北师大版(新课标)高中数学必修4期中试卷

必修4模块测试题 〔第一、第二、第三章〕
(总分值150分，时间120分钟)
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下命题中正确的选项是〔 〕
A ．OA O
B AB -= B ．0AB BA +=
C ．AB ⋅=00
D ．AB BC CD AD ++= 2. 〔2009·广东深圳外国语学校高三统测〕
在ABC △中，c =AB ，b =AC ．假设点D 满足2BD DC =，则AD =( ) A ．
2133+b c B ．52
33
-c b C ．
21
33
-b c D ．1
233
+
b c 3.(2009·广东 汕头金山中学期高三期末) 已知(,)2π
απ∈--
，且5
4
cos -=α，则sin 2α等于〔 〕 A .725 B .2425 C .725- D .2425
-
4．已知cos 2θ=
44
sin cos θθ+的值为〔 〕 A
1813 B 1811 C 9
7 D 1- 5．设α角属于第二象限，且2
cos
2
cos
α
α
-=，则
2
α
角属于〔 〕
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6. (2009·广东东莞高级中学高三测试)
假设函数()()sin cos 0f x ax ax a =+>的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为 〔 〕
A ．〔－
8
π
，0〕 B ．〔0，0〕 C ．〔－
8
1
，0〕 D ．〔
8
1
，0〕 7． 〔2010·广东三校高三联考〕已知函数
)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f ，
其部分图像如图1所示，则函数)(x f 的解析式为 ( )
A ．)421sin(2)(π
+
=x x f
B ．)4
21sin(4)(π
+=x x f
C ． )4
321sin(2)(π+
=x x f
D ．)4
321sin(4)(π
+=x x f 8．〔2010·广东北江中学高三月考〕ABC △内有一点O ,满足=++OC OB OA 0， 且OC OB OB OA •=•，则ABC △一定是〔 〕
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形 9．〔2010·四川西充中学高三月考〕设(43)=a ，，a 在b 上的投影为2
，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为〔 〕
A ．(214)，
B ．2(2)7-，
C ．2(2)7
-， D ．(28)，
10． 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋1
4
AC ， 则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．1
3
二、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分．请把答案填在题中的横线上〕
11．〔2010·山东聊城一中高三年级期末〕化简
2cos10sin 20cos 20︒-︒
︒
= ．
12．(2010·华南师大附中高三综合测试)设2tan()5αβ+=，1
tan()44
πβ-=，则
tan()4
π
α+= ．
13．〔2009·广东广州高三调研〕如图3，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，
60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，假设AM AB BC λμ=+，
则λμ+= .
图2
A
B
C
H
•M
图3
14．已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫=+
>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，有最小值，
无最大值，则ω＝ ．
15．〔2010·福建厦门高三质检〕 给出以下四个命题：
①)4
2sin()(π
-
=x x f 的对称轴为;,8
32Z k k x ∈+=
ππ ②函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值为2； ③函数1cos sin )(-=x x x f 的周期为;2π ④函数]2
,2[)4
sin()(π
ππ
-
+
=在x x f 上是增函数．
其中正确命题的个数是 ．
三、解答题 (本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．〔此题总分值12分〕设两向量1e 、2e 满足|1e |=2，|2e |=1,1e 、2e 的夹角为60°，假
设向量2t 1e +72e 与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
17．〔此题总分值12分〕 〔2010·广东汕头金山中学高三期末〕
已知函数2
π()sin sin 2
f x x x x ωωω⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
〔0ω>〕的最小正周期为π．
〔Ⅰ〕求ω的值；
〔Ⅱ〕如何由函数)(x f y =的图像通过适当的变换得到x y cos =的图像，写出变换过程。

18. 〔本小题总分值12分〕〔2010·福建三明期末〕已知向量)cos ,(sin θθ=a ，)1,2(=b ，
满足b a //，其中0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
． ⑴求tan θ值；
⑵求)(sin 2cos )4cos 2π
θθθθ
++的值． 19．〔此题总分值12分〕在△ABC 中，已知角A 为锐角，且
A A A A
A A A f 222cos )
2
(sin )22(sin )22sin()2sin(]1)2[cos()(+----+--=
πππππ．
求f (A )的最大值；
20. 〔此题总分值13分〕〔2010·安徽六校高三联考〕 已知向量a =)1,cos 4(-x ，)3),3
(sin(π
+
=x b ，且b a ⋅•=
2
1
)(x f .
