[最新学习]2018年秋高中数学第一章三角函数阶段复习课第1课任意角的三角函数及诱导公式学案新人教A版必修4

第一课 任意角的三角函数及诱导公式

[核心速填]

1．与角α终边相同的角的集合为

S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．

2．角度制与弧度制的换算

3．弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1)弧长公式：l ＝|α|r . (2)面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2

.

4．任意角的三角函数

(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x

(x ≠0)．

(2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，r ＝|OP |＝x 2

＋y 2

，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x

(x ≠0)．

5．同角三角函数基本关系式

sin 2α＋cos 2

α＝1；sin αcos α＝tan α.

6．诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限．

[体系构建]

[题型探究]

象限角及终边相同的角

(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；

(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π2. [解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14

9π，

∴α＝－800°＝14π

9

＋(－3)×2π.

∵α与角14π

9

终边相同，∴α是第四象限角．

(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π

9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，

∴γ＝2k π＋14π

9

，k ∈Z .

又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2＜2k π＋14π9＜π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π

9.

[规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角 (1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用． (2)角度制与弧度制的换算

设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则

αrad ＝⎝

⎛⎭⎪⎫α·

180π°，n °＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫n ·π180rad.

2．象限角的判定方法

(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．

(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．

[跟踪训练]

1．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α

4

角终边相同的角是________.

【导学号：84352139】

2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π

2

(k ∈Z )． 又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10

.]

弧度制下扇形弧长及面

积公式的计算

(1)如图1­1，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧

、弧

的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是________．

图1­1

(2)一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，则c －1

S

的最大值为________．

(1)4π (2)4 [(1)弧的长是120π×1180＝2π

3

，

弧的长是：120π×2180＝4π

3，

弧

的长是：120π×3

180

＝2π，

则曲线CDEF 的长是：2π3＋4π

3

＋2π＝4π.

(2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角大小为2弧度， 则l ＝2r ，可求：c ＝l ＋2r ＝2r ＋2r ＝4r ，

扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2×2＝r 2

，

所以

c －1S ＝4r －1r 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋4

r

＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫1r

－22

＋4≤4.

r ＝12时等号成立，所以c －1S

的最大值为4.] [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略

1明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2

其中l

是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；

2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.

[跟踪训练]

2．如图1­2，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积.

【导学号：84352140】

图1­2

[解] ∵120°＝120180π＝2

3π，

∴l ＝6×2

3

π＝4π，∴

的长为4π.

∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1

2

×4π×6＝12π，

如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝1

2×2×6cos 30°×3＝9 3.

∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.

任意角三角函数的定义