误差习题

1-1 研究误差的意义是什么？误差理论研究的主要内容是什么？
答：研究误差的意义是：
1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，从而从根本上，消除或减小误差； 2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，从而得到更接近真值的数据；
3）正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法，从而根据目标确定最佳系统。

误差理论的主要内容包括：从理论上对误差进行系统研究，正确地评价并正确地给出“测量结果及其可信程度”。

1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？
答：所谓测量误差，是指测得值与被测量的真值之差，即：
误差=测得值-真值
测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

系统误差是指在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差，其特点是：在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化；
随机误差是指测得值与在重复性条件下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差，又称为偶然误差。

其特点是：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化。

粗大误差指明显超出统计规律预期值的误差。

又称为疏忽误差、过失误差或简称粗差。

1-3 误差的绝对值与绝对误差有何异同？并举例说明？
答：误差的绝对值和绝对误差都能表达误差的大小，但误差的绝对值不能反映误差的方向，而绝对误差带有符号，能反映误差的方向。

例如：测量某一长度为 20mm 的工件，其绝对误差为-20μm ，表示实际测得值为19.08mm ，而其误差的绝对值为20μm ，不能反映实际测得值是多少。

1-4 什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的某一测得值经过修正后，能否得到被测量
的真值？为什么？
答：所谓测量误差，是指测得值与被测量的真值之差，即：
误差=测得值-真值
所谓修正值，是指为了消除固定的系统误差用代数法而加到测量结果上的值，其表达式为：
修正值≈真值-测得值
含有误差的某一测得值经过修正后，不能得到被测量的真值，因为修正值本身还有误差。

1-5 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa ，
问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：误差：3.05.1002.100-=-=e Pa 1-6 在测量某一长度时，读数值为 2.31m ，其最大绝对误差为 20μm ，试求其最大相对误差。

解：
最大相对误差：66
1066.831
.21020--⨯=⨯==
测得值最大绝对误差r 1-7 测量某一矩形的两边长，其相对误差分别为 3%和 4%，试求矩形面积的相对误差为多
少？
解：设矩形的两边长分别为a 和b ，则矩形面积
ab b a A 0712.1%)41(%)31(=+⋅+=
则矩形面积的相对误差为：
%12.7=-=
ab
ab
A r A 1-8 由单摆公式T l g /42
π=计算g 值，若）
（l f l l +=10，）（T f T T +=10，其中l f ，T f 分别为l 和T 的相对误差，试求g 值的相对误差。

解：T T
h
h T T T g h h g g ∆-∆=∆∂∂+∆∂∂=∆322284ππ 1-9 使用 Kater （凯特）摆时， g 由公式2
212
/)(4T h h g +=π给定。

今测出长度)(21h h +
为1.04230±0.00005m ，振动时间T 为2.0480±0.0005s 。

试求g 及其最大相对误差。

如果
)(21h h +测出为1.04220±0. 00005m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须
精确到多少？ 解：令 21h h h +=
8105.90480.204230.114159.3442
222=⨯⨯==T h g π m/s 2 T T h h T T T g h h g g ∆-∆=∆∂∂+∆∂∂=∆322284ππ
T
T h h g g ∆-∆=∆2 %)05362.0(103625.50480
.20005.0204230.100005.04max 或-⨯=--=∆∴
g g 000291.08105.9001.004220.10005.02121max =⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=∆g g h h T T 2-7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5 次，测得数据（单位mm ）为20.0015, 20.0016,
20.0018, 20.0015, 20.0011。

试以99%的置信概率确定测量结果。

解：
序号 i x
i v
2i v
1 20.0015 0 0
2 20.0016 0.0001 10-8
3 20.0018 0.0003 9*10-8
4 20.001
5 0 0 5
20.0011
-0.0004
16*10-8
mm x i i 0075.1005
1
=∑=
mm v i i 05
1
=∑=
75
1
210*6.2-==∑i i
v
mm x 0015.20=
1）求算术平均值
mm x x i i 0015.20515
1
==∑=
2）算术平均值的校核
∑∑====⨯-=-5
1
51
00015.2050075.100i i i i v mm x n x
故以上计算正确。

