巴彦淖尔市临河区2015-2016学年八年级下期中数学试卷含解析(初中 数学试卷)

2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔市临河区八年级（下）期中数学
试卷
一、单选题（本题共10题，每题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
2．下列二次根式，不能与合并的是（）
A． B． C． D．﹣
3．下列运算正确的是（）
A．﹣= B．=2 C．﹣= D．=2﹣
4．在三边分别为下列长度的三角形中，是直角三角形的是（）
A．9，12，14 B．2，，C．4，3，D．4，3，5
5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b 的面积为（）
A．4 B．6 C．16 D．55
6．如图，矩形ABCD中，AB=3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（）
A．3 B．6 C． D．
7．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD 的周长是（）
A．12 B．16 C．20 D．24
8．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．轴对称图形
9．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口3小时相距（）海
里．
A．60 B．30 C．20 D．80
10．如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为16，则BE=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共10题，每题4分，共40分）
11．﹣（）2=．
12．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前的高度是m．
13．已知直角三角形三边长分别为3，4，m，则m=．
14．若y=++2，则x y=．
15．平面直角坐标系内点P（﹣2，0），与点Q（0，3）之间的距离是．16．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为cm．
17．如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE=cm．
18．如图，折叠形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，AE是折痕，已知AB=8cm，BC=10cm．则CE=cm．
19．已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为．
20．如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．
三、计算题
21．（21分）计算：
（1）+2﹣（+）
（2）÷×
（3）（7+4）（7﹣4）
四、解答题（22题9分，23题10分，24题10分，共29分）
22．（9分）如图所示，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=
求：AC的长．
23．（10分）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E．求证：
（1）四边形OCED是菱形．
（2）连接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周长和面积．
24．（10分）已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积为．
2015-2016学年内蒙古巴彦淖尔市临河区八年级（下）期
中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共10题，每题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞0 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵使在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
2．下列二次根式，不能与合并的是（）
A． B． C． D．﹣
【考点】同类二次根式．
【分析】根据二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：A、=4，故与可以合并，此选项错误；
B、=3，故与不可以合并，此选项正确；
C、=，故与可以合并，此选项错误；
D、﹣=﹣5，故与可以合并，此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简各二次根式是解题关键．3．下列运算正确的是（）
A．﹣= B．=2 C．﹣= D．=2﹣
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的加减法对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、=，故本选项错误；
C、﹣=2﹣=，故本选项正确；
D、=﹣2，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
4．在三边分别为下列长度的三角形中，是直角三角形的是（）
A．9，12，14 B．2，，C．4，3，D．4，3，5
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、92+122=152，根据勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故选项错误；
B、（）2+（）2=5≠22，根据勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故选项错误；
C、32+（）2=14≠42，根据勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故选项错误；
D、32+42=25=52，根据勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故选项正确．
故选D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b 的面积为（）
A．4 B．6 C．16 D．55
【考点】勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定．
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【解答】解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即S b=S a+S c=11+5=16，
故选：C．
【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
6．如图，矩形ABCD中，AB=3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（）
A．3 B．6 C． D．
【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据矩形的性质推出AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，求出OA=OB，求出等边三角形AOB，推出OB=AB=3，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∵OB=BD，
∴BD=6．
故选B．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
7．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD 的周长是（）
A．12 B．16 C．20 D．24
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4BC=4×6=24．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．
8．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．轴对称图形
【考点】多边形．
【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互
相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
9．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口3小时相距（）海里．
A．60 B．30 C．20 D．80
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC=16×3=48（km），
BC=12×3km=36（km）．
则AB===60（km）
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为16，则BE=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】作BF⊥DC于F，如图，易得四边形BEDF为矩形，再证明△ABE≌△CBF =S△CBF，则可判断四边形BEDF为正方形，四边形BEDF的面积=得到BE=BF，S
△ABE
四边形ABCD的面积，然后根据正方形的面积公式计算BE的长．
【解答】解：作BF⊥DC于F，如图，
∵∠CDA=90°，BE⊥AD，BF⊥DF，
∴四边形BEDF为矩形，
∴∠EBF=90°，即∠EBC+∠CBF=90°，
∵∠ABC=90°，即∠EBC+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF，
=S△CBF，
∴BE=BF，S
△ABE
∴四边形BEDF为正方形，四边形BEDF的面积=四边形ABCD的面积，
∴BE==4．
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
二、填空题（本题共10题，每题4分，共40分）
11．﹣（）2=﹣3．
【考点】实数的运算．
【分析】直接根据平方的定义求解即可．
