山东省德州市跃华学校高一数学下学期6月月考试卷(含解析)

山东省德州市跃华学校2014-20 15学年高一下学期6月月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．如果A为锐角，sin（π+A）=﹣，那么cos（π﹣A）=（）
A．﹣B．C．﹣D．
2．已知向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），若与共线．则n等于（）
A．1 B．C．2 D．4
3．已知向量，若向量与垂直，则k的值为（）
A．B．7 C．D．
4．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）
A．1 B．C．2 D．3
5．将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为（）
A．y=cos2x B．y=﹣2cosx C．y=﹣2sin4x D．y=﹣2cos4x
6．在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）
A．正三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
7．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）
A．7 B．15 C．20 D．25
8．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）
A．B．C．D．
9．已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣，﹣2）C．（﹣2，+∞）D．（﹣，﹣2）
10．已知整数如下规律排一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（）
A．（5，7）B．（6，6）C．（4，8）D．（7，5）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．若向量，满足且与的夹角为，则=．
12．已知，则的值为．
13．数列{a n}中，a n+2=a n+1﹣a n，a1=2，a2=5，则a2009=．
14．已知等差数列{a n}共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是．
15．下面有四个命题：
①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
②（﹣）﹣（﹣）=
③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；
④等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为170．
其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）
三、解答题（75分）
16．设向量，满足||=||=1及|3﹣2|=
（Ⅰ）求，夹角的大小；
（Ⅱ）求|3+|的值．
17．在等差数列{a n}中，a4=﹣15，公差d=3，
（1）求a1的值；
（2）求S7的值；
（3）数列{a n}的前n项和S n的最小值．
18．（1）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n+1，求{a n}的通项公式．
（2）在数列{a n}中，已知a1=2，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），求{a n}的通项公式．
19．设△ABC所对的边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）求cos（A﹣C）．
20．在等差数列{a n}中，a16+a17+a18=a9=﹣36，其前n项为S n．
（1）求S n的最小值，并求出S n＜0时n的最大值；
（2）求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．
21．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=3，若向量=（sinA，﹣1）与向量=（2，sinB）垂直，求a，b的值．
山东省德州市跃华学校2014-2015学年高一下学期6月月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．如果A为锐角，sin（π+A）=﹣，那么cos（π﹣A）=（）
A．﹣B．C．﹣D．
考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：由已知及诱导公式可求sinA，利用诱导公式及同角三角函数关系式即可求值．
解答：解：∵A为锐角，sin（π+A）=﹣，
∴sinA=，
∴cos（π﹣A）=﹣cosA==﹣．
故选：C．
点评：本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．
2．已知向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），若与共线．则n等于（）
A．1 B．C．2 D．4
考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：根据向量共线的充要条件的坐标表示式，建立关于n的方程，解之即可得到实数n 的值．
解答：解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），且与共线．
∴1×（n﹣2）=﹣1×n，解之得n=1
故选：A
点评：本题给出向量含有字母n的坐标形式，在已知向量共线的情况下求n的值，着重考查了平面向量共线的充要条件及其坐标表示等知识，属于基础题．
3．已知向量，若向量与垂直，则k的值为（）
A．B．7 C．D．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：计算题．
分析：根据向量坐标运算的公式，结合，可得向量与
的坐标．再根据向量与互相垂直，得到它们的数量积等于0，利用两个向量数量积的坐标表达式列方程，解之可得k的值．
解答：解：∵
∴=（4﹣k，3+2k），=（5，1）
∵向量与垂直，
∴（）•（）=0
可得：（4﹣k）×5+（3+2k）×1=0
∴20﹣5k+3+2k=0⇒k=
故选A
点评：本题根据两个向量垂直，求参数k的值，着重考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标公式和两个向量垂直的充要条件等知识点，属于基础题．
4．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3=6，S3=12，则公差d等于（）
A．1 B．C．2 D．3
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．
解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由a3=6，S3=12，得：
解得：a1=2，d=2．
故选C．
点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是基础的会考题型．
5．将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为（）
A．y=cos2x B．y=﹣2cosx C．y=﹣2sin4x D．y=﹣2cos4x
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：利用导公式以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可以求得变换后的函数的解析式．
解答：解：将函数y=2cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=2cos[2（x﹣