3）求算术平均值的标准差
mm n n v
n
i i
x 00011.04
5106.2)1(7
1
2
=⨯⨯=-=-=∑σ
查正态分布表得，当置信概率为99%时，置信系数6.2=αt ，则极限误差为
mm t x x 0003.000011.06.2lim ±=⨯±=±=σδα
则测量结果为：mm x x x )0003.00015.20(lim ±=+=δ
2-9 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差σ = 0.004 mm ，若要求测量结果的置信限不大于± 0.005mm ，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数？
解：1）当服从正态分布时，查正态分布表得，P=99%时，t =2.6
由 mm n
n
t
t x x 005.0004.06
.2lim ±≤⨯±
=±=±=σ
σδ 33.4005.0004.06.22
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
⨯≥n
取n =5，当服从正态分布时，至少要测量5次。

2）当服从t 分布时 由mm n
t n
t t x x 005.0004.0lim ±≤⨯±
=±=±=α
α
ασ
σδ，得 25.1≤n
t α
及显著度α=1-0.99=0.01，查t 分布表可得，当n=8时，自由度71=-=n ν，50.3=αt ， 此时
25.124.18
50
.3≤==n t α 则当服从t 分布时，至少要测量8次。

2-19 等精度测量某一电压10 次，测得结果（单位V ）为25.94，25.97，25.98，26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。

测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判断是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10 次等精度测量，测得结果（单位V ）为25.93，25.94，26.02，25.98，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。

试用t 检验法（α=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差？
解：
序号 i x
i v
2i v
1 25.94 -0.061 0.003721
2 25.97 -0.031 0.000961
3 25.98 -0.021 0.000441
4 26.01 0.009 0.000008
5 26.04 0.039 0.001521
6 26.02 0.019 0.000361
7 26.04 0.039 0.001521
8 25.98 -0.021 0.000441
9 25.96 -0.041 0.001681 10 26.07
0.069
0.004761
V 001.26=x
010
1
=∑=i i
v
01549.010
1
2=∑=i i
v
其算术平均值为： V 001.2610110
1
==∑=i i x x
21
22V 00155.01==
∑=n
i i
x
x
v
n σ
序号 i y
i v
2i v
1 25.93 -0.041 0.001681
2 25.94 -0.031 0.000961
3 26.02 0.049 0.002401
4 25.98 0.009 0.000008
5 26.01 0.039 0.001521
6 25.90 -0.071 0.005041
7 25.93 -0.041 0.001681
8 26.04 0.06
9 0.004761 9 25.94 -0.031 0.000961 10 26.02
0.049
0.002401
V 971.25=y
010
1
=∑=i i v
02149.010
12=∑=i i v 其算术平均值为： V 971.2510110
1
==∑=i i y y
21
22V 00215.01==
∑=n
i i
x
y
v
n σ
53.1)
)(()
2()
(2
2=++-+-=y y x x y x y x y x n n n n n n n n y x t σσ
又因为182-1010=+=ν，当05.0=α时，由t 分布表可查得，10.2=αt 因为 αt t <|| 所以，无根据怀疑测量列中存在系统误差。

2-21 某量进行两组测量，测得数据如下：
x i 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 y i 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差？
解：根据秩和检验法，将两组数据混合排列如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x i 0.62 0.86
1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 y i 0.99 1.12 1.21 1.25
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
x i
1.34 1.39 1.41 1.57 y i 1.31 1.31 1.38
1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 显然，测量列x i 的秩和小，用其进行判断。

174255.2120181514125.109876521=++++++++++++++=T
由于1021>=n n ，秩和T 近似服从⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++++12)1(,2)1(2121211n n n n n n n N 的正态分布，其中
5.2322)
1(211=++=
n n n a
1.2412
)
1(2121=++=
n n n n σ
则 43.21
.245
.232174-=-=
-=
σ
a
T t
由正态分布表，取95.0=P 时，置信系数95.1=αt 此时有αt t >||，怀疑两测量列间存在系统误差。

