．(1)求∠OCM 的余弦值；(2)是否存在实数λ，使(OA→－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM→＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)，∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO→||CM →|＝714. (2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP→＝(λt ，3λ)， OA→－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)， 若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM→＝0， 即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32，则λ不存在，若t ≠32，则λ＝122t －3， ∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[127，＋∞)．19．(本小题满分12分)(文)(2014·浙江台州中学期中)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B .(1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(a ＋c ，b )，n ＝(b ＋a ，c －a )，若m ∥n ，求∠A .[解析] (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin C ，sin(B ＋C )＝sin A ， ∴sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ∥n ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b ＋a )＝0，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝－12. ∵0<C <π，∴C ＝2π3，又△ABC 为等腰三角形，∴∠A ＝π6.(理)(2014·哈六中期中)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)求a ＋c b 的取值范围．[解析] (1)∵m ∥n ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即2sin A cos B ＝sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由正弦定理得a ＋c b ＝sin A ＋sin C sin B ＝233(sin A ＋sin C )，∵C ＋A ＝2π3，∴sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ，∴a ＋c b ＝2sin(A ＋π6)，∵A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴a ＋c b ∈(1,2]．20．(本小题满分12分)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，向量n ＝(2－sin A ，cos A )，|m ＋n |＝2.(1)求角A 的大小； (2)若b ＝42，且c ＝2a ，求△ABC 的面积．[解析] (1)∵|m ＋n |2＝(cos A ＋2－sin A )2＋(sin A ＋cos A )2＝4＋22(cos A －sin A )＝4＋4cos(π4＋A )，∴4＋4cos(π4＋4)＝4，∴cos(π4＋A )＝0，∵A ∈(0，π)，∴π4＋A ＝π2，∴A ＝π4.(2)由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(42)2＋(2a )2－2×42×2a cos π4， ∴a 2－82a ＋32＝0，解得a ＝42，∴c ＝8，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×42×8×22＝16.21．(本小题满分12分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知△ABC三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－sin C 2)，且m 与n 的夹角为π3.(1)求角C 的值；(2)已知c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求a ＋b 的值．[解析] (1)∵|m |＝|n |＝1，∴m ·n ＝|m |·|n |·cos π3＝12，又m ·n ＝cos C 2cos C 2＋sin C 2(－sin C 2)＝cos C ， ∴cos C ＝12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝9，①由S △ABC ＝12ab sin C ＝433，得ab ＝163，②由①②得(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝9＋3ab ＝25，∵a ，b ∈R ＋，∴a ＋b ＝5.(理)(2014·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状． [解析] (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2)＝3， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵|AC→|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin(B ＋π6)＝32.∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．22．(本小题满分14分)(文)(2014·河南淇县一中模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的两点A ，B .(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值； (2)如果OA →·OB→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． [解析] (1)由题意知抛物线焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1， 代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)证明：∵直线l 与抛物线交于不同两点，∴直线l 与x 轴不平行，故可设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x 中，消去x 得，y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2，∴直线l 过定点(2,0)．(理)(2014·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝m 2＋m ·n －2.(1)求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，角B 为锐角，且f (B )＝1，求1tan A ＋1tan C 的值．[解析] (1)f (x )＝m 2＋m ·n －2＝(m ＋n )·m －2 ＝(sin x ＋3cos x ，－32)·(sin x ，－1)－2＝sin 2x ＋3sin x cos x －12＝1－cos2x 2＋32sin2x －12 ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)．故f (x )max ＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π3，k ∈Z .所以取得最大值时x 的集合为{x |x ＝k π＋π3，k ∈Z }．(2)∵f (B )＝1，∴sin(2B －π6)＝1，又∵0＜B ＜π2，∴－π6<2B －π6<56π.∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3.∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴sin 2B ＝sin A sin C . ∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝1sin B ＝132＝233.。
安徽省2015届高考数学一轮复习 2.13定积分与微积分基本定理课后自测 理
