[理学]药学高数30习题九

ln
x C1
C2
22
15. (5) (y )2-y=0 解: 令 y=p(x), 则 y p
p2 p p p

dp p

dx
2 p x C1
p

1 4
(x

C1 ) 2
y
1 4
(
x

C1
)
2
dx
y

1 12
(x

C1 )3

C2
23
15. (6) y =1+(y)2 解: 令 y=p(x), 则 y p
y p x 1 C1ex
y

x2 2

x

C1e x

C2
20
15. (4) x2y=(y)2+2xy
解: 令 y=p(x), y=p
p 2 p 1 p2 x x2
1 p 2 p1 1
p2
x
x2
令 p1 u
u 2 u 1
x
x2
u
y x arctan x
x 1 x2
dx

C1x

C2
y

x
arctan
x

1 2
ln(1

x2
)

C1x

C2
19
15. (3) y=y+x
解: 令 y=p(x) 则 p-p =x
p ex ( xexdx C)
p ex (xex ex C1)
x2 1
16
13. (6) y xy ex2 y3 y 1 x0 解: y3 y xy2 ex2 令 y2 u u 2xu 2ex2
u e2xdx[ 2ex2 ex2 dy C]
y2 ex2 [2x C]
C 1


C2 4 ,
y tan(x ) 4
28
16. (5) y=e2y y|x=0= y|x=0=0
解：令y = p( y), y ppy 原方程为 ppy e2 y
两边积分
1 2
p2

1 2
e2 y

C1
由初始条件
:
C1


1 2
,
p y e2y 1

解:
ydy
1 y2


dx x(x 1)
1 2 ydy 1 1
2
1
y2

(x

)dx x 1
1 ln(1 y2 ) ln x ln(x 1) ln C 2
ln(1 y2 ) 2 ln Cx x 1
1 y2 C( x )2
4
x 1
12. (5) dy y x dx x y
P (1 x)2 (2 ln x 1 C)
y2 (1 x)2 (2 ln x 1 C)
9
12. (10) y 1 1 x y
解：令u x y 则u 1 y u+ 1 = 0 u udu dx 1 u2 x C 2 (x y)2 2x C
y

1 x
[
x2dx

C]
y 1 [ x3 C] x3
6
12. (7) y y tan x sin 2x
解：y e tan xdx[ sin 2xe tan xdxdx C]
y elncos x[ sin 2xelncos xdx C]
y

cos
C1

1 2
,
C2 0
1
1
y sin 2x x
4
2
25
16. (2) y=e2x y|x=1= y|x=1=0
解：
y =
1 2
e2x

C1
y

1 4
e2x

C1x

C2
C1


1 2
e2
,
C2

1 4
e2
y 1 e2x 1 e2x 1 e2
42 4
26
16. (3) (1+x2)y=2xy y|x=0=1, y|x=0=3
x[பைடு நூலகம்
2 sin
x
cos
x
1 cos
x
dx

C
]
y cos x[2 cos x C]
y 2 cos2 x C cos x 7
12. (8) xdy ydx y2eydy
解： dx x yey dy y
x

e
1 y
dy
[

ye
y
e


1 y
dy
dy

C
]
p 1 p2

1
dp p
2

dx
arctan p x C1 p y tan(x C1) y ln cos(x C1) C2
24
16. (1) y=sin2x y|x=0=0, y|x=0=0
解：
y =

1 2
cos
2x

C1
1 y 4 sin 2x C1x C2
解: r2-4r+5=0, r=2±i Y=e2x(C1cosx+C2sinx)
p

y

e2x 1 1 e2x

1
31
21. (1) y-2y-3y=0
解: 特征方程 r2-2r-3=0 (r-3)(r+1)=0
特征根 r =3, r=-1 方程的通解为: y=C1e3x+C2e-x
21. (2) y-6y+9y=0
解: 特征方程 r2-6r+9=0
(r-3)2=0
解：y = p(x), y p
(1 x2 ) p 2xp ,
dp p

2x 1 x2
dx
ln p ln(1 x2 ) ln C
p y C1(1 x2 ) ,
C1 3, y 3(1 x2 )
y 3x x3 C2 ,
C2 1, y 3x x3 1
解： dy dx

2xy x2 1

cos x x2 1
e p( x)dx

2 x dx
e x2 1

eln( x2 1)