若取99.0=P 由正态分布表，置信系数60.2=αt ， 此时有αt t <||，无根据怀疑两测量列间存在系统误差。

2-22 对某量进行15 次测量测得数据为28.53, 28.52, 28.50, 28.52, 28.53,28.53, 28.50, 28.49, 28.49, 28.51, 28.53, 28.52, 28.49, 28.40, 28.50, 若这些测得值已经消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值？
解：（1）莱以特准则 序号 i x
i v
2i v
'i v
2'i v
"i v
2"i v
1 28.53 -0.041 0.001681 0.027 0.000729 0.019
0.000361 2 28.52 -0.051 0.002601 0.017 0.000289 0.009 0.000081 3 28.50 -0.071 0.005041 -0.003
0.000009 -0.011 0.000121 4 29.52 0.949 0.900601 -
-
- - 5 28.53 -0.041 0.001681 0.027 0.000729 0.019 0.000361 6 28.53 -0.041 0.001681 0.027 0.000729 0.019 0.000361 7 28.50 -0.071 0.005041 -0.003 0.000009 -0.011 0.000121 8 28.49 -0.081 0.006561 -0.013 0.000169 -0.021 0.000441 9 28.49 -0.081 0.006561 -0.013 0.000169 -0.021 0.000441 10 28.51 -0.061 0.003721 0.007 0.000049 -0.001 0.000001 11 28.53 -0.041 0.001681 0.027 0.000729 0.019 0.000361 12 28.52 -0.051 0.002601 0.017 0.000289 0.009 0.000081 13 28.49 -0.081 0.006561 -0.013 0.000169 -0.021 0.000441 14 28.40 -0.171 0.029241 -0.103 0.010609 - - 15 28.50
-0.071
0.005041
-0.003
0.000009
-0.011
0.000121
571
.28=x
9803
.015
1
2=∑=i i v
503
.28'=x
014686
.0'15
1
2=∑
=i i
v 511
.28"=x
003293
.0"
15
1
2=∑=i i
v
V 571.2815115
1
==∑=i i x x
265.01
159803
.01
1
2=-=
-=
∑=n v
n
i i
σV ，σ3=0.795V
根据莱以特准则，第4个测得值的残余误差
σ3949.0||4>=v
则含有粗大误差，需剔除。

剔除第4个测得值后，剩余14个测得值的平均值为：
V 503.28141'15
4
1
==∑≠=i i i x x
034.01
14014686
.01
''
'1
2=-=
-=
∑=n v n
i i
σV ，'3σ=0.102V
根据莱以特准则，第14个测得值的残余误差
'3103.0|'|14σ>=v
则含有粗大误差，需剔除。

剔除第14个测得值后，剩余13个测得值的平均值为：
V 511.28131"15
14,41
==∑≠=i i i x x
017.01
13003293
.01
""
"1
2=-=
-=
∑=n v n
i i
σV ，"3σ=0.051V
表中所列13个测得结果的残余误差均满足
"3|"|σ<i v
认为均不再含有粗大误差。

（2）格罗布斯准则
对所有15个测得值按从小到大排列得
x (1)=28.40，x (15)=29.52
由于171.040.28571.28)1(=-=-x x ，949.0571.2852.29)15(=-=-x x 则认为x (15)更可疑。

计算
58.3265
.0949
.0)15()15(==
-=
σ
x
x g 查表得41.2)05.0,15(0=g 则)05.0,15(0)15(g g >
故第4个数据含有粗大误差，应予以剔除。

对剩下的14个数据从小到大排列，重复上述步骤，认为x (1)=28.40更可疑。

计算
03.3034
.040
.28503.28'
-')
1()1(=-=
=
σx x g
查表得37.2)05.0,14(0=g 则)05.0,14(0)1(g g >
故第14个数据含有粗大误差，应予以剔除。

