高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战52611

注意事项:
1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分，考试用时120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的班级．姓名．学号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题
的答案写在答题纸对应的位置上，答案写在试卷上无效，本卷考试结束后，上交答题纸．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。

1． 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3A =，集合{}3,5B =，则(
)U
A B = ▲ ．
2．复数z 满足(12i)5z +=，则z ＝ ▲ ． 3
．函数y = ▲ ．
4．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为 ▲ ． 5．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l ax y -+=．则“3a =-”是“1l ∥2l ”的 ▲ 条件． 6．若将函数()sin f x x ω=的图像向右平移
6
π
个单位得到的函数图像与函数4
()sin()3
g x x ωπ=-的图像重合，则|ω|的最小值为 ▲ ．
7. 实数x ，y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，如果目标函数z x y =-的最小值为－2，则实数m 的值为
▲ ．
8. 直线10ax+y+=被圆202
2
x +y ax+a =-截得的弦长为2，则实数a 的值是▲． 9．已知)2,0(,1010)4
cos(π
θπ
θ∈=
+
，则sin(2)3
πθ-= ▲ ． 10．设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+，则n a = ▲ ． 11．已知平面上三个向量OA ，OB ，OC ，满足1OA =，3OB =，2OC =，
0OA OB ⋅=，则CA CB ⋅ 的最大值为 ▲ ．
12．已知
22:1O x y +=，若直线2y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切
线互相垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．
13．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x≤0时，()1
22x f x x a =-+，则函数()f x 的零点
个数是 ▲ ．
14．已知实数,,z x y 为正数，则
222
xy yz
x y z +++的最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）如图，在xOy 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，AOB θ∠=（0θπ<<）
（1）若点34(,)55
B -，求tan()4π
θ+的值；
（2）若OA OB OC +=，1813OB OC ⋅=，求cos()3π
θ-．
16、（本题满分14分）
在 ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且sin sin cos ,,
sin sin cos B C B
A A A
成等差数列．
（1）求角A 的值；
（2
）若a =，5b c +=时，求ABC ∆的面积． 17．（本小题满分15分）
设函数()(0x
x
f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域R 上的奇函数． （1）若(1)0f >，试求不等式2
(2)(4)0f x x f x ++->的解集； （2）若3(1)2
f =
，且22()2()x x
g x a a mf x -=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求实数m 的取值集合．
18．（本小题满分15分）
甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．
（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0t y =（元），在乙方按
照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？
19．（本小题满分16分）
设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n ∈N 都有333
32123,n n a a a a S +++
+=其中n
S 为数列{}n a 的前n 项和．
（1）求证：2
2n n n a S a =-；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）设1
3(1)2n a
n n n b λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ）试确定λ的值，使得对任意
*n ∈N ，都有1n n b b +>成立．
20．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝ex ，g(x)＝x －b ，b ∈R ．
（1）若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b 的值； （2）设T(x)＝f(x)＋ag(x)，a ∈R ，求函数T(x)的单调增区间；
（3）设h(x)＝|g(x)|·f(x)，b ＜1．若存在x1，x2∈，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b 的取值范围．
苏州市第五中学第一学期阶段测试
数 学试 题Ⅱ
（全卷满分40分，考试时间30分钟）
．12
21．（本小题满分10分）
已知矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，属于特征值4的一个特征向量为23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ． 22．（本小题满分10分）
