浙江省温州市十校联合体2011届高三年级上学

浙江省温州市十校联合体 2011届高三年级上学期联考
数学试题（理科）
（完卷时间：120分钟, 满分：150分；本次考试不得使用计算器）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={|12}x x -≤≤，B={|1}x x <，则()R A C B = （ ）
A ．{|1}x x >
B ．{|1}x x ≥
C ．{|12}x x <≤
D ．{|12}x x ≤≤
2．执行右面的框图，若输出结果为12
， 则输入的实数x 的值是（ ）
A ．32
B ．1
4
C
D
3．在复平面内，复数cos3sin 3z i =+对 应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．在ABC ∆中，“0AB AC >
”是“ABC ∆为锐角三角形”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
5．设等比数列{}n a 的公比2q =， 前n 项和为n S ，则
4
2S a =
（ ）
A ．2
B ．4
C ．
152 D ．
172
6．用a b c 、、表示三条不同的直线，γ表示平面，其中正确的命题是 （ ）
①若a //b ,b //c ,则a ∥c ; ②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a c ⊥;
③若a //γ,b //γ,则a ∥b ; ④若a ⊥γ,b ⊥γ,则a ∥b ．
A ．①④
B ．②③
C ．①②
D ．③④
7．过抛物线2
4y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，若126x x +=，则||PQ =
（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
8．定义在R上的偶函数()
f x满足(1)()
f x f x
+=-，且在[-1，0]上单调递增，设(3)
a f
=
，b f
=，(2)
c f
=，则
a b c
,,的大小关系是（）
A．a b c
>>B．a c b
>>C．b c a
>>D．c b a
>>
9．已知函数2
()54
f x x x
=-+，则不等式组
()()0
14
f x f y
x
-≥
⎧
⎨
≤≤
⎩
表示的平面区域为（）
10．若函数()
f x满足：“对于区间（1,2）上的任意实数
1212
,()
x x x x
≠，
2121
|()()|||
f x f x x x
-<-恒成立”，则称()
f x为
完美函数．在下列四个函数中，完美函数是（）
A．
1
()
f x
x
=B．()||
f x x
=C．()2x
f x=D．2
()
f x x
=
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．已知向量(1,2)
a=
，(,4)
b x
=
，且a
//b
，则x= ．
12．用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是
如右图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是
．
13．5
1
()
x
x
-的展开式中含x项的二项式系数为．（用数
字作答）
14．有下列各式：
1111113111
1 ,1 1 ,1... ,1 (2)
22323722315
>++>++++>++++>，…
则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：．
15．已知函数1(0,1)
x
y a a a
-
=>≠
且的图象恒过定点A，若点A在一次函数y mx n
=+的图象上，其中,0
m n>，则
11
m n
+的最小值为．
16．函数22
y ax x
=-图像上有且仅有两个点到x轴的距离等于1，则a的取值范围是．
17．设
12
,,...,
n
a a a是1,2,...,n的一个排列，把排在
i
a的左边且比
i
a小的数的个数称为
i
a的顺序数(1,2,...,)
i n
=．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1 ，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为_________．（用数字作答）
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分14分）设函数2
()2sin cos cos sin sin (0)2
f x x x x ϕ
ϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.
（1）求ϕ的值;
（2）在ABC ∆中, a b c ,,分别是角A,B,C 的对边,
已知()a b f A =
=1,求角C. 19．（本小题共14分）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，
卡片上分别印有“世博会会徽” 或“海宝”（世博会吉祥物）图案;抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽
“卡的概率是
18
5
，求抽奖者获奖的概率; （2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξE 的值．
20．（本小题满分14分） 在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90 ，
2,,AD a PA ABCD PD =⊥底面与底面成30°角． （1）若E PD AE ,⊥为垂足，求证：PD BE ⊥;
（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．
21．（本小题满分15分） 已知点P 是2
2
:9O x y += 上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足23
DQ DP =
．
（1）求动点Q 的轨迹方程;
（2）已知点E （1,1），在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使1()2
OE OM ON =+
（O 是坐标原点），
若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由。