安徽省2015届高考数学一轮复习 2.13定积分与微积分基本定理课后自测 理(见学生用书第255页)A 组 基础训练一、选择题1．(2014·济南模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.结合图形知(图略)所求封闭图形的面积为 ⎠⎛01(x 2－x 3)dx ＝(13x 3－14x 4)⎪⎪⎪10＝112，故选A. 【答案】 A图2－13－32．(2014·烟台模拟)如图2－13－3，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x>0)图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为( )A ．ln 2B ．1－ln 2C ．2－ln 2D ．1＋ln 2【解析】 由题意知A(1,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则阴影部分E 的面积S ＝12×2＋错误!错误!dx ＝1＋ln x ⎪⎪⎪⎪112＝1＋ln 2，故选D.【答案】 D3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g 【解析】 由题意知，电视塔高h ＝⎠⎛12gtdt ＝12gt 2⎪⎪⎪21＝32g ，故选C. 【答案】 C4．(2014·长春一模)设a ＝⎠⎛01x －13dx ，b ＝1－⎠⎛01x 12dx ，c ＝⎠⎛01x 3dx ，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a 【解析】 a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪1＝32，b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪1＝13， c ＝⎠⎛01x 3dx ＝14x 4⎪⎪⎪1＝14，因此a>b>c ，故选A. 【答案】 A图2－13－45．图2－13－4中阴影部分的面积是( ) A ．16 B ．18 C ．20 D ．22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝4，则阴影部分的面积为S ＝2⎠⎛022xdx ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)dx＝423x 32⎪⎪⎪20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32－12x 2＋4x ⎪⎪⎪82＝163＋383＝18.【答案】 B 二、填空题6．(2014·泰安模拟)⎠⎛02(2x －e x)dx ＝________.【解析】 ⎠⎛02(2x －e x)dx ＝(x 2－e x)⎪⎪⎪20＝4－e 2＋1＝5－e 2.【答案】 5－e 27．已知t>0，若⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝________.【解析】 由⎠⎛0t (2x －2)dx ＝8得，(x 2－2x)⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．【答案】 48．(2013·宣城高三第一学期期末调研)直线y ＝2x ＋4与抛物线y ＝x 2＋1所围成的封闭图形的面积是________．【解析】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝x 2＋1，得交点坐标为(－1,2)，(3,10)，在区间[－1,3]上，直线在抛物线的上方，因此所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛3－1(2x ＋4－x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3x －x 33⎪⎪⎪3－1＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝323.【答案】323三、解答题9．求在[0,2π]上，由x 轴及正弦曲线y ＝sin x 围成的图形的面积． 【解】 所求面积S ＝∫π0sin xdx －∫2ππsin xdx＝(－cos x)⎪⎪⎪π－(－cos x)⎪⎪⎪2ππ＝4.10．汽车以54 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度－3 m/s 2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多远？【解】 由题意，得v 0＝54 km/h ＝15 m/s. 所以v(t)＝v 0＋at ＝15－3t.令v(t)＝0，得15－3t ＝0.解得t ＝5. 所以开始刹车5 s 后，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为 s ＝⎠⎛05v(t)dt ＝⎠⎛05(15－3t)dt＝⎝⎛⎭⎪⎫15t－32t 2⎪⎪⎪50＝37.5(m)．故汽车走了37.5 m.B 组 能力提升1．(2013·哈尔滨一模)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－2≤x<0，2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.52B ．2C ．3D ．4【解析】 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π202cos xdx ＝2＋2sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝4.故选D.【答案】 D2．若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －4，x ＞0，2x ＋∫π60cos 3tdt ，x ≤0，则f(2 014)＝________.【解析】 当x ＞0时，f(x)＝f(x －4)， 则f(x ＋4)＝f(x)，∴f(2 014)＝f(2)＝f(－2)，又∵∫π60cos 3tdt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13sin 3t ⎪⎪⎪⎪π6＝13， ∴f(2 014)＝f(－2)＝2－2＋13＝712.【答案】712图2－13－53．如图2－13－5所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．【解】 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝(x 22－13x 3)⎪⎪⎪1＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx)dx ＝(1－k 2x 2－13x 3)⎪⎪⎪1－k＝16(1－k)3.又知S ＝16，所以(1－k)3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342.。
安徽省高考数学一轮复习 5.5数列的综合应用课后自测 理
安徽省2015届高考数学一轮复习 5.5数列的综合应用课后自测理(见学生用书第293页)A 组 基础训练一、选择题1．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4 C ．2 D.12【解析】 设数列{a n }的公差为d(d≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋6d)，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.【答案】 C2．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2【解析】 设等比数列的公比为q ，由题意知a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍去)． ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝7＋a 82a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋22，故选C.【答案】 C3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n≥1，n ∈N *)，第k 项满足750＜a k ＜900，则k 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】 由a n ＋1＝3S n 及a n ＝3S n －1(n≥2)， 得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n (n≥2)， 又a 2＝3S 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13×4n －2＝，，又750＜a k ＜900，验证得k ＝6. 【答案】 C4．(2014·海淀模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25【解析】 由a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)知，数列{a 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，则a 2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，由a n <5得n<5，∴n<25，故选C.【答案】 C5．(2012·浙江高考)设S n 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是( ) A ．