已知直线l
的参数方程为12(x t
y ⎧=-+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρ=θθ-，若直线l 与曲线C 交于
A 、
B 两点，求线段AB 的长．
23.（本小题满分10分）
已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动． （1）求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；
（2）记X 为选出的4名选手的人数，求X 的概率分布和数学期望． 24. （本小题满分10分）
已知30123(1)(1)(1)(1)...(1),n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-（其中*n ∈N ） （1）求0a 及1n
n
i i S a ==∑；
（2）试比较n S 与2
(2)22n n n -+的大小，并说明理由． 苏州市第五中学第一学期阶段测试
高三数学（参考答案）
一、填空题：
1．{}2 2．12i - 3．1
[,)2+∞4．（1，0） 5．充分不必要
6．4 7．8 8．2-9 10．21n +
11．2+．(,1][1,)-∞-+∞ 13．3 14．
二、解答题：
15．（1）由于34(,)55B -，AOB θ∠=，所以3cos 5θ=-，4sin 5
θ=，4
tan 3θ=-，3分
所以1tan 1
tan()41tan 7
πθθθ++==--； 6分
（2）由于(1,0)OA =,(cos ,sin )OB θθ=, 所以(1cos ,sin )OC OA OB θθ=+=+, 8分
22218
cos (1cos )sin cos cos sin 13
OC OB θθθθθθ⋅=⨯++=++=. 所以5cos 13θ=
，所以12
sin 13
θ=，12分
所以cos()cos cos sin sin 333
πππ
θθθ-=+=分 16、（本题满分14分） （I ）、由
sin sin cos ,,sin sin cos B C B A A A 成等差数列知sin cos sin 2sin cos sin B B C
A A A
+= 2分
法1sin cos cos sin 2sin cos sin()sin 2sin cos B A B A C A B A C C A ⇒+=⇒+== 所以1cos 23
A A π
=
⇒= 6分 法2222
2222222
2222222122a c b b c a c b ac b c b c a bc b c a a a b c a bc
+-⎛⎫+-⇒+=⇒+=⇒+-= ⎪+-+-⎝⎭ 所以1cos 23
A A π
=
⇒= 6分 (II)、由余弦定理知()2
2
2
2
3a b c bc b c bc =+-=+-8分
代入5a b c =+=得5bc =11分
所以1sin 2S bc A =
=14分 17．解：⑴∵()f x 是定义域为R 上的奇函数， ∴(0)0101f k k =⇒-=⇒=．2分 ∵(1)0f >，∴1
0a a
-
>，又0a >且1a ≠，∴1a >． 4分 易知()f x 在R 上单调递增，∴原不等式化为：2
(2)(4)f x x f x +>-， ∴224x x x +>-，即2340x x +->，解得1x >或4x <-． ∴不等式的解集为(,4)(1,)-∞-⋃+∞．7分 ⑵∵3(1)2f =
，∴13
2
a a -=，即22320a a --=， 解得2a =或1
2
a =-（舍去）．9分
从而222()2
22(22)(22)2(22)2x
x x x x x x x g x m m ----=+--=---+．
令22x x
t -=-，则2
()()22h t g x t mt ==-+．∵1x ≥，∴3
2
t ≥
．11分
∴222
3()22()2()2
h t t mt t m m t =-+=--+≥．
当32m ≥
时，则当t m =时，2
min ()22h t m =-+=-，解得2m =；13分 当32m <时，则当32t =时，min 17()324h t m =-=-，解得253122
m =>，（舍去）．
综上所述，2m =．15分
18．解：(解：(1)乙方的实际年利润为：st t w -=20000≥t ． 3分
s
s t s st t w 2
21000)1000(2000+--=-=，当2
1000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 时，w 取得最大值． 所以乙方取得最大年利润的年产量
2
1000⎪⎭⎫
⎝⎛=s t (吨)． 6分
(2)设甲方净收入为v 元，则2002.0t st v -=．
将2
1000⎪⎭
⎫ ⎝⎛=s t 代入上式，
4
3
2100021000s
s v ⨯-=． 9得：分 又
令0='v ，得20=s ．
当20<s 时，0>'v ；当20>s 时，0<'v ，所以20=s 时，v 取得最大值．14分 因此甲方向乙方要求赔付价格20=s (元／吨)时，获最大净收入．15分
19．解：(解：（1）证明：由已知得，当32
111,n a a ==时
11333
32123333
3212311
3
1112
121210,1
2()()()0,=21,12n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n
a a n a a a a S a a a a S a S S S S a S S a a S S S S a a S a n a a S a ------->∴=≥+++
+=+++
+==-+=+>∴=+-∴=-==∴=-又
当时① ②
由①-②得又当时适合上式. 5分
（2）解由（1）知：2
2n n n a S a =-③
2
111221111
112,22()01
{}1,1{}n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S a a a S S a a a a a a a a a a a n
---------≥=---=--+=++>∴-=∴∴=当时④
由③④得数列是以首项为公差为的等差数列数列的通项公式为
232325
5
1000810001000(8000)
s v s s s ⨯-'=-+=
10分
（3）
1,3(1)2n n n n n a n b λ-=∴=+-⋅
1
1
1
11111,33(1)2
(1)
2233(1)20(1))n n n n n n
n n n n n n n n n b b b b λλλλ++-++--->-=-+-⋅--⋅=⋅--⋅>-<要使恒成立即恒成立