22．（本小题满分15分）已知函数1()ln x
f x x ax -=
+
（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围; （2）当1a =时，求()f x 在1
[,2]2
上的最大值和最小值;
（3）当1a =时，求证：对大于1的任意正整数n ，都有1111ln ....234n n
>++++
参考答案
选择题（每小题5分，共50分）
二、填空题（每小题4分，共28分）
11、 2 12、 6 13、 10 14、1111232
12n n +
+++>- 15、 4 16、 101a a a >=<-或或 17、 144
三、解答题（每小题4分，共28分） 18． （1）
1cos ()2sin cos sin sin 2
f x x x x ϕ
ϕ+=⋅
+-sin sin cos cos sin sin x
x x x ϕϕ=++- sin cos cos sin x x ϕϕ=+
sin()x ϕ=+-----------------------------------------------------4分
因为函数f （x ）在π=x 处取最小值，所以sin()1πϕ+=-,
由诱导公式知sin 1ϕ=
,因为0ϕπ<<,所以2
π
ϕ=．
所以()sin()cos 2
f x x x π
=+
= ------------------7分
（2）因为23)(=A f ,所以cos 2
A =,因为角A 为∆ABC 的内角, 所以6
A π
=
．--------------9分
又因为,2,1==b a 所以由正弦定理,
得sin 1sin 22
b A B a =
==
,--------------11分 因为b a >,所以4π
=
B 或4
3π
=
B ．-----------------------13分
当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,
36412
C πππ
π=--=．----------------14分
19．解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，由2295
,5,18
n C n C ==得………………3分
故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为24291
6
C C = ………………7分
（II ）44115~(4,)()()()
(0,1,2,3,4)
k
k
k
B P k
C k ξξ-===的分布列为；
12
463
E ξ∴=⨯
=， ………………14分 20．解法一：（1
）AD BA BAD ⊥∴=∠,90
[来源:]
.
,
,.
..,
.,BAE PD A AE BA AE PD BA PD PAD PD PAD BA A AD PA PA BA ABCD PA 平面且又平面平面又底面⊥∴=⊥⊥∴⊂⊥∴=⊥⊥
.,PD BE BE PD ⊥
⊥∴即
…………4分
（2） 延长AB 与DC 相交于G 点，连PG ，则面P AB 与面PCD 的交线为PG ，易知CB ⊥平面P AB ，过B 作
,,,PG CF CF F PG BF ⊥⊥则连点于 ,
2
1
//,
AD CB A PG C CFB 的平面角为二面角--∠∴
,30,,2.
30,
1,tan 2,cos 222
GB AB a PDA PA AG a PGA a a BF GB BFC BFC a ∴==∠===∴∠=∴====∴
∴平面P AB 与平面PCD
…………14分
解法二：（1）如图建立空间直角坐标系，
,
0)2
3
2(232210)(),
2
3
2,2,0(),23,21,()
33
2,0,0(),0,2,0(),
0,,(),2
3
,21,0(),0,0,(),0,0,0(=-⋅+⋅+⨯-=⋅∴-=-=∴a a a a a a a a a a P a D a a C a a E a B A 则
PD BE ⊥∴
…………4分
（2）易知，,,PA CB AB CB ⊥⊥
则PAB BC PAB CB 是平面平面∴⊥.
的法向量。

=
设向量BC 与m
所成角为θ
则cos ||||BC m BC m θ⋅====⋅
∴平面P AB 与平面PCD
…………14分
21．解：（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x ……………1分
∴00(,),(0,)DQ x x y DP y =-=
………………………2分
又 23
D Q D P =
∴ 000002332x x x x y y y y -==⎧⎧⎪⎪
⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
即 ………………………4分
∵ P 在⊙O 上，故2
2
009x y += ∴ 22
194
x y += ………………………5分 ∴ 点Q 的轨迹方程为22
194
x y += ………………………6分 （2）假设椭圆22
194
x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足
1()2
OE OM ON =+
，则(1,1)E 是线段MN 的中点，
且有12
121212122
212
x x x x y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩即…9分
又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22
194
x y +=上
∴ 22
1122
22194
19
4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，
得
()()()()121212120
9
4
x x x x y y y y -+-++=…………12分
∴12124
9
MN y y k x x -=
=-- ∴线MN 的方程为 49130x y +-=
∴椭圆上存在点M 、N 满足1()2
OE OM ON =+
，
此时直线MN 的方程为 49130x y +-= ………………………15分
22．（1）∵ 1()ln x f x x ax -=+ ∴ ()21
()0ax f x a ax
-'=> ……………1分 ∵函数()f x 在[)1,+∞上为增函数
∴2
1
()0ax f x ax
-'=
≥对[)1,x ∈+∞恒成立，…………3分 ∴10ax -≥对[)1,x ∈+∞恒成立，即1
a x
≥对[)1,x ∈+∞恒成立
∴ 1a ≥………………5分
（2）当1a =时，21
()x f x x
-'=，[来源:学*科*网]
∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，故()f x 在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
上单调递减；
当(]1,2x ∈时，()0f x '>，故()f x 在(]1,2x ∈上单调递增， ……………………7分
∴()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有唯一极小值点，
故()min ()()10f x f x f ===极小值 ………8分
又31113ln ln16()1ln 2,(2)ln 2,()(2)2ln 222222
e f f f f -=-=-+-=-=
∵3
16e > ∴ ()()1120,222f f f f ⎛⎫
⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即
∴()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值max 1()1ln 22f x f ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
综上可知，函数()f x 在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值是1ln 2-，最小值是0．……………10分
（3）当1a =时，1()ln x f x x x -=+，21
()x f x x
-'=，故()f x 在[)1,+∞上为增函数。

当1n >时，令1
n
x n =
-，则1x >，
故()(1)0f x f >= ……………………11分
∴01ln 11ln 1
111>-+-=-+---
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-n n n n n n n n n
n n f ，
即
1
ln
1
n
n n
>
-
…………12分
∴
2131411 ln,ln,ln,,ln 1223341
n
n n >>>⋅⋅⋅>
-
∴
2341111
ln ln ln ln
1231234
n
n n
+++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+
-
………………14分
∴
1111 ln
234
n
n >+++⋅⋅⋅+
即对大于1的任意正整数n，都有
1111
ln
234
n
n
>+++⋅⋅⋅+…………15分。