经计算，剩余的13个测得值均不含粗大误差。

（3）狄克松准则
对所有15个测得值按从小到大排列得
28.40<28.49<28.49<28.49<28.50<28.50<28.50<28.51<28.52<28.52<28.53<28.53<28.53<28.53<
29.52
因n=15，故
961.049.2852.2953
.2852.29)3()15()13()15(22=--=--=
x x x x r ，692.053
.2840.2849.2840.28')13()1()3()1(22=--=--=x x x x r
查表得525.0)05.0,15(0=r
则)05.0,15(022r r >，故第4个测得值含有粗大误差，应予以剔除；
)05.0,15('022r r >，故第14个测得值含有粗大误差，应予以剔除。

经计算，剩余的13个测得值均不含粗大误差 。

3-2 为求长方体体积 V ，直接测量其各边长为a ＝161.6mm ，b ＝44.5mm ，c ＝11.2mm ，已知测量的系统误差分别为Δa ＝1.2mm ，Δb ＝-0.8mm ，Δc ＝0.5mm ，测量的极限误差分别为δa ＝±0.8mm ，δb ＝±0.5mm ，δc ＝±0.5mm ，试求立方体的体积及其体积的极限误差。

解：由直接测量结果得
304.805412.115.446.161mm abc V =⨯⨯==
各误差传递系数分别为：
24.4982.114.44mm bc a V
=⨯==∂∂ 29.18092.116.161mm ac b V
=⨯==∂∂ 22.71914.446.161mm ab c
V
=⨯==∂∂ 则长方体体积的系统误差为：
c c
V b b V a a V V ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=
∆ 5.02.7191)8.0(9.18092.14.498⨯+-⨯+⨯= 32745.7mm =
所以，长方体的体积为
3077795.7mm 2745.74.80541=-=∆-=V V V
极限误差为：
2
22⎪
⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±=c b a V c V b V a V δδδδ
2222225.02.71915.09.18098.04.498⨯+⨯+⨯±= 33729.1mm ±=
3-7 通过电流表的电流I 与指针偏转角ϕ服从下列关系：
ϕtan C I =
式中C 为决定于仪表结构的常数，C ＝5.031×10-7A ，两次测得17161'±'=
ϕ、
123432'±'= ϕ。

试求两种情况下的1I 、2I 及其极限误差，并分析最佳测量方案。

解：
017.0283.617161±='±'=ϕ
017.0533.43123432±='±'=ϕ
A C I 871110539.5283.6tan 10031.5tan --⨯=⨯⨯== ϕ A C I 772210780.4533.43tan 10031.5tan --⨯=⨯⨯== ϕ
∵
ϕϕ
2sec C I
=∂∂ 1121lim sec 1
ϕϕδϕδϕ
δC I
I ±=∂∂±
= A 10
2
7
10481.1180
017.0283.6sec 10031.5--⨯±=⨯⨯⨯⨯±=
π 2222lim sec 2
ϕϕδϕδϕδC I
I
±=∂∂±=
A 102
7
10838.2180
017.0533.43sec 10031.5--⨯±=⨯⨯⨯⨯±=
π
比较1lim I δ和2lim I δ可知，在相同的角度测量误差下，第一种方案的极限误差小。

事实上，由ϕϕϕδϕ
ϕδδϕδ⋅±=±=∂∂±
=22lim cos sec C
C I I 可知，ϕ2cos 越大，即越接近于1，电流测量的极限误差越小。

3-12 按公式h r V 2
π=求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为 20cm ，要使体积的相对误差等于 1％，试问r 和h 测量时误差应为多少？
解： 3
2202.25120214.3cm h r V =⨯⨯==π 允许的体积的绝对误差为： 3
0512.2%1cm V V =⨯=δ
22.25120214.322cm rh r V
=⨯⨯⨯==∂∂π 22256.12214.3cm r h
V
=⨯==∂∂π 按等作用原则分配误差，可得
cm r V n V r 007.02.2511
2
512.21
=⋅=
∂∂=
δδ cm h
V n V h 141.056.1212512.21=⋅=∂∂=δδ
根据以上结果可见，按等作用原则分配误差，对半径的测量精度要求远远高于圆柱体的
高度，不合理，需要进一步调整测量误差的分配。

3-14 对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位：g ）为428.6，429.2，426.5，430.8。