1
x2 1
1
y

x2
[ 1
cos x x2 1
(x2
1)dx

C]
1 [sin x C] 由初始条件C 1 x2 1
y 1 [sin x 1]
dy dx
e2y 1
e2y 1 u ,
则
y

1 2
ln(u 2
1),
y

u u2 1
29
du
u2 1 x C2
arctan e2 y 1 x C2
e2 y 1 tan(x C2 )
C2 0,
e2y 1 tan x
e2 y 1 tan2 x e2 y sec2 x
特征根 r =3,
方程的通解为: y=C1e3x+C2xe3x
32
21. (3) y-2y+5y=0 解: 特征方程: r2-2r+5=0 特征根: r=1±2i 方程的通解为: y=ex(C1cos2x+C2sin2x)
33
21. (4) y+3y+2y=2ex
解: 特征方程 r2+3r+2=(r+2)(r+1)=0,
f
(
x y
)


y2 x2
1
12. (1)
dy exy dx
解: 分离变量: eydy exdx
两边积分 eydy exdx ey ex C
y ln(ex C)
12. (2) sec2 x tan ydx sec2 y tan xdy 0
解:

sec2 tan
y y
dy


sec2 tan
x x
dx
ln tan y ln tan x ln C
tan y tan x C
2
12. (3)
dy x dx y
解: 分离变量: ydy xdx
两边积分得 1 y2 1 x2 C
2
2
x2 y2 C
3
12. (4) (1+y2 )dx=x(x+1)ydy
10
12. (11) eydx (xey 2 y)dy 0
解：ey dx xey 2 y dy
dx x 2 ye y dy
x edy[ 2 ye yedydy C]
x ey (y2 C)
11
13. 求下列一阶微分方程的特解
(1) (1 x2)ydy x(1 y2)dx 0
27
16. (4) y=2yy y|x=0=1, y|x=0=2 解： y = p( y), y p dp
dy
p dp 2 yp dy
p0
p y y2 C1
C1 1, y 1 y2

1
dy y
2

dx
arctan y x C2 , y tan(x C2 )
y ln cos x
30
16. (6) y=1-y2 y|x=0= y|x=0=0
解：令 y = p, y p
原方程为 p 1 p2
dp 1 p2

dx
积分
1 2
ln
1 1
p p

x

ln
C1
1 1
p p

C1e 2 x
由初始条件 : C1 1,
y x C2 C2 0 y x
解： y dy x dx
1 y2
1 x2
y 2 x0
1 ln(1 y2 ) 1 ln(1 x2 ) ln C
2
2
1 y2 C(1 x2 )
C 5
1 y2 5(1 x2 )
12
13. (2) xdy 2ydx 0, y 1 x2
解:

dy y


2dx x
ln y 2 ln x ln C
y

C x2
C4
y 4
x2
13
13. (3)
dy y x dx x y
y 2 x 1
解：令 y u, x
y u xu
u xu u 1 u
u2 ln x ln C 2 y2 x2 ln Cx2
uu 1 x
C e4
y2 x2 (2 ln x 4)
14
13. (4) dy y 2x y 0
dx
x0
解：y edx[ 2xexdx C]
ex[2xex 2ex C]
由初始条件: C 2 y 2x 2 2ex
15
13. (5) (x2 1)y 2xy cos x 0 y 1 x0
解： 令 y u, y u xu x
u xu u 1 u
uu 1 x
u2 ln x ln C 2
y2 x2 ln Cx2
5
12. (6) dy y x dx x
解：y


e

1 dx
x[
xe

1 x
dx
dx

C
]
y eln x[ xeln xdx C]
x2
y e 2 (2e 2 C) 2 Ce 2
初始条件:当 x=0 时 y=0 : C 2
x2
y 2 2e 2
18
15. (2)
y

1
1 x2
解: 两边积分 y arctan x C1
再积分得 : y arctan xdx C1x C2
r1=-2, r2=-1 齐次方程通解: Y=C1e-2x+C2 e-x 设非齐次方程的特解为:
y*=Aex , y*=Aex , y*=Aex 代入方程中:
6Aex=2ex
A=1/3 , y*=1/3ex
方程通解: y=C1e-2x+C2e-x+1/3·ex
34
21. (5) y-4y+5y=e2xsinx
ex2 y2[2x 1]
17
14. f (x) x2
x
tf (t)dt
求 f (x)
0
解：两边求导 : y 2x xy y xy 2x
y e xdx[
2

xe

xdx
dx

C
]
x2
x2
y e 2 [ 2xe 2 C]
x2
x2
11.已知函数
y

x ln x
是微分方程
y y f ( x ) xy
的解,
试求
f
(
x y
)
的表达式
解：
y

ln x 1 ln2 x
ln x ln 2
1 x

y x

f
(x) y
f
(
x) y

ln x 1 ln2 x

1 ln x

ln
x 1 ln ln2 x
x


1 ln 2
x
x y(ey C)
8
12. (9) (1 x) y y (1 x2 ) y1
解：2 yy 2 y2 2(1 x) x 1
P 2 P 2(1 x) x 1
令 y2 =P
P

e2
1 dx
x1 [
2(
x

2
1)e

1 dx x1
dx

C
]

e


2 x
dx
[
x2e2ln xdx C1]
21
u

x 2 [ x

C1
]


1 x

C1 x2
1 x C1
p
x2
p x2 x C1
y
x2 x
C1
dx

C2
y
x2
C12 C12 x C1
dx
C2


1 2
(x
C1)2
C12