组合3容斥原理鸽巢原理
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A3 A4 A5 17!
其余多于3个集合的交集都为空集。 故满足要求的排列数为：
26! (3 24! 2 22!) (22! 3 20! 2 19!) 17!
26! 3 24! 22! 3 20! 2 19! 17!
3.1
容斥原理
例6，求不超过120的素数个数。
3.2
容斥原理—应用
1. 再解错排问题
n个元素依次给以标号1，2，…，n。n个元素 的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上 的排列数。
设Ai 为元素i在第i位上的全体排列, i=1,2,…,n。
则有|U|=n!， 因元素i不能动，因而有：
Ai ( n 1)!,
i 1, 2,..., n
A B C 1
A B A C B C 2n
a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为
A B C U ( A B C ) ( A B AC B C ) A B C 4n 3 3n 3 2n 1
3.1
容斥原理
第三章 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
排列组合
容斥原理 容斥原理应用 广义容斥原理 广义容斥原理应用 鸽巢原理及其应用 Ramsay数 应用举例
3.1
容斥原理
计数问题是组合数学研究的重要问题之一。 已学过的一些计数方法：如 加法法则，母函 数方法等； 两个重要的计数原理：容斥原理和PÓlya计数 定理。
3.1
容斥原理
( iii ) －( i ) －( ii ) 得 | A B | | A| | B |
| A B | | A B | | B A | (| A B | | A B |) ( | B A | | B A |) | A B |
解：令Ai表示与第位朋友共进晚餐的日期的集合。
来自百度文库
3.1
容斥原理
3.1
容斥原理
例 9：在一个长为5 的0,1 序列中，至少有两个1 相邻的序列有多少个？
3.1
容斥原理
例 10：用三种不同颜色粉刷一长方形房间内墙 壁，使恰在每一角落处颜色都改变，有多少方案？
设A12为墙1与2涂相同颜色方案的集合 A23为墙2与3涂相同颜色方案的集合 A34为墙3与4涂相同颜色方案的集合 A41为墙4与1涂相同颜色方案的集合
3.1
容斥原理
例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化 学。已知修这三门课的学生分别有170、130、 120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修 数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门课， 问这学校共有多少学生？
解：令A为修数学的学生集合； B 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
3.1
容斥原理
A 170, B 130, C 120, A B 45 A C 20, B C 22, A B C 3
A BC A B C A B AC BC A BC
170 130 120 45 20 22 3 336
例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求 排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求 满足这些条件的排列数。 解：所有排列中，令
A1为出现dog的排列的全体；A2为出现god的排列的全体； A5为出现thing的排列的全体；
A3为出现gum的排列的全体；A4为出现depth的排列的全体；
解:因11×11=121, 故不超过120的合数必然是2、3、5、 7的倍数,而且不超过120的合数的因子不可能都超过 11. 设 Ai为不超过120的数i的倍数集，i=2,3,5,7.
120 120 120 120 A2 A A A 60， 3 3 40， 5 5 24， 7 7 17, 2
120 (60 40 24 17) (20 12 8 8 5 3) (4 2 1 1) 27.
注意：27并非就是不超过120的素数个数，因为这 里排除了2,3,5,7着四个数,又包含了1这个非素数。 2,3,5,7本身是素数.故所求的不超过120的素数个数 为：27+4-1=30.