3
即(恒成立
2
12分
11
))1,1
n n n λλ--<∴<3
①当为奇数时,即(恒成立
23又(的最小值为2
111,)),101,,n n n n
n n N b b λλλλλλ--*+>-∴>-<<≠∴=-∈>3
②当为偶数时即(恒成立
2
333又-(的最大值为-222
3
即-，又且为整数
2
使得对任意都有 16分
20．解：(1)设切点为(t ，et)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切， 所以et ＝1，且et ＝t －b ，
解得b ＝－1． ……………………………………4分 （2)T(x)＝ex ＋a(x －b)，T′(x)＝ex ＋a ． 当a≥0时，T′(x)＞0恒成立．
当a ＜0时，由T′(x)＞0，得x ＞ln(－a)． …………………………………6分 所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a ＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)． ………………8分
（3)h(x)＝|g(x)|·f(x)＝⎩⎨⎧(x －b)ex ， x≥b ，
－(x －b)ex ， x ＜b.
当x>b 时，h′(x)＝(x －b ＋1)ex ＞0，所以h(x)在(b ，＋∞)上为增函数； 当x<b 时，h′(x)＝－(x －b ＋1)ex ，
因为b －1＜x ＜b 时，h′(x)＝－(x －b ＋1)ex ＜0，所以h(x)在(b －1，b)上是减函数； 因为x ＜b －1时， h′(x)＝－(x －b ＋1)ex ＞0，所以h(x)在(－∞，b －1)上是增函数．
…………………10分
① 当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数．
所以h(x)max ＝h(1)＝(1－b)e ，h(x)min ＝h(0)＝－b ．
由h(x)max －h(x)min ＞1，得b ＜1，所以b≤0． …………………12分 ②当0＜b ＜e
e ＋1
时，
因为b ＜x ＜1时， h′(x)＝(x －b ＋1)ex ＞0，所以h(x)在(b ，1)上是增函数， 因为0＜x ＜b 时， h′(x)＝－(x －b ＋1)ex ＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数． 所以h(x)max ＝h(1)＝(1－b)e ，h(x)min ＝h(b)＝0． 由h(x) max －h(x) min ＞1，得b ＜e －1
e ．
因为0＜b ＜e
e ＋1，所以0＜b ＜e －1e ． ………………14分
③当
e
e ＋1
≤b ＜1时， 同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b ，1)上是增函数． 所以h(x)max ＝h(0)＝b ，h(x)min ＝h(b)＝0．
因为b ＜1，所以h(x)max －h(x)min ＞1不成立．
综上，b 的取值范围为(－∞，e －1
e )． …………………………16分
数 学试 题Ⅱ
21．由条件，1224233a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴
238
2612a b +=⎧⎨+=⎩
，解得23a b =⎧⎨
=⎩……5分 ∵1232A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦， ∴2
76910A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
……10分 22．由2sin 2cos ρθθ=-，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2＝2y －2x ， 标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2． 直线l 的方程为化成普通方程为x －y ＋1＝0．……………………4分
圆心到直线l 的距离为d =
=
，
所求弦长L == ……………………10分 23．（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为11212
33321C C C C ⋅⋅+=种．…3分 （2）X 的可能取值为0,1,2,3． ………………5分
23225431(0)10620C P X C C ====⨯， 1121
233322
5423337
(1)10620
C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， 21332254333
(3)10620
C C P X C C ⨯====⨯，
(2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=9
20
=
． ………………8分 X 的概率分布为：
179317
()01232020202010
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=
． ………………10分 24．（1）令1x =，则02n a =，令2x =， 则
3n
n i
i a
==∑，∴32n n n S =-； 3分
（2）要比较n S 与2
(2)22n
n n -+的大小，即比较：3n 与2
(1)22n
n n -+的大小， 当1n =时，2
3(1)22n
n
n n >-+；当2,3n =时，2
3(1)22n
n
n n <-+； 当4,5n =时，2
3(1)22n
n
n n >-+； 5分
猜想：当4n ≥时4n ≥时，2
3(1)22n
n
n n >-+，下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，4n =4n =时结论成立，
假设当(4)n k k =≥,(4)n k k =≥时结论成立，即2
3(1)22n
n
n n >-+， 两边同乘以3 得1
21223
3[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++>-+=+++-+--
22(3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++>
∴1
123
[(1)1]22(1)k k k k ++>+-++，即1n k =+时结论也成立，
∴当4n ≥时，2
3(1)22n
n
n n >-+成立. 综上得，当1n =时，2
3(1)22n
n
