江苏省连云港市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(含答案解析)

江苏省连云港市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，正确的是（ ）
A 2=-
B 9=
C ．3=-
D 3=- 2．从2019年末到2020年5月2日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到3315003人，将数据3315003四舍五入精确到万位，用科学记数法表示为（ ） A ．332×104 B ．3.31×106 C ．3.32×106 D ．3.315×106 3．若点P （x, y ）在第二象限，且2,3x y ==，则x + y =（ ）
A ．－1
B ．1
C ．5
D ．－5
4．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5．已知一次函数(12)3y m x =+-，函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么t 的取值范围是（ ）
A ．12m ≤-
B ．12m ≥-
C ．12m <-
D ．12m >- 6．如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，F 是高AD 和B
E 的交点，CD=4，则线段D
F 的长度为( )
A ．
B ．4
C ．
D ． 7．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得AD
E ，则DE 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y （米）与火车行驶时间x （秒）之间的关系用图像描述如图所示，有下列结论：①火车的速度为30米/秒；②火车的长度为120米；③火车整体都在隧道内的时间为35秒；④隧道长度为1200米．其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．③④
D ．①③④
二、填空题
9________．
10．已知点M （x,3）与点N （－2，y ）关于x 轴对称，则3x+2y= ．
110，2π，370.20202中，无理数有_____个．
12．已知实数x ，y 满足30x -+
=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是_____．
13．如图，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =.若点P '是ABC 外的一点，且P AB PAC '≌△△，则APB ∠的度数为_____．
14．如图，直角坐标系中，直线2y x =+和直线y ax c =+相交于点(),3P m ，则方程组2y x y ax c =+⎧⎨=+⎩
的解为__________．
15．如图，已知点()1,0C -，直线4y x =+与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OB 上的动点，则CDE 周长的最小值是______．
16．如图，正方形ABCD 的边长为2，A 为坐标原点，AB 和AD 分别在x 轴、y 轴上，点E 是BC 边的中点，过点A 的直线y kx =交线段DC 于点F ，连接EF ，若FA 平分DFE ∠，则k 的值为__________．
三、解答题
17．计算：02020+ 18．求下列各式中的x ：
（1）()21144
x -=； （2）()38127x +=.
19．已知1y -与3x +成正比例且1x =-时，5y =．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若点(),3m 在这个函数的图象上，求m 的值．
20．课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm ，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a 的大小（每块砖的厚度相等）．
21．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B ，点A 表示，设点B 所表示的数为m ．
（1）求11m m ++-的值；
（2）在数轴上还有C 、D 两点分别表示实数c 和d ，且有2c d +数，求23c d -的平方根．
22．为了做好开学准备，某校共购买了20桶A 、B 两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学．已知A 种消毒液300元/桶，每桶可供2 000米2的面积进行消杀，B 种消毒液200元/桶，每桶可供1 000米2的面积进行消杀．
（1）设购买了A 种消毒液x 桶，购买消毒液的费用为y 元，写出y 与x 之间的关系式，并指出自变量x 的取值范围；
（2）在现有资金不超过5 300元的情况下，求可消杀的最大面积．
23．如图，在等边ABC 中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边且在CD 下方作等边CDE △，连接BE ．
（1）求证：≌ACD BCE ；
