戴蒙德模型

平衡增长路径上的资本 存量大于黄金分割率
为弄清楚在平衡增长路径上的资本存量
大于黄金分割率下的资本存量水平会导 致无效率，设想在戴蒙德模型中引入计 划者，该经济处于k*大于kGR的平衡增长 路径上。 如果计划者没有做出改变k的行动，则每 个工人平均产量中可用于消费的部分为 产量f(k*)减去将k维持在所需的新的投资 n k* ，如下图中的X虚线表示的状态。
5、戴蒙德模型中的政府
政府购买的影响 为了简单，考虑对数效用函数和C-D生产
函数形式的情形。 令Gt表示t期每单位有效劳动的平均政府 购买，政府是通过向年轻人征收一次性 税收来为这些购买融资。工人的税后收 入为（1-α）ktα- Gt，k的运动方程变为：
因此假定世代交叠而非长生不老的家庭
存在着，就可能有重要的意义：比如持 续的经济增长可能无法实现，或者它可 能取决于初始条件的状态。 同时戴蒙德模型没有比索罗模型和拉姆 塞模型更好的回答增长的基本问题。
4、动态无效率的可能性
戴蒙德模型与拉姆塞模型的重要区别在于社会
福利状态是否实现了帕雷托最优。 在戴蒙德模型中，出生于不同时期的个人达到 的效用水平不同，因此评价社会福利的合适方 式在模型中是不明确的，若把福利设定为各个 时代效用的某种加权和，那么就没有理由期待 分散化均衡最大化福利，因为我们赋予各个时 代的权数是任意的。 戴蒙德模型甚至不必实现帕雷托最优，处于平 衡增长路径上的资本存量甚至可以大于黄金分 割率水平下的资本存量，因而消费的永久性增 长是可能的。
3、经济的动态学 k的变动方程
t 1期的资本存量就是 t期年轻人的储蓄额， 因此K t 1 s ( rt 1 ) Lt At wt 1 kt 1 s ( rt 1 ) wt ( n 1)(1 g ) 1 s ( f ( kt 1 ))( f ( kt ) kt f ( kt )) ( n 1)(1 g )
假定效用函数为对数型，生产函数为 C-D函数，
g=0，则
1 1 k ( (1 ))1 /(1 ) 1 n 2

资本的边际产品 k 1为
f ( k ) (1 n)(2 ) 1

黄金分割率资本存量由 f ( kGR ) n给定， f ( k )可能大于或小于 f ( kGR )，特别是 若足够小，则 f ( k ) f ( kGR )，这意味着 下的资本存量。
1、假定 与拉姆赛模型不同，戴蒙德模型假定人口是不
断新老交替的，没有数量不变的长生不老的家 庭。 为简化分析，假定时间为离散而非连续的，这 意味着模型中的t不是大于等于0的所有值，而 是t=0,1,2…….。进一步的，一个人仅存在两期。 假定Lt个人在t期出生，人口增长率为n，则 Lt =(1+n) Lt-1 在t期，有Lt个人处于其寿命的第一期， Lt-1= Lt /(1+n)个人处于寿命的第二期，每个人在第 一期将劳动收入用于第一期的消费和储蓄，在 第二期，个人仅消费上期的储蓄和从储蓄中得 到的利息。
上式表明，一个人的消费随着时间是递
增还是递减，取决于真实报酬率是大于 还是小于贴现率。θ仍然决定着个人的消 费对r与ρ之差的反应程度有多大。
(1 rt 1 ) (1 ) / C1t C1t At wt 1/ (1 ) (1 )1/ C1t At wt 1/ (1 ) / (1 ) (1 rt 1 ) 上式表明，利率决定了 收入中用于第 1期消费的比例。 用s (r )表示收入中用于储蓄的 比例，则上式可表述为 (1 r ) (1 ) / s(r ) (1 )1/ (1 r ) (1 ) / 因此上式可以写成 C1t (1 s (rt 1 )) At wt
