甘肃省白银市2023-2024学年高二下学期5月期中考试 数学含答案

高二阶段性检测数学（答案在最后）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号．考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第—册（数列、解析几何、计数原理）占30%．选择性必修第二册第—意（导数）、第二章（空间向量）占70%．
1.已知向量(3,0,1),(2,1,1)a b =--=- ，则2b a -= （）
A.(5,1,2)
-- B.(5,1,2)
- C.(8,1,3)-- D.(8,1,3)
-2.双曲线2
2
116
y x -=的离心率为（
）
A.
B.3
C.
D.4
3.若平面α的一个法向量为(1,1,0)n = ，平面β的一个法向量为(1,0,1)m =-
，则α与β所成角的大小为（）
A
.π6 B.
π3
C.
π4
D.
2π3
4.甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（）
A.480种
B.360种
C.240种
D.600种5.若圆C 与x 轴相切且与圆224x y +=外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（）
A.244x y =+
B.244x y =-+C .
2
44
x y =+ D.244
x y =-6.在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11ADD A 的周长为12,22(0)CD AD x x ==>，长方体
1111ABCD A B C D -的体积为(x)V ．若2()6V m m =，则(x)V 在x m =处的瞬时变化率为（
）
A.18
B.20
C.24
D.26
7.设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（
）
A.64
B.72
C.76
D.80
8.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x '是()f x 的导函数，当x 0>时，
()()30f x xf x '+>，且()22f =，则不等式()3(1)116x f x ++>的解集为（
）
A.
()
1,+∞ B.
()()
,31,-∞-⋃+∞ C.
()
,1-∞ D.
()()
,11,-∞-⋃+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，E 为PC 的中点，则（
）
A.PA PB PD PC
=+- B.PA PB PC PD =+- C.AB AD AP AE
++= D.2AB AD AP AE
++= 10.若9
9
019(2)x a a x a x -=+++ ，则（）
A.0256a =
B.129511
a a a +++=- C.12304
a =- D.9
02468132
a a a a a +++++=
11.设()f x '为函数()f x 的导函数，若()f x '在D 上单调递增，则称()f x 为D 上的凹函数；若()f x '在D 上单调递减，则称()f x 为D 上的凸函数．下列结论正确的是（
）
A.函数()2100f x x x =-为R 上的凹函数
B.函数()sin g x x x =为π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上的凸函数C.函数()12
x x
h x =
+为()0,4上的凸函数 D.函数()()2521e
e x
k x x x -=++为R 上的凹函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.某城市今年空气质量为“优”的天数为54，力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128，则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为______．
13.若函数()3
2
2f x x x ax =-+存在极值，则a 的取值范围是______．
14.已知曲线()2
8131680mx m x y m ---++=恒过M 点，且M 在抛物线2:2C y px =上．若P 是C 上
的一点，点()6,3N ，则点P 到C 的焦点与到点N 的距离之和的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知151,35a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若22
1
3
2
n a n n n n b a a -++=+
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平,3,4BCD AB AD BC CD ====
．
（1）证明：AC BD ⊥．
（2
）若BD E =为CD 的中点，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．17.已知3是函数3
221()313
f x x ax a x b =--+-的极小值点．（1）求a 的值；
（2）若0a >，且()f x 有3个零点，求b 的取值范围．
18.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1,BC DD 的中点，直线1B D 与平面1A EF 交于点P
．
（1）求11A E B D ⋅
；
（2）求
1PD
B P
；
（3）若点Q 在棱BC 上，且//PQ 平面11B CD ，求BQ 的长．19.已知函数(
)
()e 1ln ,.
x
a
f x x ax x a =+-∈R （1）若0,a =求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）若1,a =证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增．
（3）当1x >时，()ln f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围．
高二阶段性检测数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号．考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第—册（数列、解析几何、计数原理）占30%．选择性必修第二册第—意（导数）、第二章（空间向量）占70%．
1.已知向量(3,0,1),(2,1,1)a b =--=- ，则2b a -= （）
A.(5,1,2)--
B.(5,1,2)
- C.(8,1,3)
-- D.(8,1,3)
-【答案】D 【解析】
【分析】由空间向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为()3,0,1,a =-- 所以()26,0,2,a =-- 所以()28,1,3b a -=-
．
故选：D .
2.双曲线2
2
116
y x -=的离心率为（
）
A.
B.3
C.
D.4
【答案】C 【解析】
【分析】利用给定的双曲线方程，直接求出离心率即可.
