【浙教版】初二数学上期中试卷(附答案)

一、选择题
1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75° B ．90° C ．105° D ．120°或20° 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,3-，点P 在x 轴上，且使AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数为（ ）．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．以下说法正确的是（ ）
A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半
B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1
C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个
D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线 4．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，
E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）
A ．6cm
B ．6.5cm
C ．7cm
D ．8cm 5．如图，OM 、ON 、OP 分别是AOB ∠，BOC ∠，AOC ∠的角平分线，则下列选项
成立的（ ）
A ．AOP MON ∠>∠
B ．AOP MON ∠=∠
C ．AOP MON ∠<∠
D ．以上情况都有可能 6．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长
是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（ ）
A ．图2
B ．图1与图2
C ．图1与图3
D ．图2与图3 8．如图，已知A
E 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝34°，那么∠BED ＝（ ）
A ．134°
B ．124°
C ．114°
D ．104° 9．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．不确定 10．如图，//,40,50,AB CD B C ∠=︒∠=︒则
E ∠的度数为（ ）
A ．70︒
B ．80︒
C ．90︒
D ．100︒ 11．如图，ABC 中，将A ∠沿D
E 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多
少度（ ）
A ．60°
B ．75°
C ．85°
D ．90°
12．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A ．两点之间线段最短
B ．长方形的对称性
C ．长方形四个角都是直角
D ．三角形的稳定性
二、填空题
13．如图，等边△ABC 的边长为4，点D 在边AC 上，AD ＝1．
（1）△ABC 的周长等于_____；
（2）线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1，BQ ＞BP ，连接QD ，PC ，当四边形PCDQ 的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC ，QD ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
14．如图，∠MON=30°，点123A A A 、、…在射线ON 上，点123B B B 、、…在射线OM 上，△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为1a ，第2个等边三角形的边长记为2a ，以此类推．若11OA =，则2021a =____．
15．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ．若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，则B 的度数为______．
16．如图所示，ABC ≅△AB C ''，20CAC ∠'=︒，BAB ∠'=___度．
17．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．
18．如图1，△ABC 中，有一块直角三角板PMN 放置在△ABC 上（P 点在△ABC 内），使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C .若∠A ＝52°，则∠1＋∠2＝
__________；
19．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．
20．如图，∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠E ＋∠F ＋∠MGN ＋∠H ＋∠K ＝________．
三、解答题
21．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，ABC ∠的平分线交CD 的延长线于点E ，F 是BE 的中点，连接CF 并延长交AD 于点G ．
（1）求证：BCG DCG ∠=∠．
（2）若50CGD ︒∠=，58ABC ︒∠=，求ADE ∠的度数．
22．在等边ABC 中，D E 、分别为AB AC 、边上的动点，以DE 为一边作等边DEF ．
（1）如图1，若等边DEF 的顶点F 恰好在BC 上，求证：ADE CEF ≌；
（2）如图2，若2BD AE =，当点D 从点A 向点B 运动（不运动到点B ）时，连接CF ，请判断ECF ∠的大小是否变化并说明理由．
23．（阅读理解）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到ADC ≌EDB △的理由是______．
（2）求得AD 的取值范围是______．
（感悟）
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
（问题解决）
（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．
24．如图，已知A ABC ∠=∠，D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，点E 在BC 的延长线上．
求证：CD 平分ACE ∠．
25．如图，△ABC 中，∠ABC 的角平分线与外角∠ACD 的平分线交于A 1．
（1）∵BA 1、CA 1是∠ABC 与∠ACD 的平分线，
∴∠A 1BD ＝12∠ABD ，∠A 1CD ＝12
∠ACD ， ∴∠A 1CD ﹣∠A 1BD ＝
12（∠ACD ﹣∠ABD ），