（2）延长BE 至Q ，P 为BQ 上一点，连接CP 、CQ 使5CP CQ ==，若8BC =时，求PQ 的长．
24．如图，直线AD ：y 1=k 1x+b 1过点A （0，4），D （4，0），直线BC ：y 2=k 2x+b 2过点C （﹣2，0），且与直线AD 交于点B ，且点B 的横坐标为a （a >0）．
（1）当a=1时，求直线BC 的解析式；
（2）在（1）的条件下，请直接写出k 1x+b 1>k 2x+b 2时，对应的x 的取值范围；
（3）设△ABC 的面积为S ，用含a 的代数式表示S ，并求出当直线CB 把△ACD 的面积分为1：2的两部分时，对应a 的值．
25．甲、乙两车分别从相距480千米的A 、B 两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C 地，甲车到达C 地停留1小时，因有事按原路原速返回A 地.乙车从B 地直达A 地，两车同时到达A 地.甲、乙两车距各自出发地的路程y （千米）与甲车出发后所用的时间x （时）的函数图象如图所示．
（1）求t 的值；
（2）求甲车距它出发地的路程y 与x 之间的函数关系式；
（3）求两车相距120千米时乙车行驶的时间．
26．如图1所示，直线:5l y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．
（1）当OA OB =时，求直线l 的解析式；
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 线段AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于点M ，BN OQ ⊥于点N ，若4AM =，BN=3，求MN 的长；
（3）如图3，当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF 和等腰直角ABE △，连接EF 交y 轴于P 点，当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想ABP △的面积是否改变；若不改变，请求出其值；若改变，请说明理由．
（4）如图3，当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，以AB 为边，点B 为直角顶点，在第二象限作等腰直角ABE △，则动点E 在直线______上运动．（直接写出直线的解析式）
参考答案
1．C
【分析】
根据算术平方根，平方根的定义求出即可．
【详解】
解：A 2==，结果是2，故本选项错误；
B =，结果是3，故本选项错误；
C 、3=-，结果是-3，故本选项正确；
D
故选择：C ．
【点睛】
此题考查的是求平方根、算术平方根，掌握算术平方根，平方根是解决此题的关键． 2．C
【分析】
先将原数精确到万位得3320000，再用科学记数法的方法表示为10n a ⨯的形式，a 是大于等于1小于10的数．
【详解】
解：∵3315003≈3320000，∴3320000=3.32×
106． 故答案为：C ．
【点睛】
本题考查近似数和科学记数法，解题的关键是掌握取近似数的方法和科学记数法的表示方法． 3．B
【分析】
先根据第二象限点坐标符号特点可得0,0x y <>，再化简绝对值可得x 、y 的值，然后代入即可得．
【详解】
点(,)P x y 在第二象限，
0,0x y ∴<>，
又2,3x y ==，
2,3x y ∴=-=，
231x y ∴+=-+=，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了第二象限点坐标符号特点、化简绝对值，熟练掌握第二象限点坐标符号特点是解题关键．
4．B
【分析】
根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．
【详解】
已知直线y =kx +b 经过第一、二、四象限，则得到k ＜0，b ＞0，那么直线y =bx +k 经过第一、
三、四象限．即不经过第二象限．
故选B ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y =kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；
k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b =0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．
5．C
【解析】
解：由题意得：1+2m ＜0，解得：m ＜12
-
．故选C ． 6．B
【分析】
求出AD ＝BD ，根据∠FBD ＋∠C ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，推出∠FBD ＝∠CAD ，根据ASA 证△FBD ≌△CAD ，推出CD ＝DF 即可．
【详解】
解：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，
∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABC，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDF中
CAD DBF AD BD