【详解】双曲线2
2
116
y x -=中，221,16a b ==，
所以双曲线的离心率e a ====故选：C
3.若平面α的一个法向量为(1,1,0)n = ，平面β的一个法向量为(1,0,1)m =-
，则α与β所成角的大小为（
）
A.
π6
B.
π3
C.
π4
D.
2π3
【答案】B 【解析】
【分析】利用空间向量的夹角公式计算即可
【详解】1cos ,,2n m
n m n m α⋅===-∴
与β所成角的余弦值为12，又α与β所成角为π0,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
α\与β所成角的大小为π
.
3
故选：B
4.甲游客盘中有肉灌汤包、龙井肉包、虾仁肉包、御膳肉包、胡萝卜素包、韭菜素包各一个，甲游客每次吃一个，全部吃完，若要求甲游客吃两个素包的顺序不相邻，则不同的吃法共有（）
A.480种
B.360种
C.240种
D.600种
【答案】A 【解析】
【分析】根据不相邻问题插空法即可求解.
【详解】先排四个肉包的顺序，再插入两个素包，则不同的吃法共有4
2
45480A A =种．故选：A
5.若圆C 与x 轴相切且与圆224x y +=外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（）
A.244x y =+
B.244x y =-+
C.2
44x y =+ D.244
x y =-【答案】C 【解析】
【分析】设圆心坐标为(),x y
2y =+，化简整理即可得解.
【详解】设圆心坐标为(),x y
2y =+，化简得2
44x y =+，
即圆C 的圆心的轨迹方程为2
44x y =+.故选：C
6.在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11ADD A 的周长为12,22(0)CD AD x x ==>，长方体
1111ABCD A B C D -的体积为(x)V ．若2()6V m m =，则(x)V 在x m =处的瞬时变化率为（
）
A.18
B.20
C.24
D.26
【答案】A 【解析】
【分析】由已知得出(x)V ，结合2()6V m m =解出m ，结合()V x '即可求解．【详解】因为四边形11ADD A 的周长为12，
所以112222AD AA x AA +=+12=，所以16AA x =-，因为160,0AA x x =->>，所以06x <<，所以()()()2
3
2612206V x x x x x x
x =⋅⋅-=-<<，
由2()6V m m =得，()232
122606m m m
m -=<<，解得3m =，
()2246V x x x ='-，则()32436918V =⨯-⨯='，
所以在()V x 在x m =处的瞬时变化率为18，故选：A ．
7.设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（）
A.64
B.72
C.76
D.80
【答案】D 【解析】
【分析】设n S 是该等比数列的前n 项和，依题意可知714721142821,,,S S S S S S S ---成等比数列，由等比数列的性质求解即可.
【详解】设n S 是该等比数列的前n 项和，依题意可知71420,8,
S S =≠=
则714721142821,,,S S S S S S S ---成等比数列，即2128212,6,8,S S S --成等比数列，则212821818,183,S S S -=-=⨯解得212826,542680.S S ==+=故选：D .
8.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x '是()f x 的导函数，当x 0>时，
()()30f x xf x '+>，且()22f =，则不等式()3(1)116x f x ++>的解集为（
）
A.
()
1,+∞ B.
()()
,31,-∞-⋃+∞ C.
()
,1-∞ D.
()()
,11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】
【分析】根据()3
(1)116x f x ++>构造函数()()3
,g x x f x =通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，
所以可知()()3
g x x f x =在0x >时是单调递增函数，再结合已知条件又可知()()3
g x x f x =是偶函数，最
后利用这些性质可解得3x <-或 1.
x >【详解】令()()3
,g x x f x =则()()()()()2
3
2
33g x x f x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦,
因为当0x >时，()()30,f x xf x '+>所以()g x 在()0,∞+上单调递增,又()f x 为奇函数，且图象连续不断，所以()g x 为偶函数,由()()()3
31122,x f x f ++>得12,x +>解得3x <-或 1.x >故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，E 为PC 的中点，则（
）
A.PA PB PD PC =+-
B.PA PB PC PD =+- C .
AB AD AP AE ++= D.2AB AD AP AE
++=
【答案】AD 【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解.
【详解】在四棱锥P ABCD -中，E 为PC 的中点，四边形ABCD 是平行四边形，
PA PB BA PB CD PB PD PC =+=+=+-
，A 正确，B 错误；AB AD AP AC AP ++=+
2AE =，D 正确，C 错误.
