专题2 平面向量与复数(解析版)-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题2平面向量与复数
一、单选题
1．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）
A ．5 B
C ．
D ．5i
【答案】B 【分析】
由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】
(2)21z i i i =+=-，所以|z |=
故选：B
2．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【分析】
先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得()()()()31231717
1+21+212555
i i i i z i i i i ----=
===--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为1
7,5
5⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，在第四象限， 故选：D.
3．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1
C ．－i
D ．i
【答案】B 【分析】
1i
z i
-+=
，然后算出即可. 【详解】
由题意()111
11
i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B
4．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i
C ．76i -
D ．76i +
【答案】D 【分析】
由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果. 【详解】
()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.
故选：D . 5．已知复数5i
5i 2i
z =+-，则z =（ ）
A B ．C ．D ．【答案】B 【分析】
根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】
由题，得()()()
5i 2+i 5i
5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z ==故选：B.
6．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④z
z
，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③
【答案】D 【分析】
设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，
故2z z a R +=∈，2z z bi -=，
2222
2z a bi a b abi
z a bi a b
+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.
7．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，1
3
DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15
- B ．
15
C ．75
-
D ．7
5
【答案】B 【分析】
设AB a AD b ，==，由12BE BC =
，13DF DC =，得到1123AE a b AF a b =+=+，，结合平面向量的基本定理，化简得到1132a b a b λμλμ⎛⎫⎛⎫
-+=+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，即可求解. 【详解】
由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，
因为12BE BC =
，1
3
DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以11
23
AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-， 所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+=+=+
++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 所以113
11
2λμλμ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，所以15λμ+=。

故选：B .
【点睛】
平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
8．若点()()()1,1,2,0,3,0,1,0,1A B C --，点D 在z 轴上.且AD BC ⊥，则AD =（ ） A 2 B ．22C ．32D ．6
【答案】C 【分析】
设出D 点坐标，求得,AD BC 的坐标，根据AD BC ⊥，可求得m 值，代入求模公式，即可得答案. 【详解】
因为点D 在z 轴上，所以设(0,0,)D m ， 则(1,1,2),(1,3,1)AD m BC =--=--，
因为AD BC ⊥，所以13(2)0m +--=，解得6m =， 所以(1,1,4)AD =-，
所以111632AD =++= 故选：C
9．在ABC 中，()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，则ABC 的面积为（ ）
A ．2
B 2
C 2
D 2 【答案】C
根据()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，求得||1AB =，||2AC =，2AB AC ⋅=，
再利用 cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=
cos A ，sin A ，代入三角形面积公式
1
||sin 2
ABC
S
AB AC A =
||求解. 【详解】
因为()cos24,cos66AB =︒︒，()2cos69,2cos21AC =︒︒，
所以||1AB =，||2AC =，2cos 24cos692cos66cos 212cos 45AB AC ︒︒︒︒︒⋅=+==.
所以cos AB AC AB AC A ⋅=⋅=
所以cos A =
sin A =
.
所以ABC 的面积为1||sin 22
ABC
S AB AC A =
||=
. 故选：C
10．已知单位向量a ，b 的夹角为60︒，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．2a b + B ．2a b +
C ．2a b -
D ．2a b -
【答案】D 【分析】
先利用平面向量数量积公式求出1
2
a b ⋅=，再分别求出(2)a b b +⋅，
(2)a b b +⋅， (2)a b b -⋅， (2)a b b -⋅的值，进而可得答案. 【详解】
由已知可得：11cos 601122
a b a b ︒
⋅=⋅⋅=⨯⨯
=. A ：因为2
15
(2)221022
a b b a b b +⋅=⋅+=
+⨯=≠，2a b +与b 不垂直； B ：因为2
1
(2)221202a b b a b b +⋅=⋅+=⨯
+=≠，2a b +与b 不垂直； C ：因为213
(2)221022a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯=-≠，2a b -与b 不垂直；
D ：因为21
(2)22102
a b b a b b -⋅=⋅-=⨯-=，2a b -与b 垂直.
【点睛】
向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是向量的平方等于向量模的平方2
2
a a =.
11．已知单位向量1e 与2e 的夹角为23
π
，则向量1e 在向量2e 方向上的投影为（ ）
A ．
B ．
12
C ．12
-
D 【答案】C 【分析】
利用向量投影的定义直接求解即可 【详解】
解：向量1e 在向量2e 方向上的投影为121cos 32
e π=-. 故选：C .
12．在ABC 中，2BD DC =，则AD =（ ） A ．
12
33
AB AC + B ．
21
33
AB AC + C ．
13
44
AB AC D ．
31
44
AB AC 【答案】A 【分析】
利用向量加法的三角形法则以及向量的减法即可求解. 【详解】
()
2212
3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+.
故选：A
13．设,a b →→
是两个平面向量，则“a b →→
=”是“||||a b →→
=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【分析】
根据充分条件、必要条件的定义及向量的概念判断即可.