因此在0期，老年人拥有的资本 和年轻人拥有的劳动 被结合起来用于生产， 资本和劳动的报酬都是 其边际产品 老年人同时消费其资本 收入和现有财富，然后 他们死亡并 退出模型，年轻人把劳 动收入wt At 分为消费和储蓄，将储 蓄 带入下一期，因此 t 1期的资本存量 K t 1等于t期的年轻人数 量Lt 乘以每一年轻人的储蓄 wt At C1t。
1 1 C1 C 1 1 t 2 t 1 L ( At wt (C1t C2t 1 )) 1 1 1 1 rt 1
一阶条件为C
1t
1 1 ， C2t 1 ，整理得 1 1 rt 1
C2t 1 1 rt 1 1/ ( ) ，这个方程类似于拉姆 赛模型中的欧拉方程。 C 1t 1
Kt+1
k1 k*
贴现率下降的影响
k*旧
k1
k*新
k0
kt
一般情形下k的变动
将k的变动方程改为下面的形式：
( f (kt ) kt f (kt )) 1 kt 1 s( f (kt 1 )) f ( kt ) (n 1)(1 g ) f (k t )
上述方程把t+1期每单位有效劳动的平均
直观地讲，r的上升同时具有收入效应和替代效应，这时 两期消费之间的替代更有利于第二期消费，这一情况会 增加储蓄（替代效应）。但是一定量储蓄能够带来更多 第二期消费，这一情况会降低储蓄（收入效应）。如果个 人很愿意在两期消费之间进行替代以利用报酬率的刺激 （θ较低时），则替代效应占优。如果个人强烈偏好两期 有相同的效应水平（ θ较高时），则收入效应占优。在 θ等于1时（对数效用），收入和替代效用相同，年起人 的储蓄率与r无关。
每 工 人 总 消 费
Y 在t将k降至kGR
X （k保持在k*>kGR）
t0
t
将k降至黄金分割率水平如何影 响每工人平均消费的路径
假定在t0期，计划者将资源更多用于消费，储
蓄减少，使得下一期的每工人资本存量为 kGR， 此后该计划者一直将资本存量保持在kGR，在t0 期，每工人用于消费的资源为f(k*)+(k* -kGR)-n kGR ，在随后的每一期，每工人平均产量中用 于消费的部分为f(kGR)-n kGR。由于kGR最大化 f(k)-nk，所以f(kGR)-n kGR > f(k*)-n k* 。且由 于k*>kGR，所以，f(k*)+(k* - kGR )-n kGR 甚至 比f(k* )-n k* 要更大一些。在此政策下的总消 费路径在上图中由Y线表示。与维持k= k*的政 策相比，这一政策使得在每一期有更多的资源 可用于消费。既是如此，计划者每一期均在年 轻人和老年人之间配置消费品以使每个世代的 境况都比上个世代要好就必然是可能的。
第二期消费的权数为正 。
对生产的假定与以前一 样。每个厂商的生产函 数 Yt F ( K t，At Lt )，A以外生数率g增长，从而At (1 g ) At 1 每单位有效劳动的平均 工资和真实利率分别为 wt f (kt ) kt f (kt ) rt f (kt ) 初始资本存量为 K 0，它由所有老年人平均 拥有。
令C1t 和C2t 1分别表示t其年轻人和老年人的消 费，因此 一个t期出生的人，其效用 U t 取决于C1t 和C2t 1，我们仍然 假定效用函数为风险相 对回避系数不变的效用 函数，则
1 1 C1 C 1 2 t 1 Ut t ， 0, 1， 1这一假定保证了 1 1 1
资本表述为四项之积：从右向左分别是 每单位有效劳动的平均产量、产量中劳 动报酬所占比例、劳动收入中储蓄所占 比例以及t期有效劳动的数量与t+1期有效 劳动的数量之比。 下图给出了kt+1和kt之间关系的几种可能 形式，这些形式与C-D函数形式的情形 不同。
a
b
k1 c
k2
k3