∵∠A 1CD ﹣∠A 1BD ＝ ，∠ACD ﹣∠ABD ＝∠ ，
∴∠A 1＝ ．
（2）如图2，四边形ABCD 中，∠F 为∠ABC 的角平分线及外角∠DCE 的平分线所在的直线构成的角，若∠A +∠D ＝230°，求∠F 的度数．
（3）如图3，△ABC 中，∠ABC 的角平分线与外角∠ACD 的平分线交于A 1，若E 为BA 延长线上一动点，连接EC ，∠AEC 与∠ACE 的角平分线交于Q ，当E 滑动时有下面两个结论：
①∠Q +∠A 1的值为定值；
②∠Q ﹣∠A 1的值为定值，
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
26．如图ABC 中，45B ∠=︒，70ACB ∠=︒，AD 是ABC 的角平分线，F 是AD 上一点EF AD ⊥，交AC 于E ，交BC 的延长线于G ．求G ∠的度数．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．
【详解】
解：设两内角的度数为x 、4x ，
当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；
当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
以O 为圆心，AO 长为半径画圆可得与x 轴有2个交点，再以A 为圆心，AO 长为半径画圆可得与x 轴有1个交点，然后再作AO 的垂直平分线可得与x 轴有1个交点．
【详解】
解：如图所示：
点P 在x 轴上，且使△AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数共4个，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
3．D
解析：D
【分析】
对每个选项一一分析即可得到正确答案．
【详解】
解：A 、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半； B 、错误，例如a =1，b=2，满足a + b = 3 ， ab = 2，但不满足a - b = 1；
C 、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；
D 、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明
EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．
【详解】
延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，
AB AC =，AD 平分BAC ∠，
∴AN BC ⊥，BN CN =，
∴90ANB ANC ∠=∠=，
60EBC E ∠=∠=，
∴EBM △是等边三角形，
6BE cm =，
∴6EB EM BM cm ===，
//DF BC ，
∴60EFD EBM ∠=∠=，
∴EFD △是等边三角形，
2DE cm =，
∴2EF FD ED cm ===，
∴4DM cm =，
EBM △是等边三角形，
∴60EMB ∠=，
∴30NDM ∠=，
∴2NM cm =，
∴4BN BM NM cm =-=，
∴28BC BN cm ==．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据角平分线的定义可得∠AOP=12∠AOC ，∠AOM=∠MOB=12
∠AOB ，
∠CON=∠BON=1
2∠BOC，进而可得∠MON=1
2
∠AOB+1
2
∠BOC=1
2
∠AOC，从而可得
∠AOP=∠MON．
【详解】
解：∵OP平分∠AOC，
∴∠AOP=1
2
∠AOC，
∵OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线，
∴∠AOM=∠MOB=1
2∠AOB，∠CON=∠BON=1
2
∠BOC，
∴∠MON=1
2∠AOB+1
2
∠BOC=1
2
∠AOC，
∴∠AOP=∠MON．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．
6．C
解析：C
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.
∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝1
2AB·OE＋
1
2
BC·OD＋
1
2
AC·OF＝
1
2
×OD×(AB＋BC＋AC)＝
1
2
×OD×8＝12
OD=3
故选：C
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
【详解】
解：在图1中，利用基本作图可判断AD 平分∠BAC ；
在图2中，利用基本作图得到D 点为BC 的中点，则AD 为BC 边上的中线；
在图3中，利用作法得AE=AF ，AM=AN ，则可判断△AMF ≌△ANE ，所以∠AMD=∠AND ， 再根据ME=AM-AE=AN-AF=FN ，∠MDE=∠NDF 可判断△MDE ≌△NDF ，根据三角形面积公式则可判定D 点到AM 和AN 的距离相等，则可判断AD 平分∠BAC ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
8．B
解析：B
【分析】
根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；
【详解】
∵AE 平分∠BAC ，∠BAE ＝34°，
∴34EAC ∠=︒，
∵ED ∥AC ，
∴18034146AED ∠=︒-︒=︒，
∵BE ⊥AE ，
∴90AEB =︒∠，
∴36090146124BED ∠=︒-︒-︒=︒；
故答案选B ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键 。

9．D
解析：D
【分析】
根据多边形的外角和等于360°判定即可．
【详解】
∵多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数不能确定．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据平行线的性质求出140∠=︒，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵//AB CD ，40B ∠=︒，50C ∠=︒，
∴140B ∠=∠=︒，
∴ 1801180405090E C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C
【点睛】
本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．
【详解】
解：∵将A ∠沿DE 翻折，
∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，
∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，
∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，
解得102.5ADE ∠=︒，
∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，
∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．
12．D
解析：D
【分析】
在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性．
【详解】
在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D 正确．
故答案选D ．
【点睛】
本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．
二、填空题
13．见解析过点C 作CE ∥AB 且CE=1作点D 关于AB 的对称点F 连接EF 交AB 于一点为Q 在AB 上BQ 之间截取PQ=1连接CPDQ 则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算
解析：见解析，过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形
【分析】
（1）根据三角形周长公式计算；
（2）过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．
【详解】
（1）△ABC 的周长等于4312⨯=，
故答案为：12；
（2）如图：
故答案为：过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．
．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
14．【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出
A1B1∥A2B2∥A3B3以及A2B2=2B1A2得出
A3B3=4B1A2=4A4B4=8B1A2=8A5B5=16B1A2即：a1=1a2=2a3
解析：2020
2
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2，即：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，，进而得出答案．
【详解】
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2=2，A3B3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
即：a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，，
以此类推：a n =2n-1．
∴2021a =20202，
故答案是：20202．
．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，根据已知得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2进而发现规律是解题关键．
15．40°【分析】由全等三角形的判定证得△ABE ≌△ACD （SAS ）由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C 根据三角形内角和定理求出∠C 继而即可求解【详解】在△ABE 和△ACD 中∴△ABE ≌△ACD （SAS ）∴
解析：40°
【分析】
由全等三角形的判定证得△ABE ≌△ACD （SAS ），由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C ，根据三角形内角和定理求出∠C ，继而即可求解．
【详解】
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC AD AE A A ==∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩
∴△ABE ≌△ACD （SAS ）
∴∠B ＝∠C
∵60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，
∴∠C ＝180°－∠A －∠ADC ＝40°，
∴∠B=40°
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质证得∠B ＝∠C ．
16．20【分析】根据△得到由此推出得到答案【详解】解：△∴；∵∴故答案为：20【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等熟记性质定理是解题的关键
解析：20
【分析】
根据ABC ≅△AB C ''得到CAB C AB ∠=∠''，由此推出CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠得到答案．
【详解】
解：ABC ∆≅△AB C ''，
∴CAB C AB ∠=∠''；
∵CAC C AB CAB '∠'+∠=∠，BAB C AB C AB '∠'+∠=∠''，
∴CAC C AB BAB C AB ''∠'+∠=∠'+∠，
20CAC BAB ∴∠'=∠'=︒．
故答案为：20．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，熟记性质定理是解题的关键． 17．（1）（2）（3）（4）【分析】在△ABC 中AB=ACAD 是△ABC 的平分线可知直线AD 为△ABC 的对称轴再根据图形的对称性逐一判断【详解】解：（1）∵在中是的角平分线∴∵∴∴∴平分故（1）正确；（
解析：（1）（2）（3）（4）
【分析】
在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的平分线，可知直线AD 为△ABC 的对称轴，再根据图形的对称性，逐一判断．
【详解】
解：（1）∵在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，
∴BAD CAD ∠=∠．
∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴
ADE 90BAD ∠∠=︒-，ADF 90CAD ∠∠=︒-，
∴ADE ADF ∠∠=， ∴DA 平分EDF ∠，故（1）正确；
（2）由（1）可知，ADE ADF ∠∠=，
在AED 和AFD 中，
EAD FAD,AD AD,ADE ADF,∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴()AED AFD ASA ≅，
∴AE AF =，DE DF =，故（2）正确；
（3）在AD 上取一点M ，连结BM ，CM ．
在ABM 和ACM 中，
AB AC BAD CAD AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ABM ACM SAS ≅，