∴| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B | 定理2
A B C A B C A B - AC B C A B C (2)
3.1
容斥原理
A∩B
U A B
A∩C
C
A∩B ∩C
B∩C
3.1
容斥原理
证明 A B C ( A B ) C
A B C ( A B) C 根据 ( A B ) C ( A C ) ( B C )
A B C A B C A B ( A C) (B C) A B C A B - A C B C A B C
n 1
A1 A2 ... An
(4)
3.1
又
容斥原理
A U A,
A1 A2 ... An U A1 A2 An U Ai Ai A j - Ai A j Ak
i 1 i 1 j i i =1 j i k j n n n
故答案是：16-3=13
3.1
容斥原理
对于求两个有限集合A和B的并的元素数目，我们有 定理1
A B A B A B
(1)
即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的 元素个数和具有性质B的元素个数减去同时具有 性质A和B的元素个数。
3.1
容斥原理
U
A∩B
A
B
3.1
容斥原理
证 若A∩B=，则 | A∪B |= |A| + |B|, 否则 | A || A ( B B ) || ( A B ) ( A B ) | 同理
120 120 A2 A3 A 20， 2 A5 10 12, 2 3 120 120 A2 A7 A 8， 3 A5 15 8， 14
3.1
容斥原理
120 120 A3 A7 A 5， 5 A7 35 3， 21 120 120 A2 A3 A5 A 4， 2 A3 A7 2 3 7 2， 2 3 5
120 A2 A5 A7 A 1， 2 A3 A5 A7 0， 2 5 7
3.1
容斥原理
A2 A3 A5 A7 120 A2 A3 A5 A7 A2 A3 A2 A5 A2 A7 A3 A5 A3 A7 A5 A7 A2 A3 A5 A2 A3 A7 A2 A5 A7 A3 A5 A7 A2 A3 A5 A7
U 26! 则 出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元 参加排列，故 A 24!
1
3.1
类似有：
容斥原理
A2 A3 24!, A4 A5 22!
A1 A2 0;
由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：
由于gum,dog可以在dogum中同时出现，故有： A1 A3 22! 类似有
A1 A4 0, A1 A5 0,
A2 A3 0, A2 A4 A2 A5 20! A3 A4 19!, A3 A5 20! A4 A5 19!
3.1
容斥原理
A1 A2 A3 A1 A2 A4 A1 A2 A5 0, A1 A3 A4 A1 A3 A5 A1 A4 A5 0, A2 A3 A4 A2 A3 A5 A2 A4 A5 0,
(1) n A1 A2 An
容斥原理指的就是（4）和（5）式。 用来计算有限集合的并或交的元素个数。
(5)
3.1
容斥原理
例3 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数.
解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集 合，B为被5除尽的数的集合
500 500 A 166, B 5 100; 3 500 A B 33 15
3.2
同理
容斥原理—应用
Ai A j (n 2)!, i 1, 2,..., n, i j
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n ! C (n,1)(n 1)! C ( n, 2)( n 2)! ( 1) n C ( n, n)1! 1 1 n 1 n !(1 (1) ) 1! 2! n!
利用数学归纳法可得一般的定理：
3.1 容斥原理
定理3 设A1,A2,…,An是有限集合，则
A1 A2 ... A n
A A A A A
i 1 i i 1 j i i j i 1 j i k j i
n
n
n
j
Ak
... ( 1)
本次课我们学习容斥原理及其应用。
3.1
容斥原理
例1 求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数。 解： 2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16， 18，20。共10个； 3 的倍数是：3，6，9，12，15，18。共 6个； 答案是10+6=16个吗？ 否！因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。
即学校学生数为336人。
3.1
容斥原理
同理可推出：
A B C D A B C D A B AC A D B C B D C D A B C A B D AC D B C D A B C D (3)
| ( A B ) | | ( A B ) |
(i)
| B || ( B A) | | (B A) |
(ii)
A B (A (B B)) (B (A A) (A B) (A B) (B A) (B A) A B A B B A (iii)
被3或5除尽的数的个数为
A B A B A B 166 100 33 233
3.1
容斥原理
例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c 都至少出现一次的符号串数目。 解：令A、B、C分别为不出现a，b，c符号的集合。 即有
U 4
n
A B C 3n
3.1
容斥原理
例7，三个0，三个1，三个2 的排列中，相同数字 不能三个相连的排列有多少？ 解：令A1表示三个0相连的排列的集合 A2表示三个1相连的排列的集合 A3表示三个相连的排列的集合
3.1
容斥原理
例 8：某人有六位朋友，他与这些朋友每一个 都一起吃过12 次晚餐，其中： 跟他们中的任意二位一起吃过6 次晚餐； 跟他们中的任意三位一起吃过4 次晚餐； 跟他们中的任意四位一起吃过3 次晚餐； 跟他们中的任意五位一起吃过2 次晚餐； 与全部朋友一起吃过1 次； 此外，自己单独在外吃晚餐8 次。 问，他共在外面吃过几次？
其余多于3个集合的交集都为空集。 故满足要求的排列数为：
26! (3 24! 2 22!) (22! 3 20! 2 19!) 17!