因为a b →→
=，则一定有||||a b →→
=， 而||||a b →→
=推不出a b →→
=，
所以“a b →→
=”是“||||a b →→
=”的充分不必要条件， 故选：A 二、填空题
14．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y 则x ，y 满足的关系式为______. 【答案】2
2
(1)1y x +-= 【分析】
设复数(,)z x yi x y R =+∈，根据1z i -=，结合复数模的运算公式，即可求解. 【详解】
由题意，设复数(,)z x yi x y R =+∈，
因为1z i -=，可得22(1)1x y +-=，整理得2
2(1)1
y x +-=，
即复数z 在复平面内对应的点为(),x y 则,x y 满足的关系式为2
2
(1)1y x +-=. 故答案为：2
2
(1)1y x +-=.
15．设i 为虚数单位，若复数228()()2z m m m i ++=--是纯虚数，则实数m =_________． 【答案】4- 【分析】
根据复数的分类，列出方程组2280
20
m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，即可求解.
【详解】
由题意，复数2
28()()2z m m m i ++=--是纯虚数，
则满足228020
m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得4m =-.
故答案为：4-.
16．设向量,OA OB 满足||=||=2OA OB ，2OA OB ⋅=，若,R m n ∈，1m n +=，则1
||||2
mAB AO BO nBA -+-的最小值为_______ .
【分析】
先由向量的数量积判断出AOB 为等边三角形，再计算出1
|||
|2
mAB AO BO nBA -+-的表达式，由1m n +=，得出1n m =-，进行代换，最后转化为点与点之间的距离，即可求得.
【详解】
解：||=||=2OA OB ，
cos 2OA OB OA OB AOB ∴⋅=⋅⨯∠=，
解得：1cos 2
AOB ∠=， 即2
AOB π
∠=
，
AOB ∴为等边三角形，
2
2
2
||2cos
4mAB AO m AB m AB AO AO π
∴-=-⋅+=，
又
1m n +=，即1n m =-，
222
11||cos 42BO nBA BO n BO BA n BA π∴-=-⋅+=，
即1
|
|4(12
BO nBA -== 1
||||2
mAB AO BO nBA -+-
= ，
上式可转化为求点与点之间的距离，
令(2,0)C m ，D ，3(2E ，
1
||||2
mAB AO BO nBA -+-即CD CE +，
又
CD CE +
的最小值为DE ==
. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是将1
||||2
mAB AO BO nBA -+-转化为求点与点之间的距离，再根据距离公式进行求解.
17．已知平面向量()10,a =
，21,2b ⎛=- ⎝⎭
，则a 与a b +的夹角为______.
【答案】
3
π
【分析】
由a ，b 的坐标形式，得到321,2a b ⎛+= ⎝⎭
，1,1a a b =+=，利用向量的数量积公式得到()
1
2a a b ⋅+=，
再根据向量的夹角公式计算可得. 【详解】
()01,a =，21,2b ⎛=- ⎝⎭，31,22a b ⎛⎫
∴+= ⎪ ⎪⎝⎭，1,1
a a
b =+=
()
11
1+022
a a
b ∴⋅+=⨯=
设a 与a b +的夹角为θ，则(
)1cos 2
a a
b a a b
θ⋅+==+，
又0θπ≤≤，所以3
π
θ=，则a 与a b +的夹角为
3
π
. 故答案为：
3
π 18．已知ABC 的重心为G ，AD AB λ=，AE AC μ=，其中0λ<，1μ≤，且D ，G ，E 共线， 则
1
1
λ
μ
+
=______．
【答案】3
【分析】
由题可得()
13AG AB AC =+，存在实数m ，使得()1AG mAD m AE =+-，由此可得()13
113m m λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=
⎪⎩
，
消去m 即可求出. 【详解】
ABC 的重心为G ，()
1
3
AG AB AC ∴=
+， D ，G ，E 共线，则存在实数m ，使得()1AG mAD m AE =+-,
()()11
1133
AB AC mAD m AE mAB m AC λμ∴+=+-=+-， ()13113m m λμ⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=
⎪⎩
，解得11133m λμ==-，
1
1
3λ
μ
∴
+
=.
故答案为：3. 【点睛】
关键点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是根据G 为中心和D ，G ，E 共线，得出
()11
133
AB AC mAB m AC λμ+=+-，进而求解. 三、解答题
19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量,2b m a c ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
和向量,2a c n b +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
互
相垂直.
（1）求角C 的大小；
（2）若ABC 外接圆的半径是1
，面积是
2
，求ABC 的周长. 【答案】（1）6
C π
=；（2
）3+【分析】
（1）由向量垂直的坐标表示知2223a b c ab +-=，结合余弦定理即可求角C ； （2）由三角形面积公式知23=ab ，结合2223a b c ab +-=求+a b ，进而可得ABC 的周长.
【详解】
（1）因为,m n 互相垂直，所以()
()3022a c b m n a c b a +=-+-=， 即2222223,3a c ab b a b c ab -=-+-=，
由余弦定理得，22233cos 2a b c ab C ab +-===， 因为0C π<<，所以6C π
=；
（2）因为13sin 26ABC S ab π==，所以23=ab . 222
3a b c ab +-=，就是2
222sin 36a b ab π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即()2213a b ab ab +--=， 因此()2
321743a b ab ab +=++=+，23+=+a b ，
故ABC 的周长是33a b c ++=+.