）]=2cos（2x﹣π）=﹣2cos2x的图象；
再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的函数y=﹣2cos4x的
图象，
故选：D．
点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
6．在△ABC中，若 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，则△ABC 的形状是（）
A．正三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：由sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，结合两角和的正弦公式即可得A，B的关系，从而可判断
解答：解：∵sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，
∴sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB
∴A=B（A+B=π舍去），是等腰三角形
故选B
点评：本题主要考查了两角和的正弦公式的简单应用，属于基础试题
7．在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）
A ． 7
B ． 15
C ． 20
D ． 25
考点： 等差数列的性质． 专题： 计算题．
分析： 利用等差数列的性质，可得a 2+a 4=a 1+a 5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．
解答： 解：∵等差数列{a n }中，a 2=1，a 4=5， ∴a 2+a 4=a 1+a 5=6， ∴S 5=（a 1+a 5）=
故选B ．
点评： 本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．
8．已知点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），则向量在
方向上的投影
为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 平面向量数量积的含义与物理意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 先求出向量、
，根据投影定义即可求得答案． 解答： 解：，
， 则向量
方向上的投影为：
•cos＜
＞
=•===，
故选A ．
点评： 本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．
9．已知等差数列的首项为31，若从第16项开始小于1，则此数列的公差d 的取值范围是（） A ． （﹣∞，﹣2） B ． [﹣
，﹣2）
C ． （﹣2，+∞）
D ． （﹣
，﹣2）
考点： 等差数列的通项公式．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由题意和等差数列的通项公式可得d 的方程组，解方程组可得． 解答：
解：由题意可得等差数列{a n }的首项为a 1=31，
由题意可得a 15≥1且a 16＜1，∴
，
解关于d的不等式组可得d＞﹣2
故选：C
点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及不等式组的解法，属基础题．
10．已知整数如下规律排一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（）
A．（5，7）B．（6，6）C．（4，8）D．（7，5）
考点：等差数列的性质；等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：我们可以在平面直角坐标系中，将：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．
解答：解：在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图所示：
可得：（1，1）为第1项，
（1，2）为第（1+1）=2项，
（1，3）为第（1+1+2）=4项，
（1，4）为第（1+1+2+3）=7项，
（1，5）为第（1+1+2+3+4）=11项，…，
依此类推得到：（1，11）为第（1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=56项，
∴第57项为（2，10），第58项为（3，9），第59项为（4，8），
则第60项为（5，7）．
故选A
点评：本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．若向量，满足且与的夹角为，则=．
考点：合情推理的含义与作用．
专题：计算题．
分析：要求两个向量的和的模长，首先求两个向量的和的平方再开方，根据多项式运算的性质，代入所给的模长和夹角，求出结果，注意最后结果要开方．
解答：解：∵且与的夹角为，
∴===，
故答案为：
点评：本题考查向量的和的模长运算，考查两个向量的数量积，本题是一个基础题，在解题时最后不要忽略开方运算，是一个送分题目．这种题目会在2015届高考卷中出现．
12．已知，则的值为．
考点：分段函数的应用．
专题：计算题．
分析：直接把代入第二段的函数解析式，得f（）=f（﹣1）+1=f（﹣）+1，再代入第一段即可求值．
解答：解：因为，
所以f（）=f（﹣1）+1=f（﹣）+1
=sinπ•（﹣）+1=﹣+1=．
故答案为：
点评：本题主要考查分段函数求值及三角函数的求值，是对基础知识的考查，属于基础题．13．数列{a n}中，a n+2=a n+1﹣a n，a1=2，a2=5，则a2009=﹣5．
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：通过计算出前几项确定周期，进而计算可得结论．
解答：解：∵a n+2=a n+1﹣a n，a1=2，a2=5，
∴a3=a2﹣a1=5﹣2=3，
a4=a3﹣a2=3﹣5=﹣2，
a5=a4﹣a3=﹣2﹣3=﹣5，
a6=a5﹣a4=﹣5﹣（﹣2）=﹣3，
a7=a6﹣a5=﹣3﹣（﹣5）=2，
∴该数列是以6为周期的周期数列，
∵2009=334×6+5，
∴a2009=a5=﹣5，
故答案为：﹣5．
点评：本题考查数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
14．已知等差数列{a n}共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则其公差是4．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差中项的性质可知5（a1+4d）=10、5（a1+5d）=30，计算即得结论．
解答：解：依题意，a1+（a1+2d）+（a1+4d）+（a1+6d）+（a1+8d）=5（a1+4d）=10，
同理，5（a1+5d）=30，
两式相减得：d=4，
故答案为：4．
点评：本题考查等差数列的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．
15．下面有四个命题：
①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
②（﹣）﹣（﹣）=
③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；
④等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为170．
其中真命题的编号是①③（写出所有真命题的编号）
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：①根据三角函数的周期公式进行化简即可．
②根据向量的基本运算进行判断．
③根据三角函数的图象关系进行判断．
④根据等差数列的性质进行判断．
解答：解：①函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=﹣cos2x，则最小正周期是π；故①正确，