26! 3 24! 22! 3 20! 2 19! 17!
3.1
容斥原理
例6，求不超过120的素数个数。
3.2
容斥原理—应用
1. 再解错排问题
n个元素依次给以标号1，2，…，n。n个元素 的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上 的排列数。
设Ai 为元素i在第i位上的全体排列, i=1,2,…,n。
则有|U|=n!， 因元素i不能动，因而有：
Ai ( n 1)!,
i 1, 2,..., n
A B C 1
A B A C B C 2n
a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为
A B C U ( A B C ) ( A B AC B C ) A B C 4n 3 3n 3 2n 1
3.1
容斥原理
第三章 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7
排列组合
容斥原理 容斥原理应用 广义容斥原理 广义容斥原理应用 鸽巢原理及其应用 Ramsay数 应用举例
3.1
容斥原理
计数问题是组合数学研究的重要问题之一。 已学过的一些计数方法：如 加法法则，母函 数方法等； 两个重要的计数原理：容斥原理和PÓlya计数 定理。
3.1
容斥原理
( iii ) －( i ) －( ii ) 得 | A B | | A| | B |
| A B | | A B | | B A | (| A B | | A B |) ( | B A | | B A |) | A B |
解：令Ai表示与第位朋友共进晚餐的日期的集合。
来自百度文库
3.1
容斥原理
3.1
容斥原理
例 9：在一个长为5 的0,1 序列中，至少有两个1 相邻的序列有多少个？
3.1
容斥原理
例 10：用三种不同颜色粉刷一长方形房间内墙 壁，使恰在每一角落处颜色都改变，有多少方案？
设A12为墙1与2涂相同颜色方案的集合 A23为墙2与3涂相同颜色方案的集合 A34为墙3与4涂相同颜色方案的集合 A41为墙4与1涂相同颜色方案的集合
3.1
容斥原理
例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化 学。已知修这三门课的学生分别有170、130、 120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修 数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。 同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门课， 问这学校共有多少学生？
解：令A为修数学的学生集合； B 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
3.1
容斥原理
A 170, B 130, C 120, A B 45 A C 20, B C 22, A B C 3
A BC A B C A B AC BC A BC
170 130 120 45 20 22 3 336
例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求 排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求 满足这些条件的排列数。 解：所有排列中，令
A1为出现dog的排列的全体；A2为出现god的排列的全体； A5为出现thing的排列的全体；
A3为出现gum的排列的全体；A4为出现depth的排列的全体；
解:因11×11=121, 故不超过120的合数必然是2、3、5、 7的倍数,而且不超过120的合数的因子不可能都超过 11. 设 Ai为不超过120的数i的倍数集，i=2,3,5,7.
120 120 120 120 A2 A A A 60， 3 3 40， 5 5 24， 7 7 17, 2
120 (60 40 24 17) (20 12 8 8 5 3) (4 2 1 1) 27.
注意：27并非就是不超过120的素数个数，因为这 里排除了2,3,5,7着四个数,又包含了1这个非素数。 2,3,5,7本身是素数.故所求的不超过120的素数个数 为：27+4-1=30.