若d<0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d<0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列【解析】 设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n.由二次函数性质知S n 有最大值时，则d<0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，则d>0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d>0，{S n }必是递增数列，D 正确．【答案】 C 二、填空题6．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.【解析】 设倒n 次后纯酒精与总溶液的体积比为a n ，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<10%，∴n≥4. 【答案】 47．已知数列{a n }为等差数列，公差为d ，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使得S n <0的n 的最小值为________．【解析】 根据S n 有最大值知，d<0，则a 10>a 11，由a 11a 10<－1知，a 10>0>a 11，且a 11<－a 10即a 10＋a 11<0，从而S 19＝1＋a 192＝19a 10>0，S 20＝1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，则使S n <0的n 的最小值为20. 【答案】 208．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x n ＝________，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．【解析】 ∵y ＝xn ＋1，∴y′＝(n ＋1)x n，它在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 与x 轴交点的横坐标为x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，由a n ＝lg x n 得a n ＝lg n －lg(n ＋1)， 于是a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100 ＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2. 【答案】nn ＋1－2 三、解答题9．(2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝2n. (2)由(1)可得S n ＝1＋a n2＝＋2＝n(n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列， 所以a 2k ＝a 1S k ＋2.从而(2k)2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.10．(2014·武汉模拟)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则需在第n 年初对M 更新．证明：需在第9年初对M 更新．【解】 (1)当n≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n－1)＝130－10n ；当n≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n－6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n .因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3428＝824764>80，A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3439＝767996<80，所以需在第9年初对M 更新．B 组 能力提升1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f(x)＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64【解析】 依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2.所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.【答案】 D2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的最小自然数n ＝________.【解析】 ∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)，由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6，即n ＋2>64，∴n>62，∴n 有最小值63. 【答案】 63图5－5－13．(2013·潍坊一模)已知数列{a n }的各项排成如图5－5－1所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成等差数列{b n }，S n 是{b n }的前n 项和，且b 1＝a 1＝1，S 5＝15.(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值；(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，当m ∈[－1,1]时，对任意n ∈N *，不等式t 2－2mt －83>T n恒成立，求t 的取值范围．【解】 (1)∵{b n }为等差数列，设公差为d ，b 1＝1，S 5＝15， ∴S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1. ∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n.设从第3行起，每行的公比都是q ，且q>0，a 9＝b 4q 2,4q 2＝16，q ＝2， 1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行第5个数， 而a 50＝b 10q 4＝10×24＝160. (2)∵S n ＝1＋2＋…＋n ＝＋2，∴T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝2＋＋＋2＋＋＋…＋2＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－12n ＋1＝2n ＋＋.令f(x)＝2x ＋＋(x≥1)， f′(x)＝2－4x 2＋2＋2，当x≥1时，f′(x)<0，f(x)在[1，＋∞)上为减函数， ∴{T n }为递减数列，{T n }的最大值为T 1＝13.∴不等式变为t 2－2mt －3>0恒成立，设g(m)＝－2tm ＋t 2－3，m ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧－，，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2－3>0，－2t ＋t 2－3>0，解得t>3或t<－3.即t 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).。
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课后限时自测(见学生用书第279页)A 组 基础训练一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋1），则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130【解析】 ∵a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. ∴S 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15－16＝1－16＝56.【答案】 B2．数列412，814，1618，32116，…的前n 项和S n 为( )A ．2n ＋1－2－n －1B ．2n ＋2－2－n －3C ．2n ＋1＋2－n －1D ．2n ＋1－2－n －1－1 【解析】 ∵a n ＝2n ＋1＋12n ， ∴S n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋122＋ (12)＝4（1－2n ）1－2＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n 1－12＝2n ＋2－4＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n＝2n ＋2－2－n －3. 【答案】 B 3．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如(1 101)2表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11 111 111)2转换成十进制的形式是( )A ．