FDB ADC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=4，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．
7．B
【分析】
由勾股定理求出AC＝10，求出BE＝4，设DE＝x，则BD＝8−x，得出（8−x）2＋42＝x2，解方程求出x即可得解．
【详解】
∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴
10 ==，
∵将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，
∴AC＝AE＝10，DC＝DE，
∴BE＝AE−AB＝10−6＝4，
在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8−x，∵BD2＋BE2＝DE2，
∴（8−x）2＋42＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝5．
故选B．
【点睛】
本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．B
【分析】
根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．
【详解】
在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故①正确；
火车的长度是150米，故②错误；
整个火车都在隧道内的时间是：45−5−5＝35秒，故③正确；
隧道长是：45×30−150＝1200（米），故④正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，是解题的关键．
9．3
【分析】
根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】
，
9
3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x 叫做a的算术平方根．
10．-12．
【分析】
根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数分别求出x 、y 的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
【详解】
解：∵点M （x ，3）与点N （-2，y ）关于x 轴对称，
∴x=-2，y=-3，
∴3x+2y=3×（-2）+2×（-3）=-6-6=-12．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解答关键是根据数形结合思想解题． 11．2
【分析】
根据无理数的定义，即可求解．
【详解】
0，2π，370.202022
π是无理数， ∴无理数有2个，
故答案是：2．
【点睛】
本题主要考查无理数的定义，掌握无理数的三种形式：①含π的数，②开不尽方的数，③人为构造有规律的无限不循环小数，是解题的关键．
12．15
【分析】
根据绝对值及二次根式的非负性可得出x 、y 的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论．
【详解】
∵实数x ，y 满足30x -=，
∴x ＝3，y ＝6，
∵3、3、6不能组成三角形，
∴等腰三角形的三边长分别为3、6、6，
∴等腰三角形周长为：3＋6＋6＝15，
故答案是：15．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．
13．150°
【分析】
由P AB PAC '≌△△可知：PA ＝P ′A ，∠P ′AB ＝∠PAC ，BP ′=CP ，然后依据等式的性质可得到∠P ′AP ＝∠BAC ＝60°，从而可得到△APP ′为等边三角形，可求得PP ′，由△APP ′为等边三角形，得∠APP ′＝60°，在△PP ′B 中，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P ′PB ＝90°，进而可求∠APB 的度数．
【详解】
连接PP ′，
∵P AB PAC '≌△△，
∴PA ＝P ′A=6，∠P ′AB ＝∠PAC ，BP ′=CP=10，
∴∠P ′AP ＝∠BAC ＝60°，
∴△APP ′为等边三角形，
∴PP ′＝AP ＝AP ′＝6，
又∵8PB =，
∴PP ′2＋BP 2＝BP ′2，
∴△BPP ′为直角三角形，且∠BPP ′＝90°
∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，
故答案是：150°
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得△APP ′为等边三角形、△BPP ′为直角三角形是解题的关键．
14．13x y =⎧⎨=⎩
【分析】
根据题意，将(),3P m 代入2y x =+中求出m 即可得到方程组的解.
【详解】
将(),3P m 代入2y x =+中得32m =+，则1m =
∴()1,3P
∵直线2y x =+和直线y ax c =+相交于点(),3P m
∴2y x y ax c
=+⎧⎨=+⎩的解为13x y =⎧⎨=⎩. 故答案为：13x y =⎧⎨
=⎩
. 【点睛】