故选：AD
10.若99
019(2)x a a x a x -=+++ ，则（）
A.0256a =
B.129511
a a a +++=- C.12304a =- D.9
02468132
a a a a a +++++=
【答案】BCD 【解析】
【分析】对A 、B 、D ：分别借助赋值法令0x =、1x =及=1x -计算即可得；对C ：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对A ：令0x =，得9
02512a ==，故A 错误；
对B ：令1x =，得0101,a a a +++= 则129a a a +++ 1512511=-=-，故B 正确．
对C ：由题可得()919C 2r r r
r T x -+=-，则()18
19C 212304a =⨯⨯-=-，故C 正确．
对D ：令=1x -，得01a a -+ 9
893,a a +-=则9
02168132
a a a a a +++++=，故D 正确．
故选：BCD .
11.设()f x '为函数()f x 的导函数，若()f x '在D 上单调递增，则称()f x 为D 上的凹函数；若()f x '在D 上单调递减，则称()f x 为D 上的凸函数．下列结论正确的是（
）
A.函数()2100f x x x =-为R 上的凹函数
B.函数()sin g x x x =为π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上的凸函数C.函数()12
x x
h x =+为()0,4上的凸函数 D.函数()()2521e
e x
k x x x -=++为R 上的凹函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A ：求导，直接判断()f x '的单调性即可；对于B ：求导，令()()G x g x '=，利用导数判断()G x 的单调性即可；对于C ：求导，取特指分析判断即可；对于D ：求导，令()()K x k x ='，利用导数判断()K x 的单调性即可.
【详解】对于选项A ：因为()2100f x x -'=为R 上的增函数，所以()2
100f x x x =-为R 上的凹函数，故A 正确；
对于选项B ：因为()sin cos g x x x x +'=，设()()G x g x '=，则()cos cos sin 2cos sin G x x x x x x x x '=+-=-，当π,π2x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，()0G x '<，可知()G x 为π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上的减函数，即()g x '为π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭上的减函数，所以()sin g x x x =为π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上的凸函数，故B 正确；对于选项C ：因为()1ln2
2
x
x h x '-=，设()()H x h x ='，则()()
ln2ln222
x
x H x '-=
，注意到()()
ln23ln22302
H -=
>'，
可知()H x 在()0,4内不是单调递减函数，即()h x '在()0,4内不是单调递减函数，所以函数()12
x x
h x =
+在()0,4上不为凸函数，故C 错误；对于选项D ：因为()()2523e 2e x
k x x x -=++'，令()()K x k x ='，
则()()2548e
2e x
K x x -'=++，
设()()m x K x '=，则()()2820e x
m x x =+'，当52x <-
时，()0m x '<，当52
x >-时，()0m x '
>，可知()m x 在52⎛
⎫-∞-
⎪
⎝
⎭,内单调递减，在5,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增，则()502m x m ⎛⎫
≥-= ⎪⎝⎭
，即()0K x '≥在R 上恒成立，
可知()K x 为R 上的单调递增，所以()()2521e
e x
k x x x -=++为R 上的凹函数，故D 正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.某城市今年空气质量为“优”的天数为54，力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128，则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为______．【答案】13
【解析】
【分析】设这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为,q 由题意可得()3
128541,q =+解方程即可得出答案.
【详解】设这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为,q 则()3
128541,q =+解得：1.3
q =故答案为：
13
.13.若函数()3
2
2f x x x ax =-+存在极值，则a 的取值范围是______．【答案】1,6⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【解析】
【分析】由极值的定义可知，()f x '有变号零点，即可得解.
