[最新学习]2018年秋高中数学第一章三角函数阶段复习课第1课任意角的三角函数及诱导公式学案新人教A版必修4

试卷+教案+习题
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第一课 任意角的三角函数及诱导公式
[核心速填]
1．与角α终边相同的角的集合为
S＝{β|β＝α＋k·360°，k
∈Z}．

2．角度制与弧度制的换算

3．弧度制下扇形的弧长和面积公式
(1)弧长公式：l＝|α|r.

(2)面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.
4．任意角的三角函数
(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，

tan α＝yx(x≠0)．
(2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，r＝|OP|＝x2＋y2，则
sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
5．同角三角函数基本关系式
sin2α＋cos2α＝1；sin αcos α＝tan α.
6．诱导公式记忆口诀
奇变偶不变，符号看象限．

[体系构建]
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[题型探究]
象限角及终边相同的角
已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；

(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈－π2，π2.

[解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，
∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.
∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ＋14π9，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，
∴γ＝2kπ＋14π9，k∈Z.
又γ∈－π2，π2，∴－π2＜2kπ＋14π9＜π2，k∈Z，
解得k＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.
[规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角
(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用．
(2)角度制与弧度制的换算
设一个角的弧度数为α，角度数为n，则
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αrad＝α·180π°，n
°＝n·π180rad.

2．象限角的判定方法
(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°
之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角
终边是相同的．
[跟踪训练]

1．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________.
【导学号：84352139】
2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意，得α＝8π5＋2kπ(k∈Z)，α4＝2π5＋kπ
2
(k∈Z)．

又α4∈[0,2π]，所以k＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]
弧度制下扇形弧长及面
积公式的计算
(1)如图1­1，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧

、弧、弧的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．

图1­1
(2)一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c，面积为S，则c－1S的最大值为
________．
(1)4π (2)4 [(1)弧的长是120π×1180＝2π3，

弧的长是：120π×2180＝4π3，
弧的长是：120π×3180＝2π，
则曲线CDEF的长是：2π3＋4π3＋2π＝4π.
(2)设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角大小为2弧度，
则l＝2r，可求：c＝l＋2r＝2r＋2r＝4r，
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扇形的面积为S＝12lr＝12r2×2＝r2，
所以c－1S＝4r－1r2＝－1r2＋4r
＝－1r－22＋4≤4.
r
＝12时等号成立，所以c－1S的最大值为4.]

[规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
1明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2其中
l
是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；
2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、
求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.
[跟踪训练]
2．如图1­2，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积.
【导学号：84352140】

图1­2

[解] ∵120°＝120180π＝23π，
∴l＝6×23π＝4π，∴的长为4π.
∵S扇形OAB＝12lr＝12×4π×6＝12π，
如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝12×AB×OD＝12×2×6cos 30°×3＝93.
∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－93.
∴弓形ACB的面积为12π－93.
任意角三角函数的定义
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(1)若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝34，则
a
的值为( )
A．43 B．±43

C．－43或－433 D.3
(2)已知角α的终边经过点P(12m，－5m)(m≠0)，求sin α，cos α，tan α的值.
【导学号：84352141】

(1)C [(1)因为α角的终边上有一点P(－4，a)，所以tan α＝－a4，

所以sin αcos α＝sinαcos αsin2α＋cos2α＝tan αtan2α＋1＝－a4－a42＋1＝34，
整理得3a2＋16a＋163＝0，(a＋43)(3a＋4)＝0，所以a＝－43或－433.]
(2)r＝12m2＋－5m2＝13|m|，
若m＞0，则r＝13m，α为第四象限角，

sin α＝yr＝－5m13m＝－513，

cos α＝xr＝12m13m＝1213，
tan α＝yx＝－5m12m＝－512.
若m＜0，则r＝－13m，α为第二象限角，
sin α＝yr＝－5m－13m＝513，

cos α＝xr＝12m－13m＝－1213，
tan α＝yx＝－5m12m＝－512.
[规律方法] 利用定义求三角函数值的两种方法
1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求
出相应的三角函数值.
2取角α的终边上任意一点Pa，b原点除外，则对应的角α的正弦值sin

α＝ba2＋b2，余弦值cos α＝aa2＋b2，正切值tan α＝ba.当角α
的终边上点的坐标以参
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数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
[跟踪训练]
3．如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限.
【导学号：84352142】
[解] 因为点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，

即 sin θ＞0，cos θ＜0，所以角θ在第二象限.
同角三角函数基本关系和
诱导公式的应用

(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.

(2)已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.
①化简f(α)；
②若f(α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；

③若α＝－47π4，求f(α)的值. 【导学号：84352143】
[思路探究] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．
(1)13 [(1)由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2，

则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13.]
(2)①f(α)＝sin2α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α.
②由f(α)＝sin α·cos α＝18可知，
(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α
＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，

又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α，
即cos α－sin α＜0，
∴cos α－sin α＝－32.
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③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，
∴f－474π＝cos－474π·sin－474π
＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4
＝cosπ4·sinπ4＝22×22＝12.
母题探究：1.将本例(2)中“18”改为“－8”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求
cos α＋sin α.
[解] 因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，
所以cos α＋sin α＞0，
又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×－18＝34，

所以cos α＋sin α＝32.
2．将本例(2)中的用tan α表示1fα＋cos2α.
[解] 1fα＋cos2α＝1sin αcos α＋cos2α
＝sin2α＋cos2αsin αcos α＋cos2α＝tan2α＋1tan α＋1.
[规律方法] 1.牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用
两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：
已知sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos
α
.

2．诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇
变偶不变，符号看象限．