∴BM CM =，故（3）正确；
（4）在ABD 和ACD 中，
AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()ABD ACD SAS ≅．
∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴∠AED=∠AFD=90°
在ADE 和ADF 中，
AED=AFD BAD CAD AD AD ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
()ADE ADF AAS ≅． ∵ABD ACD ≅
∴∠ABC=∠ACB ，BD=CD ，
∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴∠BED=∠CFD
在BED 和CFD △中，
EBD FCD BED CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()BED CFD AAS ≅，
∴图中共有3对全等三角形，故（4）正确．
故答案为：（1）（2）（3）（4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，利用三角形全等是正确解答本题的关键．
18．38°【分析】根据三角形内角和定理易求∠ABC ＋∠ACB 的度数已知∠P ＝90°根据三角形内角和定理易求∠PBC ＋∠PCB 的度数进而得到∠1＋∠2的度数
【详解】∵∠A ＝52°∴∠ABC ＋∠ACB ＝18
解析：38°
【分析】
根据三角形内角和定理易求∠ABC ＋∠ACB 的度数．已知∠P ＝90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC ＋∠PCB 的度数，进而得到∠1＋∠2的度数．
【详解】
∵∠A ＝52°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°−52°＝128°，
∵∠P ＝90°，
∴∠PBC ＋∠PCB ＝90°，
∴∠ABP ＋∠ACP ＝128°−90°＝38°，
即∠1＋∠2＝38°．
故答案为：38°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识，注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC ＋∠ACB ，∠PBC ＋∠PCB 的度数．
19．15【分析】记三角形的第三边为c 先根据三角形的三边关系确定c 的取值范围进而可得三角形第三边的最大值与最小值进一步即可求出答案【详解】解：记三角形的第三边为c 则7－3＜c ＜7+3即4＜c ＜10因为第三
解析：15
【分析】
记三角形的第三边为c ，先根据三角形的三边关系确定c 的取值范围，进而可得三角形第三边的最大值与最小值，进一步即可求出答案．
【详解】
解：记三角形的第三边为c ，则7－3＜c ＜7+3，即4＜c ＜10，
因为第三边长为奇数，
所以三角形第三边长的最大值是9，最小值是5，
所以三角形的周长最大值是3+7+9=19；最小值是3+7+5=15；
故答案为：19，15．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系与不等式组的整数解，属于基础题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．
20．540°【分析】连接AGGD 先根据
∠H+∠K=∠HGA+∠KAG ∠E+∠F=∠EDG+∠FGD 最后根据多边形的面积公式解答即可【详解】解：连接AGGD ∵∠H+∠K+∠HMK=180°∠HGA+∠KA
解析：540°
【分析】
连接AG 、GD ，先根据∠H+∠K=∠HGA+∠KAG, ∠E+∠F=∠EDG+∠FGD,最后根据多边形的面积公式解答即可．
【详解】
解：连接AG 、GD ，
∵∠H+∠K+∠HMK=180°，∠HGA+∠KAG +∠AMG=180°，∠HMK=∠AMG
∴∠H+∠K=∠HGA+∠KAG ；
同理：∠E+∠F=∠EDG+∠FGD
∴∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠E ＋∠F ＋∠MGN ＋∠H ＋∠K
=∠BAK ＋∠B ＋∠C ＋∠CDE ＋∠EDG+∠FGD ＋∠MGN ＋∠HGA+∠KAG
=五边形的内角和
=（5-2）×180°=540°
故答案为540°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理和多边形内角和定理，根据题意正确作出辅助线成为解答本题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）111ADE ︒∠=．
【分析】
（1）根据BE 平分ABC ∠，得到12
ABF CBF ABC ∠=∠=∠，由 AB CD ∥，可证得BCE 是等腰三角形，根据F 为BE 的中点，可证BCG DCG ∠=∠；
（2）根据AB CD ∥，58ABC ︒∠=，可得 122BCD ︒∠=，利用CG 平分BCD ∠，求得
1612
GCD BCD ︒∠=∠=，根据 50CGD ︒∠=，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，可求得 111ADE ∠=︒．
【详解】
解：（1）∵BE 平分ABC ∠， ∴12
ABF CBF ABC ∠=∠=
∠． ∵AB CD ∥，
∴ABF E ∠=∠，
∴CBF E ∠=∠，
∴BC ＝CE ， ∴BCE 是等腰三角形．
∵F 为BE 的中点，
∴CF 平分BCD ∠，
即BCG DCG ∠=∠．
（2）∵AB CD ∥， ∴180ABC BCD ∠+∠=︒．
∵58ABC ︒∠=，
∴122BCD ︒∠=．
∵CG 平分BCD ∠， ∴1612
GCD BCD ︒∠=∠=． ∵50CGD ∠=︒，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，
∴111ADE ∠=︒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等等知识点，判断出△BCE 是等腰三角形是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）不变，理由见解析．
【分析】
（1）根据AAS 证明ADE CEF ≌即可；
（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，根据等边△ABC 和等边△DEF 的性质证明△ADE HEF ≅∆可得FH CH =，得∠FCH HFC =∠，进一步可得∠30ECF =︒．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABC 和△DEF 是等边三角形
∴∠A=∠C=60°，∠DEF=60°，DE=EF
∵∠DEF=60°，
∴∠DEF+∠FEC=180°-60°=120°