29－2B ．28－1C ．28－2D ．27－1【解析】 (11 111 111)2十进制的形式是1×27＋1×26＋…＋1×21＋1×20＝1－281－2＝28－1. 【答案】 B4．数列12，24，38，…，n2n ，…的前n 项和为( )A ．2－n ＋22nB ．1－12nC ．n －n2nD ．2－12n －1＋n 2n 【解析】 S n ＝12＋24＋38＋…＋n －12n －1＋n2n .①12S n ＝14＋28＋…＋n －22n －1＋n －12n ＋n2n ＋1.② 由①－②得12S n ＝12＋122＋…＋12n －1＋12n －n2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n－n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1. ∴S n ＝2－n ＋22n .【答案】 A 5．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z 则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y(Y －X)＝Z(Z －X)C ．Y 2＝XZD ．Y(Y －X)＝X(Z －X) 【解析】 可考虑n ＝1的情形．当n ＝1时，X ＝a 1，Y ＝a 1＋a 2＝a 1(1＋q)，Z ＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)，有Y(Y －X)＝a 21(q ＋q 2)，X(Z －X)＝a 21(q ＋q 2)， ∴Y(Y －X)＝X(Z －X)． 【答案】 D 二、填空题6．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋x ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________． 【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋x ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －x －(2n －1－x)＝2n －1， 又∵a 1＝2＋x 适合上式．∴2＋x ＝1，∴x ＝－1.∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列． ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1·（1－4n ）1－4＝13(4n－1)．【答案】13(4n －1) 7．数列1，11＋2，11＋2＋3，……，11＋2＋…＋n的前n 项和为________． 【解析】 ∵a n ＝1n （n ＋1）2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1. 【答案】2nn ＋18．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.【答案】 2n ＋1－2三、解答题9．已知a n＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＋1，n 为奇数2n 2，n 为偶数，求数列{a n}的前n 项和S n.【解】 ∵a 2k ＋1－a 2k －1＝[5(2k ＋1)＋1]－[5(2k －1)＋1]＝10，∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…是首项为6，公差为10的等差数列．∵a 2k ＋2a 2k ＝22k ＋2222k2＝2， ∴a 2，a 4，a 6，…，a 2n …，是首项为2，公比为2的等比数列．∴当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n ) ＝n 2×6＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n 2－1×102＋2（1－2n 2）1－2＝54n 2＋12n ＋2n 2＋1－2； 当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝54(n －1)2＋12(n －1)＋2n －12＋1－2＋5n ＋1＝54n 2＋3n －14＋2n ＋12，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧54n 2＋3n －14＋2n ＋12 n 为奇数54n 2＋12n －2＋2n 2＋1 n 为偶数.10．(2013·江西高考)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n∈N *，都有T n <564.【解】 (1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0， 得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0.由于数列{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n. 于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n. 当n ＝1时，适合a n .综上可知，数列{a n }的通项a n ＝2n.(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2]＝116⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<116⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋122＝564.B 组 能力提升1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝48（n ＋2）2－4，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则与S 98最接近的整数是( )A ．20B ．21C ．24D ．25【解析】 a n ＝48（n ＋2）2－4＝48n （n ＋4）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋4， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－15＋12－16＋13－17＋…＋1n －1n ＋4 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋13＋14－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3－1n ＋4， ∴S 98＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋13＋14－199－1100－1101－1102＝25－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫199＋1100＋1101＋1102＞24.5，故选D. 【答案】 D2．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是________．【解析】 设两个连续偶数为2k ＋2和2k(k∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k)2＝4(2k ＋1)．故“和平数”是4的奇数倍，故在1～100之间，能称为“和平数”的有4×1，4×3，4×5，…，4×25，共计13个，其和为4×（1＋25）×132＝676.【答案】 6763．(创新题)已知公差为d(d ＞1)的等差数列{a n }和公比为q(q ＞1)的等比数列{b n }，满足集合{a 3，a 4，a 5}∪{b 3，b 4，b 5}＝{1，2，3，4，5}，(1)求通项a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .【解】 (1)∵1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1，3，5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1，2，4.而{a 3，a 4，a 5}∪{b 3，b 4，b 5}＝{1，2，3，4，5}， ∴a 3＝1，a 4＝3，a 5＝5，b 3＝1，b 4＝2，b 5＝4，∴a 1＝－3，d ＝2，b 1＝14，q ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －5，b n ＝b 1×q n －1＝2n －3. (2)∵a n b n ＝(2n －5)×2n －3，∴S n ＝(－3)×2－2＋(－1)×2－1＋1×20＋…＋(2n －5)×2n －3， 2S n ＝－3×2－1＋(－1)×20＋…＋(2n －7)×2n －3＋(2n －5)…2n －2，两式相减得－S n ＝(－3)×2－2＋2×2－1＋2×20＋…＋2×2n －3－(2n －5)×2n －2＝－34－1＋2n －1－(2n －5)×2n －2∴S n ＝74＋(2n －7)×2n －2.。