【详解】()2
62f x x x a '=-+，则Δ4240a =->，解得1,6a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭
．
故答案为：1,
6∞⎛⎫- ⎪⎝
⎭
.14.已知曲线()2
8131680mx m x y m ---++=恒过M 点，且M 在抛物线2:2C y px =上．若P 是C 上的一点，点()6,3N ，则点P 到C 的焦点与到点N 的距离之和的最小值为______．【答案】7【解析】
【分析】将曲线()2
8131680mx m x y m ---++=可变形为()2
4380,m x x y -+-+=可得()4,4M ，
进而可得C 的方程为24y x =，设点P 在准线l 上的投影为D ，抛物线的定义结合几何性质分析求解.【详解】曲线()2
8131680mx m x y m ---++=可变形为()2
4380,
m x x y -+-+=
令()2
40380
x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩，
可知曲线()2
8131680mx m x y m ---++=恒过点()4,4M ，
因为M 在抛物线2:2C y px =上，则168p =，解得2p =，
所以C 的方程为24y x =，可知C 的焦点为()1,0F ，准线为:1l x =-，又因为23924=<，可知点N 在抛物线内，设点P 在准线l 上的投影为D ，则PD PF =
，
因为617PF PN PD PN +=+≤+=，当且仅当PN 与C 的准线垂直时，等号成立，
所以点P 到C 的焦点与到点N 的距离之和的最小值为7．故答案为：7.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知151,35a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若22
1
3
2
n a n n n n b a a -++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）3 2.n a n =-（2）1
1
2131
n n T n +=--
+【解析】
【分析】（1）由151,35a S ==及等差数列下标和定理求出3d =，根据等差数列通项公式即可求解；（2）由分组求和，裂项相消及等比数列求和公式即可求得n T ．
【小问1详解】
设{}n a 的公差为,d 则()15535()
5512352
a a S a d +=
==+=，解得3d =，所以()13132n a n n =+-=-．【小问2详解】
由（1）知()()
3
11
2232313231
n
n n b n n n n =+
=+
--+-+，则122111111124473231n n T n n +-=+-+-++-
--+ 1111
221213131
n n n n ++=-+-
=--++．16.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平,3,4BCD AB AD BC CD ====．
（1）证明：AC BD ⊥．
（2）若BD E =为CD 的中点，求直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）
2
5
【解析】
【分析】（1）取BD 的中点O ，连接,AO CO ，通过说明,AO BD CO BD ⊥⊥可得结论；
（2）以O 为坐标原点，OC
的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线
面角.
【小问1详解】
取BD 的中点O ，连接,AO CO ，
因为3,4AB AD BC CD ====，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又AO CO O = ，,AO CO ⊂面AOC ，所以BD ⊥平面AOC ，
因为AC ⊂平面AOC ，所以AC BD ⊥；【小问2详解】
以O 为坐标原点，OC
的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(
)(
)
)()
0,0,1,,,0,A C E
B -，
则(
)(
)0,1,1,1)AB AC AE =--=-=-
，
设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =
，
则0n AB n AC ⋅=⋅=
，即0
z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，令1x =
得(1,1,n =- ．
所以2cos ,5
AE n =
=
，所以直线AE 与平面ABC 所成角的正弦值为
25
.17.已知3是函数3
221()313
f x x ax a x b =--+-的极小值点．（1）求a 的值；
（2）若0a >，且()f x 有3个零点，求b 的取值范围．【答案】（1）1a =或3a =-（2）2
,103
⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】（1）对函数()f x 求导，令()0f x '=，由于零点含参数a ，需要对a 进行分类讨论，从而根据()f x 的极小值点为3解得a 的值；
（2）根据（1）的结果可知()f x '的零点，以及原函数()f x 的单调区间，根据函数()f x 要有三个零点，可知函数()f x 的极大值大于0，极小值小于0，从而解得列出不等式组求解即可.【小问1详解】
因为()3
22131,3
f x x ax a x b =
--+-所以()()()2
2
233.f x x ax a x a x a '=--=-+令()0,f x '=得3x a =或.
x a =-当0,a >则当()(),3,x a a ∞∞∈--⋃+时，()0,f x '>当(),3x a a ∈-时，()0,f x '<故()f x 在(),a ∞--和()3,a ∞+上单调递增，在(),3a a -上单调递减．因为3是()f x 的极小值点，所以33,a =即1,a =符合题意．
当0,a =则()0f x '≥恒成立，()f x 在(),∞∞-+上单调递增，无极值点，不符合题意．当0,a <则当()(),3,x a a ∞∞∈-⋃-+时，()0,f x '>当()3,x a a ∈-时，
()0,f x '<故()f x 在(),3a ∞-和(),a ∞-+上单调递增，在()3,a a -上单调递减．
因为3是()f x 的极小值点，所以3,a -=即3,a =-符合题意．综上所述，1a =或 3.a =-【小问2详解】因为0,a >所以()()()()3
2131,31,3
f x x x x b f x x x =
---'+-=+当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0,f x '>当()1,3x ∈-时，()0,f x '<所以()f x 在(),1∞--和()3,∞+上单调递增，在()1,3-上单调递减．显然当x →-∞时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，
因为()f x 有3个零点，所以当且仅当()()21033100f b f b ⎧
-=+>⎪
⎨⎪=-<⎩
，
解得210,3b -
<<故b 的取值范围为2,103⎛⎫- ⎪⎝⎭
.18.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1,BC DD 的中点，直线1B D 与平面1A EF 交于点P ．
（1）求11A E B D ⋅
；
（2）求
1PD
B P
；（3）若点Q 在棱BC 上，且//PQ 平面11B CD ，求BQ 的长．【答案】（1）2
（2）
12
3
PD B P =（3）
45
【解析】
【分析】（1）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解11A E B D ⋅
；
（2）设()112,2,2B P B D λλλλ==-- ，求出面1A EF 的法向量，通过10A P n ⋅=
列方程求出λ即可；（3）设()02,,0Q y ，则()100,,2B Q y =- ，可得1AC uuu r
是平面11B CD 的一个法向量，通过10PQ AC ⋅= 求解0y 即可.