【点睛】
关键点点睛：由已知向量垂直，利用坐标表示整理得到关于三角形三边的关系式，再结合余弦定理求角；应用三角形面积公式、正弦定理以及完全平方公式等求三角形周长.
20．如图，方程为22x py =的抛物线C ，其上一点(),2Q a 到焦点F 的距离为3，直线AB 与C 交于A 、
B 两点（点A 在y 轴左侧，点B 在y 轴右侧），与y 轴交于D 点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若4OA OB ⋅=-，求证直线AB 过定点，并求出定点坐标；
（3）若()0,5D ，OA BF ⊥，求直线OA 的斜率t 的值.
【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析，定点为()0,2；（3）2-
【分析】
（1）本题首先可根据抛物线方程得出准线方程为2p y =-，然后根据抛物线定义得出232p +=，解得p 的值，即可得出结果；
（2）本题首先可设直线AB 的方程为y kx b =+，然后联立直线方程与抛物线方程，得出124x x k +=、124x x b =-，从而得出212y y b ，最后根据4OA OB ⋅=-即可求出b 的值以及直线经过的定点坐标； （3）本题首先可以设直线OA 的方程为y tx =，与抛物线方程联立得出()24,4A t t
，然后得出直线AB 方程，与抛物线方程联立得出2525,4B
t t
，最后根据OA BF ⊥即可求出斜率t 的值. 【详解】
（1）因为抛物线C 的方程为22x py =，
所以抛物线C 的准线方程为2p y =-， 因为抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点F 的距离为3，
所以结合抛物线定义易知，232p +
=，解得2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =，()0,1F .
（2）由题意易知直线AB 的斜率定存在，
设直线AB 的方程为y kx b =+，
联立24y kx b x y
=+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx b --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x b =-，
故22222212121244y y k x x kb x x b bk kb b b ，
因为4OA OB ⋅=-，
所以12124x x y y +=-，即2440b b -+=，解得2b =，
故直线AB 的方程为2y kx =+，过定点()0,2.
（3）设直线OA 的方程为y tx =，
联立24y tx x y
=⎧⎨=⎩，整理得240x tx ，解得0x =或4t ，()24,4A t t ， 则2454AD t K t ，直线AB 方程为24554t y x t
， 联立2245544t y x t x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩
，整理得2245200t x x t ， 解得4x t =或5t ，2525,4B t t ， 则24,4OA t t ，2525,14BF
t t ， 因为OA BF ⊥，所以2204250OA BF t ，解得5t ， 结合图像易知，52
t ，即直线OA 的斜率t 的值为2-. 【点睛】
关键点点睛：本题考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线相交的相关问题的求解，抛物线的定义为到定点和定直线的距离相等的点的轨迹，考查韦达定理的应用，考查向量数量积的坐标表示以及利用向量垂直求参数，考查计算能力，考查函数方程思想，是难题.
21．向量()2cos 2,2a x x =，()
22sin 2,1tan 2b x x =-，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的最小值，并求出()f x 取最小值时x 的值；
（2）先将函数()f x 的图像向左平移
6π个单位，再将横坐标缩短为原来的12
，纵坐标不变，得函数()g x 的图像，求()g x 的单减区间．
【答案】（1）()min 2f x =-，此时242k x ππ=-
+，k Z ∈；（2）7,448448k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈. 【分析】 （1）利用向量数量积公式，再利用降幂公式和辅助角公式化简函数()2sin 43f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，再求函数的最小值及其x 的值；（2）利用图象变换规律，求函数()g x 的解析式，再求函数的单减区间.
【详解】
（1）()()
222cos 2sin 221tan 2f x a b x x x x =⋅=⋅- )
22sin 4cos 2sin 2sin 44x x x x x =-=
2sin 43x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭， 函数的最小值是-2，当4232x k πππ-
=-+，解得：242k x ππ=-+，k Z ∈； （2）函数()f x 向左平移6π个单位后得到2sin 42sin 4633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标缩短为原来的12后得到函数()2sin 83g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭， 令3282232k x k π
π
πππ+≤+≤+，解得：7448448
k k x ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以函数的单调递减区间是7,448448k k ππππ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦
，k Z ∈. 【点睛】 方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1
ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）
平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦. 22．已知(1,0)a =，(2,1)b =
（1）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线；
（2）若23AB a b =+，BC a m b =+且A 、B 、C 三点共线，求m 的值
【答案】（1）12k =-
；（2）32
m =. 【分析】 （1）由已知求得ka b -与2a b +的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解； （2）由已知求得,AB BC 的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．
【详解】
解：（1）(1,0)a =，(2,1)b =，
(2,1)ka b k ∴-=--，2(5,2)a b +=，
又ka b -与2a b +共线，
2(2)50k ∴-+=，即12
k =-； （2）23(8,3)AB a b =+=，(21,)BC a m b m m =+=+， A 、B 、C 三点共线，
83(21)0m m ∴-+=，即32
m =
．。