②（﹣）﹣（﹣）=﹣=≠，故②错误，
③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x，
故③正确，
④等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，
设它的前3m项和为x．
则满足30，100﹣30，x﹣100成等差数列，
即30，70，x﹣100，则30+x﹣100=2×70=140．解得x=210，故④错误，
故真命题的编号为①③，
故答案为：①③
点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的内容较多，考查学生的推理能力．
三、解答题（75分）
16．设向量，满足||=||=1及|3﹣2|=
（Ⅰ）求，夹角的大小；
（Ⅱ）求|3+|的值．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量的数量积运算性质即可得出．
解答：解：（Ⅰ）设与夹角为θ，∵向量，满足||=||=1及|3﹣2|=，∴，∴9×1+4×1﹣12×1×1×cosθ=7，∴．
又θ∈[0，π]，∴与夹角为．
（Ⅱ）∵===．
点评：熟练掌握向量的数量积运算性质是解题的关键．
17．在等差数列{a n}中，a4=﹣15，公差d=3，
（1）求a1的值；
（2）求S7的值；
（3）数列{a n}的前n项和S n的最小值．
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用a1=a4﹣3d计算即可；
（2）通过（1）可知S n=•n2﹣n，令n=7代入即可；
（3）通过令a n=0得n=9，进而计算即得结论．
解答：解：（1）a1=a4﹣3d=﹣15﹣9=﹣24；
（2）由（1）可知：S n==•n2﹣n，
∴S7=•72﹣•7=﹣105；
（3）由（1）知a n=﹣24+3（n﹣1）=3n﹣27，
令a n=0，得n=9，
∴数列{a n}的前9（或8）项和最小，
其值为：=﹣108．
点评：本题考查等差数列的前n项和，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（1）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2﹣3n+1，求{a n}的通项公式．
（2）在数列{a n}中，已知a1=2，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），求{a n}的通项公式．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用S n=2n2﹣3n+1，当n=1时，a1=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1即可得出；
（2）利用“累加求和”、等差数列的通项公式即可得出．
解答：解：（1）∵S n=2n2﹣3n+1，∴当n=1时，a1=0．
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣3n+1﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣1）+1]=4n﹣5，
∴a n=．
（2）∵a1=2，a n﹣a n﹣1=n（n≥2），
∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+2=1+=．
点评：本题考查了“累加求和”、等差数列的通项公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．设△ABC所对的边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）求cos（A﹣C）．
考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：（I）根据余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，代入题中数据即得边c的大小；（II）根据，可得C为钝角且sinC=．再由正弦定理，算出
，结合同角三角函数的基本关系算出，最后利用两角差的余弦公式即可算出的值cos（A﹣C）．
解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，，
∴根据余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，…
得c2=，解之得c=4．…
（Ⅱ）在△ABC中，∵＜0
∴，且C为钝角．…
∵根据正弦定理，得
∴，…
∴由A为锐角，得，…
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=．…
点评：本题给出三角形中的两边及其夹角，求第三边的长并依此求特殊三角函数的值．着重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式等知识，属于中档题．
20．在等差数列{a n}中，a16+a17+a18=a9=﹣36，其前n项为S n．
（1）求S n的最小值，并求出S n＜0时n的最大值；
（2）求T n=|a1|+|a2|+…+|a n|．
考点：数列的求和；等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由已知条件求出a17=﹣12，从而得到d=3，由此求出前n项和，利用配方法能求出S n的最小值．由S n＜0得（n2﹣41n）＜0，解得即可．
（2）数列{a n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，所以当n≤21时，T n=﹣S n，当n＞21时，T n=S n﹣2S21，由此利用分类讨论思想能求出T n．
解答：解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
∵a16+a17+a18=3a17=﹣36，∴a17=﹣12，
∴d===3，
∴a9=a1+8×3=﹣36，解得a1=﹣60，
∴S n=﹣60n+×3=（n2﹣41n）=（n﹣）2﹣，
∴当n=20或n=21时，S n取最小值﹣630．
∵S n=（n2﹣41n）＜0
∴n＜41，
∴n的最大值为40．
（2））∵a1=﹣60，d=3，
∴a n=﹣60+（n﹣1）×3=3n﹣63，
由a n=3n﹣63≥0，得n≥21，
∵a20=3×20﹣63=﹣3＜0，a21=3×21﹣63=0，
∴数列{a n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，
当n≤21时，T n=﹣S n=﹣=﹣n2+n．
当n＞21时，T n=S n﹣2S21=﹣2S21=n2﹣n+1260．
综上，T n=．
点评：本题考查数列的前n项和的最小值的求法，考查数列的各项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．
21．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=3，若向量=（sinA，
﹣1）与向量=（2，sinB）垂直，求a，b的值．
考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题．
分析：（I）利用二倍角公式即公式化简f（x）；
利用三角函数的周期公式求出周期；令整体角在正弦的递增区间上求出x的范围即为递增区间．
（II）先求出角C，利用向量垂直的充要条件列出方程得到边a，b的关系；利用余弦定理得到a，b，c的关系，求出a，b．
解答：解：（Ⅰ）∵
令，∴函数f（x）的单调递增区间为，
（Ⅱ）由题意可知，，∴，∵0＜C＜π，∴（舍）或
∵垂直，∴2sinA﹣sinB=0，即
2a=b∵②
由①②解得，a=1，b=2．
点评：本题考查三角函数的二倍角公式、考查三角函数的公式
、考查求三角函数的性质常用的方法是整体角处理的方法、考查三角形中的余弦定理．。