【小问1详解】
如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则()()()()110,0,2,(2,1,0),0,2,1,2,0,2,0,2,0A E F B D ，
所以()()()112,2,2,2,1,1,2,1,2B D EF A E =--=-=-
，
所以114242A E B D ⋅=-++=
；
【小问2详解】
设()112,2,2B P B D λλλλ==-- ，则1111(22,2,2).
A P A
B B P λλλ=+=--
设平面1A EF 的法向量为(),,n x y z =
，
则122020
n A E x y z n EF x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令3x =得(3,2,4)n = ，依题意可得166480A P n λλλ⋅=-+-=
，
解得3
5
λ=
，所以
123PD B P =；【小问3详解】
设()()002,,0,02Q y y ≤≤，则()100,,2B Q y =-
，
由（2）知1666,,555B P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则110664,,555PQ B Q B P y ⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭ ，
因为1111(2,2,2),(0,2,2),(2,2,0)AC B C B D ==-=-
，
所以111110AC B C AC B D ⋅=⋅=
，
所以1AC uuu r
是平面11B CD 的一个法向量．因为//PQ 平面11B CD ，
所以101212820555PQ AC y ⋅=+--= ，解得04
5y =，所以BQ 的长为4
5
.
19.已知函数(
)
()e 1ln ,.
x
a
f x x ax x a =+-∈R （1）若0,a =求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）若1,a =证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增．
（3）当1x >时，()ln f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）(2e 1)x +-e 0.y -=（2）证明见解析；
（3）(,e].
-∞
【解析】
【分析】（1）对()f x 求导，求出(1),(1)f f '，由导数的几何意义和点斜式方程即可得出答案；（2）对()f x 求导，令()e 1,()ln 1,x g x x h x x x =--=-+证明()0f x '>在(0,)+∞上恒成立即可.（3）()ln f x a x ≥在(1,)+∞上恒成立等价于(
)(
)
ln e 1ln e
1x
x
x a x +≥+，分类讨论0a ≤和0a >，令
()()e 1x x x ϕ=+求出()ϕx 的单调性可得ln x a x ≥，分离参数，令()(1),ln x
H x x x
=
>求出min ()H x 即可得出答案.【小问1详解】
因为0,a =所以(
)
()e 1,x
f x x =+则()(1)e 1.x f x x '=++又(1)e 1,(1)2e 1,
f f '=+=+所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为e 1(2e 1)(1),y x --=+-即(2e 1)x +-e 0.y -=【小问2详解】
证明：因为1,a =所以(
)
()e 1ln ,x
f x x x x =+-则()(1)e ln .x f x x x '=+-令()e 1,()ln 1,x
g x x
h x x x =--=-+则1()e 1,().x
x
g x h x x
'
'
-=-=
当,()0x ∈+∞时，()0,()g x g x >'单调递增，故()(0)0.g x g >=当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x >'单调递增，
当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x <'单调递减，故()(1)0h x h ≤=．
从而22()(1)e ln (1)10x f x x x x x x x '=+->+--=+>在(0,)+∞上恒成立，则在()f x (0,)+∞上单调递增.【小问3详解】
解：()ln f x a x ≥在(1,)+∞上恒成立等价于(
)()(
)
ln e 1ln ln e 1
x
a
x
x ax a x a x +≥+=+在(1,)+∞上恒成立．若0a ≤则(
)
ln ln e
10a x
a x +≤，则()(
)
ln e 1ln e 1x a x x a x +≥+显然恒成立．
若0,a >则ln 0a x >在(1,)+∞上恒成立，
令()
()e 1,x
x x ϕ=+由（1）可知()0x ϕ'>在(0,)∞+上恒成立，
故由(
)(
)
ln e 1ln e 1x
a x
x a x +≥+得()(ln )x a x ϕϕ≥则ln x a x ≥即ln x a x
≤
．令()(1),ln x H x x x
=
>则2
ln 1(),(ln )x H x x '
-=当(1,e)x ∈时，()0,()H x H x <'单调递减，当(e,)x ∈+∞时，()0,()H x H x '>单调递增，则min ()(e)e,H x H ==则0e a <≤．综上所述，a 的取值范围为(,e].
-∞【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。