高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系教师用书

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；
d>r⇔相离．
(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )
(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )
[解析]依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．
[答案](1)×(2)×(3)×(4)√
2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切B．相交
C．外切D．相离
B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋1＝17.
∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]
3．(2017·嘉兴调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )
A ．－2或12
B ．2或－12
C ．－2或－12
D ．2或12
D [由圆x 2＋y 2
－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42
＝1，解得b ＝2或12.]
4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4截得的弦长为__________．
255
5
[圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝
|2＋
－－3|1＋4＝35
5
，
所以弦长为2r 2－d 2
＝2
22
－⎝
⎛⎭
⎪⎫3552＝255
5.] 5．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2
－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________. 【导学号：51062274】
4π [圆C ：x 2
＋y 2
－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2
＋(y －a )2
＝a 2
＋2，
所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2
＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2
，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2
＝2，所以
r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]
＋(y －1)2＝5的
位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________． (1)A (2)x ＋2y －5＝0 [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |
m 2＋1
<1< 5.
故直线l 与圆相交．
法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2
＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．
(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2
＋y 2
＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－1
2
.
由点斜式可得切线方程为y －2＝－1
2
(x －1)，即x ＋2y －5＝0.]
[规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；
(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．
2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．
[变式训练1] (1)(2017·宁波中学模拟)过点(3,1)作圆(x －1)2
＋y 2
＝r 2
的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A ．2x ＋y －5＝0
B ．2x ＋y －7＝0
C ．x －2y －5＝0
D ．x －2y －7＝0
(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.
(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2
＋y 2
＝r 2
上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为1
2.
因此切线的斜率k ＝－2.
故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2
＋y 2
＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的 距离d ＝
61＋3
＝3，|AB |＝212－32
＝2 3.
过C 作CE ⊥BD 于E .
如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.
∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝
3
3
，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝23
3
2
＝4.]
已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆
M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
B [法一：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－2ay ＝0，
x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．
∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2
＋－a
2
＝2 2.又a >0，∴a ＝2.
∴圆M 的方程为x 2
＋y 2
－4y ＝0，即x 2
＋(y －2)2
＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝
－
2
＋－
2
＝ 2.
∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2
＋y 2
－2ay ＝0(a >0)⇔x 2
＋(y －a )2
＝a 2
(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .
∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a
2
＝a 2
－2，解得a ＝2.
以下同法一．]
[规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系． 2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2
，y 2
项得到．
3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．
[变式训练2] 若⊙O ：x 2
＋y 2
＝5与⊙O 1：(x －m )2
＋y 2
＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是__________．
4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，
∴O 1A ⊥OA .
又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.
又A ，B 关于OO 1对称，
∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍． 又∵12·OA ·O 1A ＝1
2OO 1·AC ，得AC ＝2.
∴AB ＝4.]
M ：x 2＋y 2－12x
－14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．
图8­4­1
(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程． [解] 圆M 的标准方程为(x －6)2
＋(y －7)2
＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.2分
(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，
所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2
＋(y －1)2
＝1.6分 (2)因为直线l ∥OA ，
所以直线l 的斜率为4－02－0
＝2.
设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离
d ＝
|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|
5
.10分 因为BC ＝OA ＝22
＋42
＝25， 而MC 2
＝d 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22
， 所以25＝
m ＋
2
5
＋5，解得m ＝5或m ＝－15.
故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.15分
[规律方法] 1.(1)设出圆N 的圆心N (6，y 0)，由条件圆M 与圆N 外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．
2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．
[变式训练3] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线：x －3y ＝4相切．
(1)求圆O 的方程；
(2)若圆O 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程. 【导学号：51062275】
[解] (1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离， 则r ＝
4
1＋3
＝2.4分
所以圆O 的方程为x 2
＋y 2
＝4.6分
(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |
5
.10分
由垂径分弦定理，得m 2
5＋(3)2＝22
，即m ＝± 5.12分
所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.15分
[思想与方法]
1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：
(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝＋k2x A＋x B2－4x A x B].
[易错与防范]
1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．
2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
课时分层训练(四十六)
直线与圆、圆与圆的位置关系
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切B．相交
C．相离D．不确定
B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2
>1，圆心到直线的距离d ＝1
a 2＋
b 2
<1，故直线与圆相
交．]
2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9
D ．－11
C [圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2
＋(y －4)2
＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m <25)．从而|C 1C 2|＝32
＋42
＝5.