d
k1
k2
k1 k2
k的变化
对数效用与科布-道格拉斯生产函数
(1 r ) (1 ) / 如果等于1，根据s ( r ) ， 1/ (1 ) / (1 ) (1 r ) 劳动收入中用于储蓄的 比例为 1 /(2 )。如果生产函数为 C D函数， 则f (k ) k ，w (1 )k ，因此 1 1 kt 1 (1 ) kt Dkt (n 1)(1 g ) 2

Kt+1
k1 k*
k的动态学
k*
k1
k0ห้องสมุดไป่ตู้
kt
上图把kt+1表示为kt的函数，45度线表示二者相
等，除了kt等于0外，k有唯一的均衡水平，用 k*表示。 k*是稳定的，不管k从何地开始，他都收敛于 k* 。 一旦经济收敛于平衡增长路径，其特性就与处 于平衡增长路径上的索罗模型和拉姆赛模型相 同：储蓄率不变，每工人平均产量以速率g增 长，资本产量比不变等。
2、家庭行为 考虑一个t期出生的人，其第二期的消费为
C2t 1 (1 rt 1 )(wt At C1t ) 1 C1t C2t 1 At wt 1 rt 1 这一条件表明，一生消 费的现值等于初始财富 （此处为0）加上一生劳动收入的 现值。在此约束下， 为实现效用最大化，我 们构造拉格朗日函数
上图中的a图中，有多个均衡k值，但是只有k1和k3是
稳定的，k2不稳定，在k2的左边，k收敛于k1 ，在k2右 边，k收敛于k3。 图b中， kt+1永远小于kt ，因而无论k的初始值如何，k 都将收敛于0。要使这种情况出现，要么产量中的劳动 收入所占比例趋于0，要么劳动收入中的储蓄比例趋于 0，或者二者同时出现。 图c中，如果k的初始值足够低，则k收敛于0，如果k的 初始值足够高，则k收敛于一个严格正值。 图d中， kt+1并非唯一地由kt决定，当k介于k1 k2之间时， 有三个可能：如果储蓄使利率的减函数，则会出现这 种情况。如果个人预期kt+1值较高并因此预期r较低， 则储蓄会较高，如果个人预期kt+1较低，则储蓄会较低。 如果储蓄对利率反应敏感，且r对k反应敏感，那么可 能有一个以上的kt+1与一个给定的kt对应，因此该经济 的路径是未定的。
如果贴现率下降，使得年轻人将其劳动收入的
更大比例用于储蓄，由此kt+1函数向上移动， 这使得平衡增长路径上的k值增大。 因此在我们考虑的情形下，戴蒙德模型中贴现 率下降的影响与拉姆赛模型中贴现率的下降的 影响是一致的。也与索罗模型中储蓄率上升的 影响相同。贴现率的下降时的每工人平均资本 和平均产量随时间路径永久性上升，但是对这 些变量的增长率却只造成暂时性增加。
有关收入中储蓄比例的 表达式s (r )表明， 当且仅当 (1 r ) (1 ) / 随着r递增时， 年轻人的储蓄才会随着 r递增。 (1 r ) (1 ) / 对r得导数为 ((1 ) / )(1 r ) (1 2 ) / 。因此如果 1， 则s随着r递增，如果 1，则s随着r递减。
因此戴蒙德模型的均衡可以是帕雷托无效率的。
原因在于，世代的无限性使计划者拥有一条满足 老年人消费的路径，而这条路经通过市场是得不 到的。在市场经济中，一个人要想在年老时消费， 唯一的选择是持有资本，即使资本报酬率较低。 然而计划者无须使老年人的消费取决于其资本存 量及资本报酬率。相反，计划者可以任何方式将 消费的资源在年轻人和老年人之间分配。比如计 划者可以从年轻人那里拿走一单位的劳动收入并 将其转移给老年人。若不希望有人因为这一变化 而境况变坏，计划者可以要求下一代年轻人在下 一期做同样的事情，并每期进行同一过程。 由于这种无效率与传统的无效率来源不同，且来 源于经济的跨期结构，所以他被称为动态无效率。