已知测量的已定系统误差Δ＝-2.6g ，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所
g M M i i 8.428414
1
==∑=
根据一定系统误差修正得该质量的最可信赖值为：
g M M 4.431)6.2(8.4280=--=∆-=
由于各误差均服从正态分布，则测量结果的极限误差为：
∑∑==+±=s
j i q i i M e a a n j i 1
212
)()(1δδ
])8.11()2.24.1()5.01()0.11()5.11[(])0.12.2()5.41()1.21[(4
1
22222222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯±
=g g 9.4858.4±≈±=
则质量的测量结果为
g M M M )9.44.431(0±=±=δ
4-5 在光学计上用 52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：l 1＝40mm ，l 2＝10mm ，l 3＝2.5mm ，量块按查手册得其研合误差分别不超过±0.45μm 、±0.30μm 、±0.25μm （取置信概率 P ＝99.73％的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度。

解：
∵ 圆柱体的直径为 321l l l D ++= ∴
13
21=∂∂=∂∂=∂∂l D
l D l D 查正态分布表可知，当置信概率 P ＝99.73％时，包含因子3=p k 则三块量块引起的不确定度分量分别为：
m m k a u p l μμ15.0345.011===
；m u l D u l μ15.0111=∂∂= m m k a u p l μμ10.0330.022===
；m u l D u l μ10.0222=∂∂= m m k a u p l μμ08.0325.033===
；m u l D u l μ08.033
3=∂∂=
则该量块组引起的测量不确定度为
m cm u u u u D μ20.0197.008.010.015.02222
32221≈=++=++=
4-6 某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其2V 量程的测量误差不超过 ±（14×10-6 ×读数+1×10-6×量程）V ，相对标准差为20％，若按均匀分布，求1V 测量时电压表的标准不确定度。

设在该表校准一年后，对标称值为 1V 的电压进行 16 次重复测量，得观测值的平均值为 0.92857V ，并由此算得单次测量的标准差为 0.000036V ，若以平均值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量，说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。

解：1）1V 测量时电压表的标准不确定度为：
V V a u 000009.01023.93
210111014366611≈⨯=⨯⨯+⨯⨯==---
当相对标准差为20％时，其自由度为：
5.122.021
212
2
1=⨯=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
u u σν
2）测量结果的不确定度来源主要有两类：
①由电压表的校准引起的不确定度分量u 1，属于B 类评定。

V V a u 000009.0107.83
210192857.010********≈⨯=⨯⨯+⨯⨯==---
5.121=ν
②由测量重复性引起的不确定度分量u 2，属于A 类评定。

当已平均值作为测量的估计
值时，不确定度分量
V V
n
u 000009.016
000036.02==
=
σ
其自由度为 1512=-=n ν。

3）由于两个不确定度分量之间互不相关即012=ρ，且传递系数均为1，则测量结果的合成不确定度为：
V V u u u c μ130000127.0000009.0000009.0222
221≈=+=+=
自由度为：
3068.2915
95.129134
442
4
2
1
4
14≈=+=
+
=
νννu u u c
4-9 用漏电测量仪直接测量正常使用中微波炉的泄漏电流，5次重复测量的平均值为0.320mA ，平均值的标准差为0.001mA ；已知漏电测量仪的示值误差范围为±5%，按均匀分
布，取相对标准差为10%；测量时环境温度和湿度的影响范围为±2%，按三角分布，其相对标准差为±25%；试给出泄漏电流测量的不确定度报告（置信概率为99%）。

