初中数学代数几何综合复习题

代数与几何综合题

代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。

解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。

第一类：与反比例函数相关

1．（09北京）如图，点C 为⊙O 直径AB 上一点，过点C 的直线交⊙O 于点D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF AB ⊥于点F ，EG AB ⊥ 于点G ． 当点C 在AB 上运动时，设AF x =，DE y =，下列 图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a a

m ax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，则m 的值为 ．

3．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数a b ，，2(0a b -≥，

0a b ∴-≥，a b ∴+≥a b =时，等号成立．

结论：在a b +≥a b ，均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a b +≥，

A B C

只有当a b =时，a b +

有最小值． 根据上述内容，回答下列问题： （1） 若0m >，只有当m = 时，1

m m

+

有最小值 ． （2） 探索应用：已知(30)A -，，(04)B -，，点P 为双曲线12

(0)y x x

=>上的任意一点，

过点P 作PC x ⊥轴于点C ，轴于y PD ⊥D ． 求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时 四边形ABCD 的形状．

4．（08南通）已知双曲线k y x =与直线1

4

y x =相交

于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A

点左侧）是双曲线k

y x

=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线k

y x

=

于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点

坐标及k 的值． （2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积

为4，求直线CM 的解析式．

（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，

求p －q 的值．

5．（09.5西城）已知：反比例函数2y x =

和8

y x

= 在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在8y x =的图象上，AB ∥y 轴，与2

y x

=的图象交于点B ，AC 、BD 与x 轴平行，分别与2y x =

、8

y x

=的图象交于点C 、D . （1）若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；

（2）若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小；

（3）若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标.

（第3题）

（第4题）

答案：（1） 点F 的坐标为17

(2,)5

.

（2）OBC ABC S S ∆∆>. （3）点A 的坐标为(2,4)

6．（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数m

y x

=（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，

()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴垂线，垂足为D ，

连结AD ，DC ，CB ．

（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标； （2）求证：DC AB ∥；

（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式． 答案：

（1）点B 的坐标为 433⎛⎫ ⎪⎝⎭

，； （2）DC AB ∴∥． （3）所求直线AB 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+

二、与三角形相关

7．（07北京）在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线 y = mx 2

+ 23mx + n 经过P (3, 5),

A (0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的顶点为B , 将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l , 直线l 与抛物线的对称轴交于C 点, 求直线l 的解析式;

(3) 在(2)的条件下, 求到直线OB , OC , BC 距离相等的点的坐标． 答案：(1)抛物线的解析式为: y =x x 3

32312++ 2

(2)直线 l 的解析式为 y =

3

3x (3) 到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标分别为: M 1(-

3

3

2, 0)、 M 2 (0, 2)、 M 3(0, -2)、M 4 (-23, 0).

8． (08北京)平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x 2

+ bx + c 与x 轴交于A , B 两点(点

A 在点

B 的左侧), 与y 轴交于点

C , 点B 的坐标为(3, 0), 将直线 y = kx 沿y 轴向上平

移3个单位长度后恰好经过B , C 两点. (1) 求直线BC 及抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的顶点为D , 点P 在抛物线的对称轴上, 且∠APD =∠ACB , 求点P 的坐标; (3) 连结CD , 求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数.

答案：(1) 直线BC 的解析式为 y = -x + 3. 抛物线的解析式为 y = x 2

- 4x + 3.

(2)点P 的坐标为 (2, 2) 或 (2, -2). (3) ∠OCA 与∠OCD 两角和的度数为45︒. 9．（10.6密云） 已知：如图，抛物线2

2

2(0)y x mx m m =-++>与x

轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线 上一动点（点C 与点A 、B 不重合），D 是OC 中点，连结BD 并延长，交AC 于点E ．

（1）求A 、B 两点的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）求

CE

AE

的值； （3）当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且8

5

CED

S =

时， 求抛物线和直线BE 的解析式．

答案：（1）A （m -，0），B （2m ，0）． （2）

2

3

CE AE =． （3）抛物线的解析式为 2

28y x x =-++．直线BE 的解析式为 41633

y x =-

+ 10．（崇文09）如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32

-+=，与y 轴交于点C ，且OA OC OB 3==．（I ）求抛物线的解析式；

（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若

不存在，请说明理由； （III ）直线13

1

+-

=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