∴| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B | 定理2
A B C A B C A B - AC B C A B C (2)
3.1
容斥原理
A∩B
U A B
A∩C
C
A∩B ∩C
B∩C
3.1
容斥原理
证明 A B C ( A B ) C
A B C ( A B) C 根据 ( A B ) C ( A C ) ( B C )
A B C A B C A B ( A C) (B C) A B C A B - A C B C A B C
n 1
A1 A2 ... An
(4)
3.1
又
容斥原理
A U A,
A1 A2 ... An U A1 A2 An U Ai Ai A j - Ai A j Ak
i 1 i 1 j i i =1 j i k j n n n
故答案是：16-3=13
3.1
容斥原理
对于求两个有限集合A和B的并的元素数目，我们有 定理1
A B A B A B
(1)
即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的 元素个数和具有性质B的元素个数减去同时具有 性质A和B的元素个数。
3.1
容斥原理
U
A∩B
A
B
3.1
容斥原理
证 若A∩B=，则 | A∪B |= |A| + |B|, 否则 | A || A ( B B ) || ( A B ) ( A B ) | 同理
120 120 A2 A3 A 20， 2 A5 10 12, 2 3 120 120 A2 A7 A 8， 3 A5 15 8， 14
3.1
容斥原理
120 120 A3 A7 A 5， 5 A7 35 3， 21 120 120 A2 A3 A5 A 4， 2 A3 A7 2 3 7 2， 2 3 5
120 A2 A5 A7 A 1， 2 A3 A5 A7 0， 2 5 7
3.1
容斥原理
A2 A3 A5 A7 120 A2 A3 A5 A7 A2 A3 A2 A5 A2 A7 A3 A5 A3 A7 A5 A7 A2 A3 A5 A2 A3 A7 A2 A5 A7 A3 A5 A7 A2 A3 A5 A7
U 26! 则 出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元 参加排列，故 A 24!
1
3.1
类似有：
容斥原理
A2 A3 24!, A4 A5 22!
A1 A2 0;
由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：
由于gum,dog可以在dogum中同时出现，故有： A1 A3 22! 类似有
A1 A4 0, A1 A5 0,
A2 A3 0, A2 A4 A2 A5 20! A3 A4 19!, A3 A5 20! A4 A5 19!
3.1
容斥原理
A1 A2 A3 A1 A2 A4 A1 A2 A5 0, A1 A3 A4 A1 A3 A5 A1 A4 A5 0, A2 A3 A4 A2 A3 A5 A2 A4 A5 0,
(1) n A1 A2 An
容斥原理指的就是（4）和（5）式。 用来计算有限集合的并或交的元素个数。
(5)
3.1
容斥原理
例3 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数.
解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集 合，B为被5除尽的数的集合
500 500 A 166, B 5 100; 3 500 A B 33 15
3.2
同理
容斥原理—应用
Ai A j (n 2)!, i 1, 2,..., n, i j
每个元素都不在原来位置的排列数为
A1 A2 ... An n ! C (n,1)(n 1)! C ( n, 2)( n 2)! ( 1) n C ( n, n)1! 1 1 n 1 n !(1 (1) ) 1! 2! n!
利用数学归纳法可得一般的定理：
3.1 容斥原理
定理3 设A1,A2,…,An是有限集合，则
A1 A2 ... A n
A A A A A
i 1 i i 1 j i i j i 1 j i k j i
n
n
n
j
Ak
... ( 1)
本次课我们学习容斥原理及其应用。
3.1
容斥原理
例1 求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数。 解： 2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16， 18，20。共10个； 3 的倍数是：3，6，9，12，15，18。共 6个； 答案是10+6=16个吗？ 否！因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。
即学校学生数为336人。
3.1
容斥原理
同理可推出：
A B C D A B C D A B AC A D B C B D C D A B C A B D AC D B C D A B C D (3)
| ( A B ) | | ( A B ) |
(i)
| B || ( B A) | | (B A) |
(ii)
A B (A (B B)) (B (A A) (A B) (A B) (B A) (B A) A B A B B A (iii)
被3或5除尽的数的个数为
A B A B A B 166 100 33 233
3.1
容斥原理
例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c 都至少出现一次的符号串数目。 解：令A、B、C分别为不出现a，b，c符号的集合。 即有
U 4
n
A B C 3n
3.1
容斥原理
例7，三个0，三个1，三个2 的排列中，相同数字 不能三个相连的排列有多少？ 解：令A1表示三个0相连的排列的集合 A2表示三个1相连的排列的集合 A3表示三个相连的排列的集合
3.1
容斥原理
例 8：某人有六位朋友，他与这些朋友每一个 都一起吃过12 次晚餐，其中： 跟他们中的任意二位一起吃过6 次晚餐； 跟他们中的任意三位一起吃过4 次晚餐； 跟他们中的任意四位一起吃过3 次晚餐； 跟他们中的任意五位一起吃过2 次晚餐； 与全部朋友一起吃过1 次； 此外，自己单独在外吃晚餐8 次。 问，他共在外面吃过几次？