∵∠C=60°
∴∠CFE+∠FEC=180°-60°=120°
∴∠DEA EFC =∠
在△ADE 和△CEF 中，
A C DEA EFC DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴
ADE CEF ≌；
（2）在AC 上截取CH AE =，连接FH ，
设,AE CH x ==等边△ABC 的边长为a
∵22BD AE x ==
∴2AD EH a x ==-
∵△ABC 是等边三角形
∴∠60A =︒
∴∠120ADE DEA +∠=︒
∵△DEF 是等边三角形
∴∠60,DEF DE EF =︒=
∴∠120AED FEC +∠=︒
∴∠ADE FEC =∠
∴△()ADE HEF SAS ≅∆
∴∠60,FHE A FH AE x =∠=︒==
∴FH CH =
∴∠FCH HFC =∠
∵∠60FCH HFC FHE +∠=∠=︒
∴260FCH ∠=︒
∴∠30FCH =︒
即∠30ECF =︒
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键．
23．（1）SAS ；（2）17AD <<；（3）见解析
【分析】
（1）根据AD=DE ，∠ADC=∠BDE ，BD=DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；
（3）延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，证明BED ≌()SAS CND △，得到BE CN =，根据三角形三边关系解答即可．
【详解】
（1）解：∵在△ADC 和△EDB 中，
AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADC ≌△EDB （SAS ），
故答案为：SAS ；
（2）解：∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，
∴BE=AC=6，AE=2AD ，
∵在△ABE 中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，
∴1＜AD ＜7，
故答案为：1＜AD ＜7．
（3）证明：延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，
如图所示：
∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =．
在BED 和CND △中，
DE DN BDE CDN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴BED ≌()SAS CND △，
∴BE CN =，
∵DM DN ⊥，DE DN =，
∴ME MN =，
在BEM △中，由三角形的三边关系得：BM BE ME +>，
∴BM CN MN +>．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
24．见解析
【分析】
根据题意，先证明//AB CD ，然后由平行线的性质以及等量代换，得到
ACD DCE ∠=∠，即可得到结论成立．
【详解】
证明：D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，
D ABD ∴∠=∠，
//AB CD ∴
ABC DCE ∴∠=∠，A ACD ∠=∠
又A ABC ∠=∠，
ACD DCE ∴∠=∠，
CD ∴平分ACE ∠．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到//AB CD ．
25．（1）∠A 1，A ，
12∠A ；（2）25°；（3）①的结论是正确的，且这个定值为180°． 【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠A 1BD ＝12∠ABC ，∠A 1CD ＝12
∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD ＝∠A +∠ABC ，∠A 1CD ＝
∠A 1BC +∠A 1，则可得出答案；
（2）先根据四边形内角和等于360°，得出∠ABC +∠DCB ＝360°﹣（∠A +∠D ），根据内角与外角的关系和角平分线的定义得出∠ABC +（180°﹣∠DCE ）＝2∠FBC +（180°﹣2∠DCF ）＝180°﹣2（∠DCF ﹣∠FBC ）＝180°﹣2∠F ，从而得出结论；
（3）依然要用三角形的外角性质求解，易知2∠A 1＝∠AEC +∠ACE ＝2（∠QEC +∠QCE ），利用三角形内角和定理表示出∠QEC +∠QCE ，即可得到∠A 1和∠Q 的关系．
【详解】
解：（1）∵BA1是∠ABC的平分线，CA1是∠ACD的平分线，
∴∠A1BD＝1
2∠ABD，∠A1CD＝1
2
∠ACD，
∴∠A1CD﹣∠A1BD＝1
2
（∠ACD﹣∠ABD），
∵∠A1CD﹣∠A1BD＝∠A1，∠ACD﹣∠ABD＝∠A，
∴∠A1＝1
2
∠A．
故答案为：∠A1，A，1
2
∠A；
（2）∵∠ABC+∠DCB＝360°﹣（∠A+∠D），
∵∠ABC+（180°﹣∠DCE）＝2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）＝180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）＝180°﹣2∠F，
∴360°﹣（∠A+∠D）＝180°﹣2∠F，
2∠F＝∠A+∠D﹣180°，
∴∠F＝1
2
（∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A+∠D＝230°，
∴∠F＝25°；
（3）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC＝∠AEC+∠ACE＝2（∠QEC+∠QCE）；即：2∠A1＝2（180°﹣∠Q），
化简得：∠A1+∠Q＝180°，
因此①的结论是正确的，且这个定值为180°．
【点睛】
此题考查三角形的角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角定理，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
26．12.5
【分析】
根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得出∠ADC的度数，再根据垂直定义以及三角形的内角和即可得出∠G的度数．
【详解】
解：∵∠B＝45°，∠ACB＝70°，AD是ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠CAD＝65°，
∴∠ADC＝180°﹣70°﹣32.5°＝77.5°，
∵EF⊥AD，
∴∠G＝180°﹣90°﹣77.5°＝12.5°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，难度适中．。