本题主要考查了一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系，熟练掌握相关知识是解决本题的关键.
15【分析】
根据题意和最短路线问题，作出点C 关于之间AB 和y 轴的对称点，可知点C 到AB 上任意一点的长度与它关于直线AB 的对称点到这点的距离相等，从而可以得到CDE 周长的最小值就是线段12C C 的长度．
【详解】
作点C 关于直线AB 的对称点1C ，作点C 关于y 轴的对称点2C ，连接12C C ，
则CDE 周长的最小值就是线段12C C 的长度，
点()1,0C -，直线AB 的解析式为4y x =+，
45BAO ∴∠=，点()4,0A -，
3AC ∴=，
∴点C 到直线AB 的距离为2
， ∴点1C 的坐标为()4,3-，
点()1,0C -，
2C ∴的坐标为()1,0，
∴
线段12C C =
即CDE
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、轴对称-最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，作出相应的辅助线，利用数形结合的思想解答．
16．1或3
【分析】
分两种情况：①当点F 在DC 之间时，作出辅助线，求出点F 的坐标即可求出k 的值；②当点F 与点C 重合时求出点F 的坐标即可求出k 的值．
【详解】
解：①如图，作AG ⊥EF 交EF 于点G ，连接AE,
∵AF 平分∠DFE,
∴DA=AG=2,
在Rt △ADF 和Rt △AGF 中，
DA AG AF AF =⎧⎨=⎩
∴ Rt △ADF ≌Rt △AGF (HL)
∴DF=FG,
∴点E 是BC 边的中点，
∴
BE=CE=1 ,
1AE GE ∴==∴==∵在 Rt △FCE 中，EF 2= FC 2+CE 2，
即(DF+1)2=(2-DF)2+1，
解得：DF=
23， ∴点F (23
，2) 把点F 的坐标代入y kx =得：2=
23k ，解得k=3 ②当点F 与点C 重合时，
∵四边形ABCD 是正方形，∴AF 平分∠DFE
∴F (2， 2)
把点F 的坐标代入y kx =得： 2=2k ，解得k=1
故答案为：1或3
【点睛】
本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质定理，及勾股定理，解题的关键是分两种情况求出k.．
17．52
【分析】
先算零次幂，算术平方根，立方根，再算加减法，即可求解．
【详解】
原式=115(3)2++--
=52
． 【点睛】
本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握零次幂，算术平方根，立方根的概念，是解题的关键．
18．（1）x 1=5，x 2=-3；（2）12x =
【分析】
（1）先方程两边同乘4，再开平方，即可求解；
（2）先方程两边同除以8，再开立方，即可求解．
【详解】
（1）()21144
x -= ()2116x -=
x-1=±4
∴x 1=5，x 2=-3；
（2）()3
8127x += ()32718
x += 312
x +=
∴12x =． 【点睛】
本题主要考查解方程，掌握开平方和开立方运算，是解题的关键．
19．（1）y ＝2x ＋7；（2）−2
【分析】
（1）根据y−1与x ＋3成正比例，设y−1＝k （x ＋3）（k ≠0），再把当x ＝−1时，y ＝5代入，求出k 的值即可；
（2）把y ＝3代入（1）中的函数式，即可求得m 的值．
【详解】
（1）∵y−1与x ＋3成正比例，
∴设一次函数的关系式为：y−1＝k （x ＋3）（k ≠0），
把当x ＝−1时，y ＝5代入得：5−1＝k （−1＋3），
解得k ＝2，
∴y 与x 之间的函数关系式为：y−1＝2（x ＋3），即y ＝2x ＋7；
（2）把x ＝m ，y ＝3代入y ＝2x ＋7得：3＝2m ＋7，解得m ＝−2．
【点睛】
本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键，此类方法是求函数解析式常用的方法．
20．（1）证明见解析；（2）5cm ．
【分析】
（1）根据题意可知AC=BC ，∠ACB=90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，
再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC ，从而得到结论；
（2）根据题意得：AD=4a ，BE=3a ，根据全等可得DC=BE=3a ，由勾股定理可得（4a ）2+（3a ）2=252，再解即可．
【详解】
（1）根据题意得：AC=BC ，∠ACB=90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC ，
在△ADC 和△CEB 中，
ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；
（2）由题意得：AD=4a ，BE=3a ，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
考点1.：全等三角形的应用2.勾股定理的应用．
21．（1）2；（2）±4
【分析】
（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可；
