高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》基础测试题附答案

【高中数学】数学高考《平面向量》复习资料

一、选择题

1．

如图，已知1OA OB ==u u u v u u

u v ，2OC =u u u v ，4

tan 3

AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，

OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+，则m

n

等于（ ）

A ．

57

B ．75

C ．

37

D ．

73

【答案】A 【解析】 【分析】

依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n 的方程，求解即可． 【详解】

以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：

因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55

AOB AOB ∠=-∠=，，

∴A （1，0），B （34

55

-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴

41

3tan θ413

--=-=7，

又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ=210，sin θ=

7210

,又2OC u u u v =C （1755，），

∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（

3455n n -，）=(m 35

n -，

45n ） 即15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =， 故选A ． 【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．

2．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r

=，那么EB EC

⋅u u u r u u u r 的值为（ ） A ．83

- B ．1- C ．1 D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】

由已知可得：7 ， 又23

tan BED 3

BD ED ∠=

==

所以22

1tan 1

cos 1tan 7

BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB

EC BEC ⎛⎫

⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭

u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．

3．如图，在ABC ∆中，12

AN NC =u u u r u u u r

，P 是线段BN 上的一点，若15AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，

则实数m 的值为（ ）

A ．

35

B ．

25

C ．

1415

D ．

910

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，以AB u u u r ，AC u u u

r 为基底表示出AP u u u r 即可得到结论. 【详解】

由题意，设()

NP NB AB AN λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r

，

所以，()

()113

AP AN NP AN AB AN AB AN AB AC λλλλλ-=+=+-=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

， 又15

AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r ，

所以，

1135λ-=，且m λ=，解得2

5

m λ==. 故选：B. 【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算的应用以及平面向量基本定理的应用，属于基础题．

4．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r

的最小值是（ ） A ．0 B ．1

C 2

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为

()

2

11a -+，由二次函数性质可得结果.

【详解】

由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r

，

,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r

， ()2

111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.

故选：B . 【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.

5．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若

(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r

，则λ＋μ的值为（ ）

A ．

6

5

B ．

85

C ．2

D ．83

【答案】B 【解析】 【分析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r

，列

出方程组求解即可. 【详解】

建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).

不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)，

(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u r

CA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q

∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，

2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得65

2

5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

则85λμ+=.

故选：B 【点睛】

本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.