高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第6节空间向量的应用模拟创新题理

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第8章立体几何初步第6节空间向量的应用模拟创新题理

一、选择题

1.(2016·云南丽江模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为( )

A.平行

B.异面

C.垂直

D.以上都不对

解析建立如图所示空间直角坐标系，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，

M(，2，0).∴＝(，1，－)，

→＝(－，2，0).∴·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0.

AM

∴⊥，即AM⊥PM.

答案C

2.(2015·长沙模拟)有以下命题：

①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系是不共线；

②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；

③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底.

其中正确的命题是( )

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

解析 对于①，“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系一定是共线”，所以①错误，②③正确. 答案 C

3.(2016·莆田模拟)已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )

A.

B. C. D.657 解析 由题意得c ＝ta ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，

∴解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337

，μ＝177，λ＝657.

答案 D

4.(2014·山东青岛调研)正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为1，点M 在上，且＝，N 为B1B 的中点，则||为( )

A.

B. C. D.153 解析 如图，设＝a ，＝b ，＝c ，

则a·b＝b·c＝c·a＝0.

由条件知＝＋＋BN →

＝－(a ＋b ＋c)＋a ＋c

＝a －b ＋c ，

∴2＝a2＋b2＋c2＝，

∴||＝.

答案A

二、填空题

5.(2014·山东寿光模拟)已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________.

解析b－a＝(1＋t，2t－1，0)，

∴|b－a|＝（1＋t）2＋（2t－1）2

＝，

∴当t＝时，|b－a|取得最小值为.

答案35

5

三、解答题

6.(2016·吉林四平模拟)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC ＝16，PA＝PC＝10.

(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；

(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离.

证明(1)如图，连接OP，易知OB，OC，OP两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系O－xyz，

则O(0，0，0)，A(0，－8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，－4，3)，F(4，0，3).

由题意，得G(0，4，0)

因为＝(8，0，0)，＝(0，－4，3)，

所以平面BOE的一个法向量为n＝(0，3，4).

由＝(－4，4，－3)，得n·＝0，即n⊥.

又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG∥平面BOE.

(2)设点M 的坐标为(x0，y0，0)，

则＝(x0－4，y0，－3).

所FM⊥平面BOE ，所以∥n.

因此x0＝4，y0＝－，

即点M 的坐标是(4，－，0).

在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x>0，y<0，x －y<8.

经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB 内存在一点M, 使FM⊥平面BOE.由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，.

创新导向题

利用空间向量证明线线垂直及求直线与平面所成的角问题

7.已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.

(1)证明：CM⊥SN；

(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小.

解 设PA ＝1，以A 为原点，射线AB ，AC ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，

M ，N ，S.

(1)证明 ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，－1，12 SN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0 ∴·＝－＋＋0＝0.

∴⊥，即CM ⊥SN.

(2)＝，设a ＝(x ，y ，z)为平面CMN 的法向量，

则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0.

令x ＝2，得a ＝(2，1，－2)，

所以|cos 〈a ，〉|＝＝，

故SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.

专项提升测试

模拟精选题

一、选择题

8.(2015·福州模拟)若两点的坐标是A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos β，2sin β，1)，则|AB|的取值范围是( )

A.[0，5]

B.[1，5]

C.(0，5)

D.[1，25]

解析∵A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos β，2sin β，1)，|AB|＝

＝9＋4－12（cos αcos β＋sin αsin β）

＝，

∴≤|AB|≤＝5，

即1≤|AB|≤5，故选B.

答案B

二、填空题

9.(2014·海口模拟)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).则以，为边的平行四边形的面积为________.

解析由题意可得：

→＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，

AB

∴cos〈，〉＝＝＝＝.

由于〈，〉∈[0，π]，∴sin〈，〉＝.

∴以，为边的平行四边形的面积

S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.

答案73

三、解答题