【解答】解：∵（）2=3，
∴﹣（）2=﹣3．
【点评】本题考查了数的平方运算，是基本的计算能力．
12．如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前的高度是16m．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
【解答】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为8m，旗杆离地面6m折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为=10m，
所以旗杆折断之前高度为10m+6m=16m．
故此题答案为16m．
【点评】本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
13．已知直角三角形三边长分别为3，4，m，则m=5或．
【考点】勾股定理．
【分析】由于不知道m为斜边还是直角边，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当m为斜边时：32+42=m2，解得：m1=5，m2=﹣5（不符合题意）；当m为直角边时：32+m2=42，解得：m1=，m2=﹣（不符合题意）．
故第三边长m为5或．
故答案是：5或．
【点评】本题考查的是勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
14．若y=++2，则x y=9．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．
【解答】解：y=有意义，
必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，
解得：x=3，
代入得：y=0+0+2=2，
∴x y=32=9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是解此题的关键．
15．平面直角坐标系内点P（﹣2，0），与点Q（0，3）之间的距离是．【考点】两点间的距离公式．
【分析】依题意得OP=2，OQ=3，在直角三角形OPQ中，由勾股定理得PQ==．【解答】解：在直角坐标系中设原点为O，三角形OPQ为直角三角形，则OP=2，OQ=3，
∴PQ==．
故答案填：．
【点评】本题充分运用平面直角坐标系的两条坐标轴互相垂直的关系，构造直角三角形，将点的坐标转化为相关线段的长度，运用勾股定理解题．
16．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 4.8cm．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边为=10，
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为×6×8=×10h，h=4.8cm，
这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．
17．如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE=2cm．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由▱ABCD和DE平分∠ADC，可证∠DEC=∠CDE，从而可知△DCE为等腰三角形，则CE=CD，由AD=BC=8cm，AB=CD=6cm即可求出BE．
【解答】解：∵▱ABCD
∴∠ADE=∠DEC
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=∠CDE
∴CD=CE
∵CD=AB=6cm
∴CE=6cm
∵BC=AD=8cm
∴BE=BC﹣EC=8﹣6=2cm．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
18．如图，折叠形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，AE是折痕，已知AB=8cm，BC=10cm．则CE=3cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据折叠的性质和勾股定理可知．
【解答】解：连接AF，EF，
设CE=x，EF=8﹣x，AF=AD=BC=10，
则在Rt△ECF中，FC=，
∴BF=10﹣，
∴在Rt△ABF中，根据勾股定理可得：
AF2=AB2+BF2；
解可得x=3，
故CE=3cm．
故答案为：3．
【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
19．已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线的长为5．
【考点】菱形的性质．
【分析】设另一条对角线长为x，然后根据菱形的面积计算公式列方程求解即可．【解答】解：设另一条对角线长为x，则
×12x=30，
解得x=5．
故答案为5．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是快速解题关键．
20．如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为5．
【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
【解答】解：如图，连接BP，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP==5，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出DQ+PQ的最小值时Q点位置是解题关键．
三、计算题
21．（21分）（2016春•临河区校级期中）计算：
（1）+2﹣（+）
（2）÷×
（3）（7+4）（7﹣4）
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算；
（3）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式=2+2﹣3﹣
=﹣；
（2）原式=
=；
（3）原式=49﹣48
=1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
四、解答题（22题9分，23题10分，24题10分，共29分）
22．如图所示，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=
求：AC的长．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【分析】如图，过A点作AD⊥BC于D点，把一般三角形转化为两个直角三角形，然后分别在两个直角三角形中利用三角函数，即可求出AC的长度．
【解答】解：过A点作AD⊥BC于D点；
在直角三角形ABD中，∠B=45°，AB=，
∴AD=AB•sin∠B=1，
在直角三角形ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD=2．
【点评】解答此类题目的关键是要通过作辅助线把三角关系转化成直角三角形的问题求解．
23．（10分）（2016春•临河区校级期中）如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E．求证：
（1）四边形OCED是菱形．
（2）连接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周长和面积．
【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．
【分析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE 是菱形，
=S矩形ABCD以及四边形OCED的面积=2S△ODC即可解决问题．（2）根据S
△ODC
【解答】解：（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∵四边形OCED是平行四边形．
∴OC=DE，OD=CE
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴CE=OC=BO=DE．
∴四边形OCED是菱形；
（2）如图，连接OE．
在Rt△ADC中，AD=4，CD=3
由勾股定理得，AC=5∴OC=2.5
=4OC=4×2.5=10，
∴C
菱形OCED
在菱形OCED中，OE⊥CD，又∵OE⊥CD，
∴OE∥AD．
∵DE∥AC，OE∥AD，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=4．
=．
∴S
菱形OCED
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．
24．（10分）（2016春•临河区校级期中）已知，如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O重合，A′B′交BC于点E，A′D′交CD于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若正方形ABCD的对角线长为4，求两个正方形重叠部分的面积为2．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BOE≌△COF，由全等三角形的性质就可以得出OE=OF；
（2）由全等可以得出S
△BOE=
S△COF，就可以得出S四边形OECF=S△BOC，S△BOC的面积就可以得出结论．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=∠OCF=45°，OB=OC，
∵正方形A'B'C'D'的A'B'交BC于点E，A'D'交CD于点F．
∴∠EOF=90°
∵∠BOE=∠EOF﹣∠EOC=90°﹣∠EOC
∠COF=∠BOC﹣∠EOC=90°﹣∠EOC
∴∠BOE=∠COF．
在△OBE和△OCF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF；
（2）解：∵△BOE≌△COF，
∴S
△BOE=
S△COF
∴S
△EOC +S
△COF
=S△EOC+S△BOE，
即S
四边形OECF
=S△BOC．
∵S
△BOC
=2，
∴两个正方形重叠部分的面积为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等得出OE=OF是关键．。