（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根．
【详解】
（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0，
∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2；
+
（2）∵2c d
+，
∴2c d
∴|2c＋d|＝0且0，
解得：c＝2，d＝−4，
∴2c−3d＝16，
∴2c−3d的平方根为±4．
【点睛】
本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．
x+(0<x<20，且x为整数）；（2）当x取最大值13时，最大消杀面积为22．（1）y=1004000
33000m2
【分析】
（1）根据题意中的等量关系列出解析式即可；
（2）先根据已知条件得出x 的取值范围，然后由题意得出关于消杀面积的解析式，即可求得最大面积．
【详解】
解：（1）300200(20)y x x =+-
=3004000200x x +-
=1004000x +(0<x <20，且x 为整数）；
（2）由题意可得0<<2010040005300x x ⎧⎨+≤⎩
， 解得:013x <≤，
设消杀的面积为w m 2，
则20001000(20)w x x =+-
2000200001000x x =+-
100020000x =+
∵10000k =>
∴w 随x 的增大面增大，
∴当x 取最大值13时，最大消杀面积为1000×
13+20000=33000m 2． 【点睛】
本题考查了一次函数的应用，不等式组的应用，根据题意找出等量关系是解题关键． 23．（1）见详解；（2）6
【分析】
（1）由△ABC 与△DCE 是等边三角形，可得AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，
又由∠ACD ＋∠DCB ＝∠ECB ＋∠DCB ＝60°，即可证得∠ACD ＝∠BCE ，所以根据SAS 即可证得△ACD ≌△BCE ；
（2）首先过点C 作CH ⊥BQ 于H ，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC ＝30°，则根据等腰三角形“三线合一”与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长．
【详解】
（1）证明：ABC 和CDE △均为等边三角形，
∴AC BC =，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
∵60ACD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠=︒，
∴ACD BCE ∠=∠，
∴≌ACD BCE ；
（2）过点C 作CH ⊥BQ 于H ，
∵△ABC 是等边三角形，AO 是角平分线，
∴∠DAC ＝30°，
∵△ACD ≌△BCE ，
∴∠PBC ＝∠DAC ＝30°，
∴在Rt △BHC 中，CH ＝12BC ＝12
×8＝4， ∵PC ＝CQ ＝5，CH ＝4，
∴PH ＝QH 3=，
∴PQ ＝6．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
24．（1）22y x =+；（2）1x <；（3）3S a =，
43或83
【分析】
（1）先求出直线AD 的解析式，再求得B 点的纵坐标，再代入求得直线BC 的解析式；
（2）根据一次函数的增减性，并结合函数图象可以求得不等式的解集；（3）分两种情况分别求出△ABC的面积函数关系式．
【详解】
(1)由题意得：直线AD过点A(0，4)，D(4，0)，
∴4=b1；0=4k1+b；解得：k1=−1；b1=4．
∴直线AD的解析式为y1=−x+4
又因为点B在AD上，且B点的横坐标为a=1，所以纵坐标为3，即B(1，3) 由题意的直线BC过点B(1，3)，C(−2，0)
∴3=k2+b2；0=−2k2+b2解得：k2=1；b2=2．
∴直线BC的解析式为y2=x+2
(2)因为直线AD与直线BC相交于点B(1，3)
由图象得：k1x+b1>k2x+b2时x的取值范围为x<1．
(3)△ABC的面积计算有两种形式，分别为点B在AD中间、在点D下方．
①当点B在点A和点D中间，即0<a<4时，：S△ABC=S△ACD−S△BCD
∴S=1
2
×6×4−
1
2
×6×(−a+4)=3a
②当点B在点D下方，即a⩾4时，：S△ABC=S△ACD+S△BCD
∴S=1
2
×6×4+
1
2
×6×[−(−a+4)]=3a
综上所述得：S=3a
当直线CB把△ACD的面积分为1：2两部分时，即B点在点A和点D中间时．此时S△ABC=3a，S△ACD=12．
当S△ABC：S△ACD=1：3时，即3a：12=1：3，∴a=4
3
；
当S△ABC：S△ACD=2：3时，即3a：12=2：3，∴a=8
3
．
【点睛】
本题是一次函数的综合应用．综合性较强，注意第（3）题分两种情况分别求出△ABC的面积函数关系式．
25．（1）3；（2）
()
()
()
12003
36034
12084047
x x
y x
x x
⎧≤≤
⎪
=<≤
⎨
⎪-+<≤
⎩
；（3）
8
3
小时、4小时或6小时．
【分析】
