专题六 排列组合、二项式定理及概率统计

专题六:排列组合、二项式定理及概率统计
第一课时 排列组合、二项式定理
备考要点:
1、正确理解两个原理、基本概念、基本公式、基本方法，并在此基础上，分析和解决一些简单的应用题，包括在概率中的相关计算，都是排列组合的重点，应强化必要的训练。

2、二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础，把握二项式及其展开式的相互联系和应用是重点，从近几年高考试题看，涉及二项式定理的考题应注意：不是给出单一的二项式而是给出两个二项式的乘积求特定项；二项式定理的应用及二项式定理与其他知识的综合题有加强考查的可能。

典例分析：
1.设A={1,2,….n},用n S 表示A 的所有非空真子集中各元素之和,n B 表示A 的子集个数,则2lim n n n
S n B →∞= . 2.从1到9的九个数中取三个偶数四个奇数,试问:
(1)组成多少个没有重复数字的七位数?
(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个?
(3)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有几个?
(4)在(1)中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?
3.已知()1n ax -展开式的第p,p+1,p+2三项的二项式系数构成等差数列,第n+1-p 与第n+2-p 项的系数之和为0,而()
11n ax +-展开式的第p+1与p+2项的二项式系数之比为1:2.
(1)求()
11n ax +-展开式的中间项(; (2)求n (1-ax)的展开式中系数最大的项.
课堂练习：
1．一个七位号码1234567a a a a a a a ，如果前面三位数码123a a a 与456a a a 或567a a a 相同（可能三者都一样），则称此号码为“可记忆的”，如果127,,,a a a 可取的数码为0、1、2、…、9中的任一个，则不同的“可记忆的”的号码共有 个。

2．设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的任一排列，f 是{1,2,3,4}到{1,2,3,4}的一一映射，
且满足f(i)≠i,记数表12
3
4
1234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

若数表M,N 的对应位置上至少有一个不同，就说M,N 是两张不同的数表，则满足条件的不同的数表的张数为（ ）
A 、144
B 、192
C 、216
D 、576
规律总结：
1． 解排列组合应用题的基本规律：
(1)合理运用分类计数与分步计数两个原理。

(2)具体问题抽象为排列组合问题,是解排列组合问题的关键.
(3)限制条件的排列组合问题有三种考虑途径:元素分析法、位置分析法、整体分析法。

2．解排列组合问题的基本策略和方法：去杂法、分类处理、分步处理、插空法、“捆绑”法、穷举法、探索法、消序处理、“住店”法、等价命题转换法。

3．二项式问题的考查主要是运用二项式展开式的通项公式求通项或求展开式中的多个系数之和，多用赋值法。

但要注意二项式系数与项的系数的区别。

第二课时：概率统计
备考要点：
1.正确区分“等可能”、“互斥“、“对立”、“独立”等事件。

并能把复杂的事件分解为若干个基本事件，然后按上述各事件概率的求法求复杂事件的概率。

此时转化与化归能力得到充分展示。

2.离散型随机变量的分布列及期望、方差是高考的必考内容之一，要能联系实际问题提高认识。

但也不能忽略教学大纲所规定的内容。

典例分析：
1．设事件A 发生的概率为P,若在A 发生的条件下发生B 的概率为P ′,则由A 产生B 的概率为PP ′.根据这一事实解答下题:
一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第0.1.2.….100,共101站,一枚棋子开始在第0站(即0P =1),由棋手每只掷一次硬币,棋子向前跳动一次,若硬币出现正面则棋子向前跳动一站,出现反面则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时,游戏结束.已知硬币出现正.反面的概率相同,设棋子跳到第n 站时的概率为n P .
(1)求1P ,2P ,3P ;
(2)设n a =n P -1n P -(1≤n ≤100),求证:数列{n a }是等比数列;
(3)求玩该游戏获胜的概率.
2．甲.乙两人玩轮流抛掷一对骰子的游戏,由甲先掷,乙后掷,然后甲再掷,….规定先得到两颗骰子点数之和等于7的一方获胜,一旦决出胜负,游戏便结束.
(1)若限定每人最多掷两次,求游戏结束时抛掷次数ξ的概率分布和数学期望;
(2)若不限定两人抛掷的次数,求甲获胜的概率.
3.已知二次函数f(t)=a 2t 1()4t R a
+∈有最大值且最大值为正实数,集合A={x|0x a x
-<},集合B={x|22x b <}. (1) 求A 和B;
(2) 定义A 和B 的差集:A-B={x|x|x A ∈且x B ∉}.设a,b,x 均为整数,且
x A ∈,P(E)为x 取自A-B 的概率,P(F)为取自A B ⋂的概率写出a 与b 的三组值,
使P(E)=
23,P(F)=13
,并分别写出所有满足上述条件的a(从大到小).b(从小到大)依次构成的数列{n a }.{n b }的通项公式(不必证明); (3) 若函数f(t)中,,,n n a a b b ==设1,2t t 是方程f(t)=0的两个根,判断|12t t -|是否存在最大值及最小值,若存在求出相应的值;若不存在,请说明理由.
课堂练习：
1、一次考试有12道选择题选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的。

评分标准规定“每题只选一个选项，答对一个得5分，不答或答错得零分”。

某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题可以判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜。

试求该考生：
（1）得60分的概率
（2）得多少分的可能性最大
（3）所得分数ξ的数学期望
2、袋中装有m 个红球和n 个白球，2m n ≥≥这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同。

从袋中同时取出2个球。

（1）若取出是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证m 必为奇数；
（2）在m ，n 的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求满足40m n +≤的所有数组（m,n ）.
规律总结：
1、分清几个基本事件间的相互关系，善于将复杂事件进行分解成彼此互斥的事件之和，并准确判断所求概型，熟练地运用公式进行求解。

2、求离散型随机变量的分布列，注意概率的非负及其和为1；注意二项分布、几何分布、两点分布的随机变量期望与方差的算法。

3、注意分类讨论、函数、方程等数学思想方法的应用。