高考一轮复习备考资料之数学人教A版课件：2.4 幂函数与二次函数
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A.偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
√D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
自主演 练
解析 答案
2.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如 图所示，则a，b ，c，d 的大小关系是 A.d ＞c＞b ＞a
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x )＝ax 2＋bx ＋c(a>0)
f(x )＝ax 2＋bx ＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域 _______________________
____________________
在x ∈
单调性
在x ∈
对称性
上单调递减； 在x ∈
√
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解析 答案
3.[P44A 组T9 ]已知函数f(x )＝x 2＋4 ax 在区间(－∞，6)内单调递减，
则a的取值范围是
A.a≥3
B.a≤3
C.a＜－3
√D.a≤－3
解析 函数f(x )＝x 2＋4 ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x
＝－2 a，
由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝
题型二 求二次函数的解析
师生共
式
研
典例 (1)已知二次函数f(x )＝x 2－bx ＋c满足f(0)＝3 ，对 x ∈R ，都有
f(1＋x )＝f(1－x )成立，则f(x )的解析f(式x )为＝_x_2_－__2_x_＋__3_______.
解析 由f(0)＝3 ，得c＝3 ， 又f(1＋x )＝f(1－x )， ∴函数f(x )的图象关于直线x ＝1 对称，
上单调递增；
上单调递增
在x ∈
上单调递减
函数的图象关于x ＝ 对称
【知识拓展】 1.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限 ，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则 交点一定是原点.
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0 ，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2 为偶数，所以只能是a＝5 ，故选C.
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解析 答案
5.已知函数y＝ax 2＋bx ＋c，如果a> b > c且a＋b ＋c＝0 ，则它的图
象可能是
解析 由a＋b ＋c＝0 和a> b > c知，a>0 ，c<0 ， 由c<0 ，排除A ，B，又a>0 ，排除C.
条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指 大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x
轴. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助 其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
函数
特征 y＝x
性质
定义域
R
y＝x 2
R
y＝x 3
y＝
R [0，＋∞)
y＝x －1
{x |x ∈R ，且 x ≠0}
值域
R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R ，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇 非奇非偶
奇
2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x )＝ax 2＋bx ＋c(a≠0) . 顶点式：f(x )＝a(x －m )2＋n (a≠0)，顶点坐标为(m ，n ) . 零点式：f(x )＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，x 1，x 2为f(x )的零点.
√B.a＞b ＞c＞d
C.d ＞c＞a＞b D.a＞b ＞d ＞c
解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象
越接近x 轴，由题图知a＞b ＞c＞d ，故选B.
解析 答案
3.若
，则实数升华
(1)幂函数的形式是y＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个
(3)在y＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐
标系中的开口大小.( √ )
(4)函数y＝ 是幂函数.(× )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ )
(6)当n <0 时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数×.( )
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题组二 教材改编
123456
√
解析 答案
6.已知函数y＝x 2－2 x ＋3 在闭区间[0，m ]上有最大值3 ，最小值2 ，则 m 的取值范围[1为,2_]____.
解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2].
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几何画板展示 解析 答案
题型分类 深度剖析
题型一 幂函数的图象和性 质
1.幂函数y＝f(x )经过点(3， ，)则f(x )是
－2 a的左侧，
∴－2 a≥6 ，解得a≤－3 ，故选D.
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几何画板展示 解析 答案
题组三 易错自纠
4.幂函数f(x )＝
(a∈Z )为偶函数，且f(x )在区间(0，＋∞)上是
减函数，则a等于
A.3
B.4√
C.5
D.6
解析 因为a2－10 a＋23 ＝(a－5)2－2 ，
f(x )＝
(a∈Z )为偶函数，
(3)当α＞0 时，y＝x α在[0 ，＋∞)上为增函数； 当α＜0 时，y＝x α在(0，＋∞)上为减函数.
题组一 思考辨析
基础自 测
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√或”“×”)
(1)二次函数y＝ax 2＋bx ＋c，x ∈[a，b ]的最值一定是
× .)(
(2)二次函数y＝ax 2＋bx ＋c，x ∈R 不可能是偶函数.×( )
∴f(x )＝x 2－2 x ＋3.
解析 答案
(2)已知二次函数f(x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值 －1 ，则fx(x2)＋＝2_x_______. 解析 设函数的解析式为f(x )＝ax (x ＋2)
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.4 幂函数与二次函 数
内容索引
基础知识 自主学 习
题型分类 深度剖 析
课时作 业
基础知识 自主学习
1.幂函数
知识梳 理
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y＝x α 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.