（1）根据函数图象中的数据先求出乙车的速度，从而可以得到甲车从开始到返回A地用的时间，从而可以求得t的值；
（2）根据题意和函数图象中的数据，可以求得各段甲车距它出发地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得两车相距120千米时，乙车行驶的时间．【详解】
（1）由函数图像得：乙车的速度为：60÷1=60（千米/小时），
甲车从A地出发至返回A地的时间为：（480−60）÷60＝420÷60＝7（小时），
∴t＝（7−1）÷2＝3，
即t的值是3；
（2）当0≤x≤3时，设y与x的函数关系式为y＝kx，
则360＝3k，解得k＝120，
∴当0≤x≤3时，y与x的函数关系式为：y＝120x，
当3＜x≤4时，y＝360，
当4＜x≤7，设y与x的函数关系式为：y＝ax＋b，
则
4360 70
a b
a b
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，
解得：
120
840
a
b
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴当4＜x≤7，y与x的函数关系式为：y＝−120x＋840，
由上可得，y与x的函数关系式为：
()
()
()
12003
36034
12084047
x x
y x
x x
⎧≤≤
⎪
=<≤
⎨
⎪-+<≤
⎩
；
（3）设乙车行驶的时间为m小时时，两车相距120千米，
乙车的速度为60千米/小时，甲车的速度为360÷3＝120（千米/小时），
甲乙第一次相遇前，60＋（60＋120）×（m−1）＋120＝480，得m＝8
3
，
甲乙第一次相遇之后，60＋（60＋120）×（m−1）＝480＋120，得m＝4，
甲车返回A地的过程中，当m＝5时，两车相距5×60-（480-360）＝180（千米），∴（120−60）×（m−5）＝180−120，
得m＝6，
答：两车相距120千米时乙车行驶的时间是8
3
小时、4小时或6小时．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
26．（1）y＝x＋5；（2）7；（3）ABP
△的面积不改变，25
4
；（4）y=5-x．
【分析】
（1）令y＝0可求得x＝−5，从而可求得点A的坐标，令x＝0得y＝5m，由OA＝OB可知点B的纵坐标为5，从而可求得m的值；
（2）依据AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质可知ON＝AM，OM＝BN，最后由MN＝AM＋BN可求得MN的长；
（3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，从而得到BG＝5，然后证明
△BFP≌△GEP，从而得到BP＝GP＝1
2
BG，进而求出ABP
△的面积；
（4）由△ABO≌△BEG，得BG＝AO＝5，OB＝EG=5m（m＞0），从而得到点E的坐标，进而即可得到答案．
【详解】
（1）令y=0，代入5y mx m =+，得05mx m =+，解得：x=-5，
令x=0，代入5y mx m =+，得y=5m ，
∴A （−5，0），B （0，5m ），
∵OA ＝OB ，
∴5m ＝5，即m ＝1．
∴直线l 的解析式为：y ＝x ＋5；
（2）∵AM ⊥OQ ，BN ⊥OQ ，
∴∠AMO ＝∠BNO ＝90°，
∴∠AOM ＋∠MAO ＝90°，
∵∠AOM ＋∠BON ＝90°，
∴∠MAO ＝∠NOB ，
在△AMO 和△ONB 中，
AMO BNO MAO NOB OA OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AMO ≌△ONB ，
∴ON ＝AM ，OM ＝BN ．
∵AM ＝4，BN ＝3，
∴MN ＝AM ＋BN ＝7；
（3）ABP △的面积不改变，理由如下：
如图3所示：过点E 作EG ⊥y 轴于G 点，连接AP ，
∵△AEB 为等腰直角三角形，
∴AB ＝EB ，∠ABO ＋∠EBG ＝90°，
∵EG ⊥BG ，
∴∠GEB ＋∠EBG ＝90°．
∴∠ABO ＝∠GEB ．
在△ABO 和△EGB 中，
EGB BOA ABO GEB AB EB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△ABO ≌△BEG ，
∴BG ＝AO ＝5，OB ＝EG ，
∵△OBF 为等腰直角三角形，
∴OB ＝BF ，
∴BF ＝EG ．
在△BFP 和△GEP 中，
EGP FBP EPG FPB EG BF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△BFP ≌△GEP ，
∴BP ＝GP ＝
12BG ＝52
， ∴ABP △的面积=12BP ∙OA=12×52×5=254； （4）由（3）可知：△ABO ≌△BEG ，
∴BG ＝AO ＝5，OB ＝EG=5m （m ＞0）
∴OG=5+5m ，
∵点E 在第二象限，
∴点E （-5m ，5+5m ），
设x=-5m ，y=5+5m ，
∴y=5-x ，即动点E 在直线y=5-x 上运动，
故答案是：y=5-x ．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像和性质与几何图形的综合，添加合适的辅助线构造“一线三直角”全等三角形模型，是解题的关键．。