高中数学第二章变化率与导数2.2导数的几何意义2.2.2导数的几何意义课件北师大版选修2_2

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=
4������,
得k=f'(x0)=4x0.
根据题意 4x0=8,x0=2,代入 8x-y-15=0 得 y0=1.
故所求切点为 P(2,1),a=2x02 − ������0 = 7.
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D 典例透析 IANLI TOUXI
f'(x0)=
lim
Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
������x →0
[2(������+������)2-������]-(2������2-������) ������
=
lim (4������
Δ ������ →0
+
2������)
y=
1 2
������
+
2,
则������(1) + ������′(1) =
.
解析:由导数的几何意义得
f'(1)=
1 2
,
由点M
在切线上得
f(1)=
1 2
×
1
+
2
=
5 2
,
所以f(1)+f'(1)=3.
答案:3
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D 典例透析 IANLI TOUXI
A.f'(x0)=2
B.f'(x0)=-2
C.f'(x0)=1
D.f'(x0)不确定
答案:A
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S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
3若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
=
5
+
3������,
当Δx
趋于
0
时,5+3Δx趋于5,所以曲线y=3x2-x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
所以切线方程为y-2=5(x-1),
即5x-y-3=0.
反思求曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤: (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0); (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).
=
������,

������
=
1. 又(0,b)在切线上,∴b=1.
答案:A
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1
2
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4
5
4
已知函数
y=f(x)的图像在点
M(1,f(1))处的切线方程是
f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
【做一做】
曲线
y=
1 2
������2

2

1,-
3 2
处的切线的倾斜角为
________________.
答案:45°
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2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
所以所求切线的方程为 y-1=3(x-1),
即 3x-y-2=0.
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题型一 题型二 题型三
错因分析:在求切线方程时,一定要注意是求过某点的切线方程
还是求在某点处的切线方程.前者可能会有多个结果,而后者通常
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1若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 ( )
A.不存在
B.与x轴平行或重合
C.与x轴垂直 D.与x轴斜交
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题型一 题型二 题型三
解:设切点坐标为(x0,y0),则
Δy=2(x0+Δx)2+1-2������02
-1=4x0·Δx+2(Δx)2,∴ΔΔ������������=4x0+2Δx,∴Δl���i���m→0
解析:∵f'(x0)=0,∴曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率为0.
答案:B
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2若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x-y+1=0,则( )
=
-1 2(2+������)
+
1.

Δx
趋于
0时,
-1 2(2+������)
+
1
趋于
34,
故曲线在点 A 处的切线的斜率为 34.
(2)切线方程为
y−
5 2
=
3 4
(������

2),
即3x-4y+4=0.
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ANLI TOUXI
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题型一 题型二 题型三
【变式训练 1】
已知曲线
y=f(x)=x+
1 ������
上一点������
2,
5 2
,
用导数的定义求:
(1)曲线在点 A 处的切线的斜率;
A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1
解析:∵f'(0)=
lim
Δ������→0
(0+������x)2+������(0+������x)+b-b ������x
=
������������������ (������
������x →0
+
������)
������y ������x
=
������������������
������x→0
(4x0+2Δx)=4x0,即
f '(x0)=4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°,∴斜率为 tan 45°=1,即
f'(x0)=4x0=1,得 x0=14,将其代入 y=2x2+1,得 y0=98,故切点坐标为
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题型一
题型二
题型三
题型一
求切线的方程
【例1】 已知曲线y=3x2-x,求曲线在点A(1,2)处的切线斜率及切线 方程.
分析:求曲线在某点处的切线斜率就是求函数在这一点处的导数值.
解:因为
������ ������
=
3(1+Δ������)2-(1+Δ������)-(3×12-1) Δ������
所以切线方程为
y-1=3(x-1)或
y+
1 8
=
3 4
x
+
1 2
.
即 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0.
题型一 题型二 题型三
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反思求曲线的切线方程,必须弄清楚是求曲线在某点处的切线还 是求过曲线上某点的切线,不同的设问求解方法不同.
=
������(������0
+
ΔΔ������������)-������(������0).
当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转 动,最后趋于直线l.直线l和曲线在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x) 在点A处的切线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
������
=
(Δ ������)3+ 3(Δ ������)2+3Δ ������ Δ������
=(Δx)2+3Δx+3.
所以 lim
Δ ������→0
������y ������x
=
������������������ [(Δx)2+3Δx+3]=3,
������x→0
即 f'(1)=3.
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题型一 题型二 题型三
题型二 求切点的坐标
【例2】 已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件,请求出切点的 坐标.
(1)切线的倾斜角为45°; (2)切线平行于直线4x-y-2=0; (3)切线垂直于直线x+8y-3=0. 分析:利用导数的几何意义求解.
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1 4
,
9 8
.
(2)∵抛物线的切线平行于直线 4x-y-2=0,∴切线斜率 k=4,即
f'(x0)=4x0=4,得 x0=1,将其代入 y=2x2+1,得 y0=3.故切点坐标为(1,3).
(3)∵抛物线的切线与直线 x+8y-3=0 垂直,∴切线斜率 k 满足
k
·-
1 8
=-1,即 k=8.故 f'(x0)=4x0=8,得 x0=2.将其代入 y=2x2+1,得 y0=9.
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1
2
3
4
5
5
曲线
f(x)=
2 ������
在点(−2,
−1)处的切线方程为_________
.
解析:f'(-2)=
lim
Δ������→0
f(-2+������x)-f(-2) ������x
只有一个结果.
正解:设切点坐标为(x0, ������03).

������ ������
=
������(������0
+
������)-������(������0) ������
=
(������)3
+
3(Δ������)2·������0 Δ������
+
3Δ������·������02
(2)曲线在点 A 处的切线方程.
解:(1)因为
Δy=f(2+Δx)-f(2)=2+Δx+
1 2+������

2
+
1 2
=
-������ 2(2+������)
+
������,
所以
������ ������
=
-������ 2������(2+������)
+
������ ������
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1.割线斜率与切线斜率
设函数y=f(x)的图像是一条光滑的曲线,如图所示,AB是过点
A(x0,f(x0))与点B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线,此割线的斜率是
������ ������
=(Δx)2+3x0Δx+3������02 .
所以 lim
Δ������→0
������y ������x
=
3x02 ,
即f'(x0)=3x02.
故切线方程为 y−x03 = 3x02(������ − ������0). 而该切线经过点(1,1),
所以 1−x03 = 3x02(1 − ������0), 解得x0=1 或 x0=− 12.
2.2 导数的几何意义
-1-
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1.理解曲线的切线的概念;理解导数的几何意义. 2.会求曲线上某点处的切线方程.
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故切点坐标为(2,9).
题型一 题型二 题型三
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反思解此类问题的步骤为:
(1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求切线的斜率f'(x0); (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (4)由y0=f(x0),求得切点坐标.
题型一 题型二 题型三
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【变式训练2】 已知曲线y=f(x)=2x2-a在点P处的切线方程为
12x-y-35=0,求切点P的坐标及a的值.
解:设切点
P(x0,y0),由
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题型一 题型二 题型三
题型三 易错辨析
易错点:在求过某点的切线方程时,以为该点就是切点而致错
【例 3】 求过曲线 y=f(x)=x3 上的点(1,1)的切线方程.
错解因为 Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1
=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,
所以Δ������
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