定积分的元素法

于是 A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a, b 有关
的量；
（ 2 ） U 对 于 区 间 a, b具 有 可 加 性 ， 就 是 说，如果把区间a, b分成许多部分区间，则
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.
第六章 定积分的应用
利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
第一节
第六章
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线x a 、
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素Байду номын сангаас．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
x b所围成。
oa
A
b
a
f
(
x)dx
y f (x)
bx
面积表示为定积分的步骤如下
（1） 把区间[a, b]分成n个长度为xi的小区间，相
应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小
n
窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi
U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部
分量之和；
（3）部分量Ui 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间[a, b]；
2）设想把区间[a, b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a, b]上的一个连续函数在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU f ( x)dx；
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi . i 1
（4） 求极限，得A的精确值
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
a
提示 若用A 表示任一小区间 [x, x dx]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx，
面 积 元 素
dA
y f (x)