（1） 求函数()y f x =的解析式，并指出其单调递增区间； （2） 画出函数()y f x =在区间[]0π，上的图像.
21．〔此题总分值14分〕如图5，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，
它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为
5
5
2,
102 〔1〕求)tan(
βα+的值； 〔2〕求βα2+的值。

答案解析
一、选择题
x
y O A B 图4
图5
1.D 解析： 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA OB BA -=； ,AB BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB BA +=0.
2．A 解析：由()
2AD AB AC AD -=-，12322,33
AD AB AC AD =+=+=
+c b c b . 3．B 解析：由54cos -=α且(,)2παπ∈--知3sin 5α=-故sin 22sin cos ααα==24
25
.
4．B 解析: 4422222
21sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 22
θθθθθθθ+=+-=-
2
1111(1cos 2)218
θ=--=．
5.C 22,(),,(),2
4
2
2
k k k Z k k k Z π
π
α
π
παππππ+
<<+∈+
<
<+
∈
当2,()k n n Z =∈时，
2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2
α
在第三象限； 而cos
cos
cos
02
2
2
α
α
α
=-⇒≤，2
α
∴
在第三象限．
6．C 解析: (
)2),1,2,())44f x ax a f x x a πππππ=
+=∴==+将18
x =-
代入得函数值为0，故选C ．
7.C 解析:由图像知振幅2A =，
3()2,222T πππ=--=故212T πω==，又(,0)2π可看作是五点法作图中的第三个点，所以1,22πϕπ⨯+=故34πϕ=，所以)4
321sin(2)(π
+
=x x f . 8．D 解析：由=++OC OB OA 0得O 为重心，由OC OB OB OA •=•，得,0)(=-•OA OC OB 即,0=•AC OB 得OB ⊥AC ，即可知ABC △一定是等腰三角形． 9．B 解析：设b =〔),y x ，b 在x 轴上的投影为2，则b =〔),2y ，a 与b 的夹角为θ，则
cos θ=
a •a
b b 4y +||14≤b ，解得72-=y ，故b =)72,2(-．
10．B 解析：如图6,设25AM AB =
,1
5
AN AC =则AP AM AN =+由平行四边形法则 知NP ∥AB ，所以51==∆∆S S ABC ABP
，同理可得41=∆∆ABC ABQ S S ．
故
5
4
=∆∆ABQ ABP S S ,即选B.
图6
二、填空题
11．3解析：原式
=
2cos(3020)sin 20cos 20︒-︒-︒==︒
12．322 解析: tan()tan()34tan()tan[()()]44221tan()tan()4
π
αββππααββπαββ+--+=+--=
=++-． 13．2
3
解析：2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒
所以BH=1，M 为AH 的中点，所以 12AM AH =
11111
()()22326
AB BH AB BC AB BC =+=+=+， 故λμ+=2
3
． 14．
143 解：依题()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=且()f x 在区间(,)63
ππ
有最小值,无最大值,∴区间(
,)63
ππ
为()f x 的一个半周期的子区间，且知()f x 的图像关于6
324
x π
π
π+
==对称，∴32,432k k Z πππωπ⋅+=+∈,取0k =得14.3ω=
15．①②解析：①令2,42x k k Z πππ-=+∈，则;,8
32Z k k x ∈+=
π
π故①正确． ②x x x f cos 3sin )(+==2sin()3x π
+，故最大值为2，②正确．
③函数1cos sin )(-=x x x f =1sin 212x -，故周期22
T π
π=
=．③错误． ④令22,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得322,44
k x k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈，故()sin()4
f x x π
=+的单调增区间为3[2,2],44k k k Z ππππ-++∈，④错误．
三、解答题
16．分析：向量2t 1e +72e 与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，则数量积小于零，再除去使两向量共线时的t 的值．
解：2
1e =4, 22e =1, 12•e e =2×1×cos60°=1，
∴(2t 1e +72e )·(1e +t 2e )=2t 2
1e +(22t +7) 12•e e +7t 22e =22t +15t +7.
