长沙市长郡中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试卷

长郡中学2021-2022学年度高一第一学期入学考试
数学
时量：90分钟满分：100分
得分：
一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．使分式
13
m m --在实数范围内有意义，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m ≠B ．3m ≠C ．3m ≠且1m ≠D ．1m = 2．如图，在数轴上，点A 、B 分别表示a 、b ，且a+b=0，若AB=6，则点A 表示的数为（ ）
A ．3-
B ．0
C ．3
D ．6-
3．下列计算正确的是（ ）
A ．()a b c a b c -+=-+
B ．2222a a a +=
C ．()2211x x =++
D ．()222442216ab a b a ⋅-=-
4．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A ．()()2339x x x +-=-
B ．()2
2121x x x x --=-- C ．()22211x x x -+=-D ．2323248b a b a =⋅
5．把直线3y x =-向上平移2个单位后所得直线的表达式为（ ）
A ．32y x =-+
B ．32y x =--
C ．36y x =-+
D ．36y x =--
6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
7．把直线a 沿箭头方向水平平移2cm 得直线b ，这两条直线之间的距离是（ ）
A ．0.75 cm
B ．0.8cm
C ．1cm
D ．1.5 cm
8．若关于x 的不等式组()2140
x x a ->⎧⎪⎨->⎪⎩的解集为3x >，那么a 的取值范围是（ ） A ．3a >B ．3a <C ．3a ≥D ．3a ≤
10．在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，AB 的长是方程29200x x -+=的一个根，则△ABC 的周长为（ ）
A ．16
B ．16或18
C ．17
D ．18
11．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A 、B 两点，P 是线段AB 上任意一点（不
包括端点），过点P 分别作两坐标轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形的周长为，则线段
OP 的最小值为（ ）
A
．2
B ．1C
D ．2 第11题图 第12题图
12．如图，大半圆中有n 个小半圆，若大半圆弧长为L 1，n 个小半圆弧长的和为L 2，大半圆的弦AB ，BC ，CD 的长度和为L 3．则（ ）
A ．L 1=L 2＞L 3
B ．L 1=L 2＜L 3
C ．无法比较L 1、L 2、L 3间的大小关系
D ．L 1＞L 3＞L 2
13．已知ab=1，M=1111a b +++，N=11a b a b
+++，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M=ND ．无法确定 14．已知二次函数()2110y x =--+，当m x n ≤≤，且0mn <时，y 的最小值为2m ，y
的最大值为2n ，则m+n 的值为（ ）
A ．3
B ．52
C ．2
D ．32
15．如图，小亮同学用绘画的方法，设计了一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图△ABC 的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．25
B ．26
C ．30
D ．39
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
16．已知反比例函数31k y x
-=的图象在第一、三象限内，则k 的取值范围是． 17．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，∠P=70°，C 为弧AB 上一点，则∠ACB 的度数为．
第17题图 第18题图 第20题图
18．将4张长为a 、宽为b （a b >）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为S 1，阴影部分的面积之和为S 2，若1253S S =，则a b
的值为．
19．已知关于x 的方程()()21210a x x a -+-+=的根都是整数，那么符合条件的a 的值为．
20．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC=135°，
AB=，BC=3．在AD 、CD 上分别找一点E 、F ，使得△BEF 的周长最小，则△BEF 周长的最小值为．
三、解答题：本题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21．（1）解不等式组：3511343
x x x -≤⎧⎪-⎨<⎪⎩；
（2）先化简，再求值：2211121x x x x x x x -+⎛⎫÷⋅- ⎪-+⎝⎭
，其中2x =． 22．如图，正比例函数y kx =的图象与反比例函数8y x =（0x >）的图象交于点A （a ，4）．点B 为x 轴正半轴上一点，过B 作x 轴的垂线交反比例函数的图象于点C ，交正比例函数的图象于点D ．
（1）求a 的值及正比例函数y kx =的表达式；
（2）若CD=6，求△ACD 的面积．
23．某学校开展了“学党史、知党恩、跟党走”的宣传教育活动．为了解这次活动的效果，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行党史知识测试（测试满分100分，得分x 均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第：基本合格（60≤x ＜70），合格（70≤x ＜80），良好（80≤x ＜90），优秀（90≤x ≤100），制作了如图统计图（部分信息未给出）． 由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图；
（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数；
（3）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
24．如图，点E 为正方形ABCD 的边BC 上的一点，⊙O 是△ABE 的外接圆，与AD 交于点F ，G 是CD 上一点，且∠DGF=∠AEB ．
O
（1）求证：FG 是⊙O 的切线；
（2）若AB=4，DG=1，求半径OA 的长．
25．如图所示坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在y 轴上，B （0，8），BC=10，CD=5，将矩形ABCD 绕点B 逆时针旋转使点C 落在x 轴上．现已知抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）过点D 、C'和原点O ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将矩形A'BC'D'沿直线BC'翻折，点A'的对应点为M ，请判断点M 是否在所给抛物线上，并简述理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使∠POC'=2∠CBD ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。