矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系

高等代数第二次大作业
1120133839 周碧莹30011303班
矩阵的秩的性质
1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

证明：设矩阵A的行向量组是a
1，…,a
s.
设A经过1型初等行变换变成矩阵B，
则B的行向量组是a
1，…,a
i
,ka
i
+a
j
,…,a
s
.显然a
1
，…,a
i
,ka
i
+a
j
,…,a
s
可以
由a
1，…,a
s
线性表处。

由于a
j
=1*(ka
i
+a
j
)-ka
i
,因此a
1
，…,a
s
可以由
a 1，…,a
i
,ka
i
+a
j
,…,a
s
线性表处。

于是它们等价。

而等价的向量组由相同的
秩，因此A的行秩等于B的行秩。

同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。

3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。

证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?
第一个问题：
设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。

而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。

显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。

B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!
第二个问题以一个具体例子来说明。

例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

解：对A施行初等行变换变为行阶梯最简形矩阵
显然变换后矩阵的第1、2、4列是3个线性无关向量，而加入第3、5列中任何一列即变为线性相关了，故由行变换不改变列向量的线性相关性可知α1，α2，α4是A的列向量组的极大无关组。

那么将α3由α1，α2，α4的线性表示的系数即为非齐次线性方程组
(α1，α2，α4)(x1，x2，x3)T=α3的解，故对增广矩阵进行行初等变换即为
所以α3=-α1-α2+0α4，此系数即为对A进行行初等变换后的第3列数字!
同理可得α5由α1，α2，α4线性表示的系数即为对A进行初等行变换后所得行最简形矩阵的第5列对应数字。

综上所述，对矩阵的行初等变换的理解均可以对应到以此矩阵为系数的线性方程组的同解操作，而讨论线性方程组的解时又可以利用矩阵的相关理论进行简化!
4.任一矩阵的行秩等于它的列秩。

证明：任取矩阵A，把它经过初等行变换化成阶梯型矩阵J.据（2）、（3）得出：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩。

5.设矩阵A经过初等行变换成为阶梯形矩阵J，则A的秩等于J的非零行数的。

设J的主元所在的列是第j
1，‘’’j
r
列，则A的第j
1，‘’’
j
r
列构成A的列向量组的一
个极大线性无关组。

6.矩阵A的秩等于A的转置的秩。

7.矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩。

8.任一非零矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数。

（任一非零矩阵A的行秩等于列秩，并且等于A的不为零子式的最高阶数。

）
9.一个n级矩阵A的秩等于n当且仅当|A|≠0 （满秩矩阵）
10.设s*n矩阵A的秩为r，则A的不等于零的r阶子式所在的行（列）构成A 的列（行）向量组的一个极大线性无关组。

矩阵的秩与运算的关系
1.A≌B 则r（A）=r（B）
2.若PQ为可逆矩阵，则r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）=r（A）
3.r（A±B）≤r（A）+r（B）
4.对于任意n阶方阵A A*A=A A*=|A|E
5.若A可逆则A-1=A*/|A|（A*）-1=（A-1）*=A/|A|
6.(kA)*=k n-1A*（n≥2）
7.A、B为同阶方阵。

（AB）*=B*A* (A*)*=|A|n-1A(n＞2)。