∴22t +15t +7<0,∴-7<t <-
2
1. 设2t 1e +72e =λ(1e +t 2e )(λ<0)⇒⎩
⎨⎧λ=λ=t t 72 ⇒22t =7⇒t =-214
,
∴λ=-14.
∴当t =-2
14
时，2t 1e +72e 与1e +2e 的夹角为π, ∴t 的取值范围是(-7,-214)∪(-214,-2
1
).
17.分析：先利用降幂公式及诱导公式化简，再根据图像变换规律解决之．
(1)x x x f ωωcos 2
1
sin 2321)(-+=
=21)62sin(+-πωx 的最小正周期是π，
πω
π
==
22T ,1=ω. (2)21)2322sin(++-=ππx y 21)322cos(+-=πx ． 将)(x f y =的图像上各点的横坐标都伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕,然后再将所得图像向左平移
32π，再将所得图像向下平移2
1
，即得x y cos =． 或将)(x f y =的图像向左平移
3
π
，再将所得图像上各点的横坐标都伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕,然后再将所得图像再将所得图像向下平移2
1
，即得x y cos =．
18.分析：⑴可由共线向量的坐标表示得；⑵利用三角恒等变换可得． 解：⑴∵b a //∴
1
cos 2sin θ
θ=，即tan 2θ=．
⑵)(sin 2cos )4cos 2π
θθθθ
++
=
cos 2cos )22(cos sin )(cos sin )
θθθθθθθθ++- =
sin 2cos tan 222
4cos sin 1tan 12
θθθθθθ+++===----．
19．分析：由题易联想到运用降幂公式：2
1cos cos
2
2α
α+=
，21cos sin 22
αα-=解决．
解：A A A A A A A A A A A A f 2222
2cos cos 2cos 2sin cos 2cos 2
sin 2cos 2cos 2sin
)12(cos )(+=+-+=
.2
1
)42sin(22)12cos 2(sin 21cos 2sin 212++=++=+=
πA A A A A ∵角A 为锐角，.4
54
24,
20π
π
π
π<
+
<<
<∴A A )(,2
4
2A f A 时当π
π
=
+
∴取值最大值，其最大值为
.2
1
2+ 20.分析：首先利用数量积的坐标运算得解析式，再利用三角恒等变换化简，整体代换求单调递增区间；用五点法作简图. 解：)3),3
(sin()1,cos 4(21)(π
+⋅-=
x x x f ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+⋅=
3)3sin(cos 421πx x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+
=3)cos 23
sin 21(cos 421x x x 2
3
cos 3cos sin 2
-
+=x x x x x 2cos 2
32sin 21+=
)3
2sin(π
+
=x
由2
23
22
2π
ππ
π
π+
≤+
≤-
k x k 得12
125π
πππ+≤≤-
k x k ∴单调增区间为)](12
,125[z k k k ∈+-
π
πππ ．
〔2〕)
2sin(π
+
=x y 列表如下：
)3
2sin(π
+
=x y 图像如以下图7：
21.分析：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式， 考查运算求解能力
解：由条件得225
cos ,cos 105
αβ==
αβ、为锐角，725
sin ,sin 105
αβ∴==
1
tan 7,tan 2
αβ∴==
〔1〕17tan tan 2tan()31
1tan tan 172
αβαβαβ+
++==
=--⋅-⨯ 〔2〕22122tan 42tan 211tan 3
1()2
βββ⨯
==
=-- 47tan tan 23tan(2)14
1tan tan 2173
αβαβαβ+
+∴+==
=--⋅-⨯. αβ、为锐角，3022παβ∴<+<324
παβ∴+=.
1
2
33
π65π图7。