解：
1）计算各不确定度分量：
经分析，此漏电测量仪进行泄漏电流测量的不确定度分量有三项，其值及自由度计算如下：
① 由测量重复性引起的不确定度分量u 1及其自由度1ν
mA u I 001.01==σ
41511=-=-=n ν
② 由漏电测量仪的示值误差引起的不确定度分量u 2及其自由度2ν
按均匀分布，mA mA a u 009.03
%5320.032=⨯==
501
.021
212
2
2=⨯=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
u u σν ③ 由环境温度和湿度引起的不确定度分量u 3及其自由度3ν
按三角分布，mA mA a u 003.06
%2320.062=⨯==
825.021
212
2
3=⨯=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
u u σν
2）计算合成不确定度及其自由度：
mA mA u u u u c 010.000954.0003.0009.0001.02222
32221≈=++=++=
7162.708
003.050009.04001.0010.04
444343242
1414
≈=++=++=ννννu u u u c 3）计算展伸不确定度：
当置信概率为99%，自由度为71=ν时，由t 分布表可查得包含因子65.2)71(99.0==t k ，则展伸不确定度为
mA mA ku U c 027.00265.0010.065.2≈=⨯==
4）不确定度报告：
漏电测量仪进行泄漏电流测量的展伸不确定度为mA U 027.0=，是由合成标准不确定度mA u c 010.0=及包含因子65.2=k 确定的，对应的置信概率为99%，自由度为71=ν 5-3 已知误差方程为
11013.10x v -= 33002.10x v -= )(008.0315x x v --=
22010.10x v -= )(004.0214x x v --= )(006.0326x x v --=
试给出x 1、x 2、x 3的最小二乘法处理及其相应精度。

解：由误差方程组可得各矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=006.0008.0004.0002.10010.10013.10L ，⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=110101011100010001A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321ˆx x x X ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==---844484448161110101011100010001110100101010011001)(1
11A A C T
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-0033.100093.100125.10006.0008.0004.0002.10010.10013.1011010010101001
1001844484448161ˆ1321L A C x x x X T 则有：x 1=10.0125，x 2=10.0093，x 3=10.0033
0005.0013.1011=-=x v 0007.0010.1022=-=x v 0013.0002.1033-=-=x v 0008.0)(004.0214=--=x x v 0012.0)(008.0315-=--=x x v 0)(006.0326=--=x x v
0012.03
601281375102
222224
1
2
=-+++++⨯=-=
-=∑t n v
n
i i
σ 0008.05.0111===σσσd x
0008.05.0222===σσσd x 0008.05.0333===σσσd x
设t 无误差，F 值随t 的变化呈线性关系kt k F +=0，试给出线性方程中系数k 0和k 的最小二乘估计及其精度。

解：（1）最小二乘估计
误差方程为 )(0i i i kt k F v +-= 则各矩阵分别为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=78.4374.4371.4368.4363.4361.43F ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=301271241211181151
A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k K 0ˆ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==---613513531959451301271241211181151
302724211815111111)(1
11A A C T ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0115.04324.4378.4374.4371.4368.4363.4361.43302724211815111111613513531959451ˆ10F A C k k K T 则有：k 0=43.4324，k =0.0115
（2）精度估计
N v 0051.0)150115.04324.43(61.431=⨯+-= N v 0094.0)180115.04324.43(63.432-=⨯+-= N
v 0061.0)210115.04324.43(68.433=⨯+-=
N v 0016.0)240115.04324.43(71.434=⨯+-= N v 0029.0)270115.04324.43(74.435-=⨯+-= N v 0026.0)300115.04324.43(78.436=⨯+-=
N t n v
n
i i
0065.02
6262916619451102
222224
1
2
=-+++++⨯=-=
-=∑σ 0120.0945/3195110===σσσd k
0005.0945/622===σσσd k
5-7 不等精度的测量方程组如下：
6.53-=-y x 11=p 1.84=+y x 22=p 5.02=-y x 33=p
试求x 、y 的 最小二乘法处理及其相应的精度。

解：误差方程为 )(21y a x a l v i i i i --= 则各矩阵分别为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0.58.15.6-L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=12143-1A ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=300020001P ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x X ˆ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--==---0.07150.00160.00160.0223141-1-4512143-1300020001113241)(1
-1
11PA A C T
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=- 2.3521.4340.58.15.6-3000200011132410.07150.00160.00160.0223ˆ1PL A C y x X T 0.023)3(-5.61=--=y x v 0.012)4(8.12=+-=y x v -0.016)2(0.53=--=y x v
400.02
3160.03.01202230.012221
2
=-⨯+⨯+⨯=-=
∑=t n v
p n
i i
i σ
0.0060.02230.04011===d x σσ 0.0110.07150.04022===d y σσ
假设正应力的数值是精确的，求①剪切强度与正应力之间的线性回归方程，并作方差分析与显著性检验（作方差分析表）；②当正应力为24.5Pa 时，剪切强度的估计值是多少？
解：① 由散点图可知，剪切强度与正应力之间的关系近似满足线性。