(2)常见的5 种幂函数的图象 几何画板展示
(3)常见的5 种幂函数的性质
B.偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C.奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
√D.非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
自主演 练
解析 答案
2.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如 图所示，则a，b ，c，d 的大小关系是 A.d ＞c＞b ＞a
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x )＝ax 2＋bx ＋c(a>0)
f(x )＝ax 2＋bx ＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域 _______________________
____________________
在x ∈
单调性
在x ∈
对称性
上单调递减； 在x ∈
√
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解析 答案
3.[P44A 组T9 ]已知函数f(x )＝x 2＋4 ax 在区间(－∞，6)内单调递减，
则a的取值范围是
A.a≥3
B.a≤3
C.a＜－3
√D.a≤－3
解析 函数f(x )＝x 2＋4 ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x
＝－2 a，
由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝
题型二 求二次函数的解析
师生共
式
研
典例 (1)已知二次函数f(x )＝x 2－bx ＋c满足f(0)＝3 ，对 x ∈R ，都有
f(1＋x )＝f(1－x )成立，则f(x )的解析f(式x )为＝_x_2_－__2_x_＋__3_______.
解析 由f(0)＝3 ，得c＝3 ， 又f(1＋x )＝f(1－x )， ∴函数f(x )的图象关于直线x ＝1 对称，
上单调递增；
上单调递增
在x ∈
上单调递减
函数的图象关于x ＝ 对称
【知识拓展】 1.幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限 ，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性. (2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则 交点一定是原点.
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0 ，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2 为偶数，所以只能是a＝5 ，故选C.
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解析 答案
5.已知函数y＝ax 2＋bx ＋c，如果a> b > c且a＋b ＋c＝0 ，则它的图
象可能是
解析 由a＋b ＋c＝0 和a> b > c知，a>0 ，c<0 ， 由c<0 ，排除A ，B，又a>0 ，排除C.
条件即可确定其解析式.
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指 大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x
轴. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助 其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
函数
特征 y＝x
性质
定义域
R
y＝x 2
R
y＝x 3
y＝
R [0，＋∞)
y＝x －1
{x |x ∈R ，且 x ≠0}
值域
R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R ，且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇 非奇非偶
奇
2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x )＝ax 2＋bx ＋c(a≠0) . 顶点式：f(x )＝a(x －m )2＋n (a≠0)，顶点坐标为(m ，n ) . 零点式：f(x )＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，x 1，x 2为f(x )的零点.
√B.a＞b ＞c＞d
C.d ＞c＞a＞b D.a＞b ＞d ＞c
解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象
越接近x 轴，由题图知a＞b ＞c＞d ，故选B.
解析 答案
3.若
，则实数升华
(1)幂函数的形式是y＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个
(3)在y＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐
标系中的开口大小.( √ )
(4)函数y＝ 是幂函数.(× )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( √ )
(6)当n <0 时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数×.( )
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题组二 教材改编
123456
√
解析 答案
6.已知函数y＝x 2－2 x ＋3 在闭区间[0，m ]上有最大值3 ，最小值2 ，则 m 的取值范围[1为,2_]____.
解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2].
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几何画板展示 解析 答案
题型分类 深度剖析
题型一 幂函数的图象和性 质
1.幂函数y＝f(x )经过点(3， ，)则f(x )是
－2 a的左侧，
∴－2 a≥6 ，解得a≤－3 ，故选D.
123456
几何画板展示 解析 答案
题组三 易错自纠
4.幂函数f(x )＝
(a∈Z )为偶函数，且f(x )在区间(0，＋∞)上是
减函数，则a等于
A.3
B.4√
C.5
D.6
解析 因为a2－10 a＋23 ＝(a－5)2－2 ，
f(x )＝
(a∈Z )为偶函数，
(3)当α＞0 时，y＝x α在[0 ，＋∞)上为增函数； 当α＜0 时，y＝x α在(0，＋∞)上为减函数.
题组一 思考辨析
基础自 测
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√或”“×”)
(1)二次函数y＝ax 2＋bx ＋c，x ∈[a，b ]的最值一定是
× .)(
(2)二次函数y＝ax 2＋bx ＋c，x ∈R 不可能是偶函数.×( )
∴f(x )＝x 2－2 x ＋3.
解析 答案
(2)已知二次函数f(x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值 －1 ，则fx(x2)＋＝2_x_______. 解析 设函数的解析式为f(x )＝ax (x ＋2)
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.4 幂函数与二次函 数
内容索引
基础知识 自主学 习
题型分类 深度剖 析
课时作 业
基础知识 自主学习
1.幂函数
知识梳 理
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y＝x α 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.
(2)常见的5 种幂函数的图象 几何画板展示
(3)常见的5 种幂函数的性质