两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.]
3．已知圆x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8
B [由x 2
＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0， 得(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝2－a ，
所以圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝2－a ，
圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|
2＝2，
所以22
＋(2)2
＝2－a ，解得a ＝－4.]
4．(2017·浙江金丽衢十二校模拟)过点P (4,2)作圆x 2
＋y 2
＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 外接圆的方程是( )
【导学号：51062276】
A ．(x －2)2
＋(y －1)2
＝5 B ．(x －4)2
＋(y －2)2
＝20 C ．(x ＋2)2
＋(y ＋1)2
＝5 D ．(x ＋4)2
＋(y ＋2)2
＝20
A [由题意知，O ，A ，
B ，P 四点共圆，所以所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,1)． 又圆的半径r ＝1
2
|OP |＝5，
所以所求圆的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝5.]
5．(2017·杭州二中三模)已知圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )
A ．1013
B ．921
C ．1023
D ．911
C [易知最长弦为圆的直径10.又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为2r 2－|PC |2
＝225－2＝223.故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝
1023]．
二、填空题
6．已知圆C 1：x 2
＋y 2
－6x －7＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．
x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y
－3＝0，
AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]
7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2
＋y 2
＝r 2
(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________.
2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则
|OD |＝
532
＋－
2
＝1.
∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，
∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]
8．(2017·浙江金华十校联考)已知圆C ：(x ＋2)2
＋y 2
＝4，直线l ：kx －y －2k ＝0(k ∈R )，若直线l 与圆C 恒有公共点，则实数k 的最小值是__________.
【导学号：51062277】
－
3
3
[圆心C (－2,0)，半径r ＝2. 又圆C 与直线l 恒有公共点．
所以圆心C (－2,0)到直线l 的距离d ≤r . 因此|－2k －2k |k 2＋1≤2，解得－33≤k ≤33.
所以实数k 的最小值为－33
.] 三、解答题
9．已知圆C ：x 2＋y 2
－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；
(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解] (1)由圆C ：x 2
＋y 2
－4x －6y ＋12＝0，
得(x －2)2
＋(y －3)2＝1，圆心C (2,3)．当斜率存在时，设过点A 的圆的切线方程为y －5＝k (x －3)，
即kx －y ＋5－3k ＝0.3分
由d ＝|2k －3＋5－3k |k 2＋1＝1，得k ＝34.
又斜率不存在时直线x ＝3也与圆相切， 故所求切线方程为x ＝3或3x －4y ＋11＝0.6分 (2)直线OA 的方程为y ＝5
3x ，即5x －3y ＝0，
又点C 到OA 的距离d ＝
|5×2－3×3|52
＋－
2
＝134
.12分
又|OA |＝32
＋52
＝34. 所以S ＝12|OA |d ＝1
2
.15分
10．(2017·宁波镇海中学模拟)已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)．
(1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；
(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点．
∵M (0,2)，N (－2,0)，∴直线MN 的斜率k MN ＝1，
MN 的中点坐标为C (－1,1).3分
又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝1
3.
综上可知，k 的值为1或1
3
.6分
(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，
∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心(－1,1)到直线l 的距离大于半径，10分 ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1
>2，解得k <－17或k >1.15分
B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( ) A. 2
B ．2
C ．4
D ．2 2 B [圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )．
化为(x －a )2＋y 2
＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.
圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1.
∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切， ∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12
(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.]
2．(2017·杭州质检)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝__________. 【导学号：51062278】
3
2
[如图所示，可知OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OP ＝1＋3＝2. 又OA ＝OB ＝1，可以求得AP ＝BP ＝3，∠APB ＝60°.
故PA →·PB →＝3×3×cos 60°＝32
.] 3．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13
的两段弧？ 若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．
[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2
＝4.
得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.2分
∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，
∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*)
∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).6分
(2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，
则劣弧所对的圆心角∠MCN＝90°，
由圆C：x2＋(y－4)2＝4知圆心C(0,4)，半径r＝2.9分在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝2，
故圆心C(0,4)到直线kx－y＝0的距离|0－4|
1＋k2
＝2，
∴1＋k2＝8，k＝±7，经验证k＝±7满足不等式(*)，12分故l的方程为y＝±7x.
因此，存在满足条件的直线l，其方程为y＝±7x.15分。