设线性回归方程为：
bx b y
+=0ˆ 各参数的计算如下表：
Pa x x i i 97.25121121==∑=；Pa y y i i 77.2412112
1
==∑=
222
112
)(05.436.31112126.81341Pa x N x l N i i N
i i xx =⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==
222
11
2)(15.472.297121
80.74071Pa y N y l N i i N
i i yy =⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==
2111
)(53.292.2976.311121
76.76871Pa y x N y x l N i i N i i N
i i i xy -=⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===
686.005
.4353
.29-=-=
=
xx
xy l l b
Pa x b y b 585.4297.25)686.0(77.240=⨯--=-=
所以，剪切强度与正应力之间的线性回归方程为：
x bx b y
686.0585.42ˆ0-=+= 方差分析如下：
总的离差平方和为： 2)(15.47Pa l S yy ==
回归平方和及其自由度为： 2)(26.20)53.29(686.0Pa bl U xy =-⨯-==，1=U ν
残余平方和及其自由度为： 2
)(89.2626.2015.47Pa U S Q =-=-=，102=-=N Q ν
方差为22
)(689.210
89
.262Pa N Q ==-=σ 统计量53.710
/89.2626
.20//===
Q U Q U F νν
查F 分布表可知，)10,1()10,1(01.005.0F F F << 所以，回归在05.0=α水平上显著。

根据以上技术结果，作方差分析表如下：
② 当正应力为24.5Pa 时，剪切强度的估计值为：
Pa y
78.255.24686.0585.42ˆ=⨯-=
设含锡量的数据无误差，求：①熔点温度与含锡量之间的关系，并作方差分析与显著性检验
（作方差分析表）；②预测含锡量为60%时，合金的熔点温度（置信概率95%）；③如果要求熔点温度在310~325 o C 之间，合金的含锡量应控制在什么范围内（置信概率95%）。

解：① 设含锡量为x ，熔点温度为y ，根据散点图可知，两者近似满足线性，设其线性回归
方程为： bx b y
+=0ˆ
%27.5410110
1==∑=i i x x ；C y y i i 0.296101101
==∑=
222
112
(%)94.46437.54210134096.271=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==N i i N
i i xx x N x l
222
11
2
)(5806429601019342241C y N y l N i i N
i i yy =⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==
(%)(8.1640929607.542101
144229.41111
-=⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===N i i N i i N
i i i xy y x N y x l C )
53.394
.46438
.16409-=-=
=
xx
xy l l b
57.48727.54)53.3(0.2960=⨯--=-=x b y b
所以，熔点温度与含锡量之间的关系为：
x bx b y
53.357.487ˆ0-=+= 方差分析如下：
总的离差平方和为： 58064==yy l S
回归平方和及其自由度为： 6.57926)8.16409(53.3=-⨯-==xy bl U ，1=U ν 残余平方和及其自由度为： 4.13759.5792658064=-=-=U S Q ，82=-=N Q ν 方差为22
)(18.178
4
.1372Pa N Q ==-=σ 统计量7.33728
/4.1376
.57926//===
Q U Q U F νν
查F 分布表可知，)10,1(01.0F F > 所以，回归在05.0=α水平上显著
根据以上技术结果，作方差分析表如下：
C y
77.2756053.357.487ˆ=⨯-= ③ 当熔点温度在310 o C 时，含锡量控制为 %3.5053.3310
57.4871=-=
x
当熔点温度在325 o C 时，含锡量控制为 %1.4653
.3325
57.4871=-=x
所以，如果要求熔点温度在310~325 o C 之间，合金的含锡量应控制在46.1%~50.3%范围内。