n n >-+； 当2,3n =时，2
3(1)22n
n
n n
<-+；当4,n n N
*
≥∈时，2
3(1)22n n n n
>-+
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A.3﹣4i
B.3+4i
C.﹣3﹣4i
D.﹣3+4i
2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）
A.{0，1}
B.{﹣1，0，1，2}
C.{﹣1，0，2}
D.{﹣1，0，1}
3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和
n，则m﹣n=（）
A.5
B.6
C.7
D.8
4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）
A.（﹣1，1，0）
B.（1，﹣1，0）
C.（0，﹣1，1）
D.（﹣1，0，1）
6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A.200，20
B.100，20
C.200，10
D.100，10
7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么
集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A.60
B.90
C.120
D.130
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为.
10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为.
11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=.
13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=.（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】
14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为.
【几何证明选讲选做题】
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则
=.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.
17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，
49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30] 3 0.12
（30，35] 5 0.20
（35，40] 8 0.32
（40，45] n1 f1
（45，50] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.
18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (3)
参考答案与试题解析
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.
1.（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）
A.3﹣4i
B.3+4i
C.﹣3﹣4i
D.﹣3+4i
【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值.
【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，
故选：A.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题.
2.（5分）已知集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∪N=（）
A.{0，1}
B.{﹣1，0，1，2}
C.{﹣1，0，2}
D.{﹣1，0，1}
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.
【解答】解：∵集合M{﹣1，0，1}，N={0，1，2}，
∴M∪N={﹣1，0，1，2}，
故选：B.
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.
3.（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和
n，则m﹣n=（）
A.5
B.6
C.7
D.8
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论.
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，
直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，
则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，
故选：B.
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.
4.（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论.
【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，
即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，
曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，
即两个双曲线的焦距相等，
故选：A.
【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键.
5.（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成60°夹角的是（）
A.（﹣1，1，0）
B.（1，﹣1，0）
C.（0，﹣1，1）
D.（﹣1，0，1）【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论.
【解答】解：不妨设向量为=（x，y，z），
A.若=（﹣1，1，0），则cosθ==，不满足条件.
B.若=（1，﹣1，0），则cosθ===，满足条件.
C.若=（0，﹣1，1），则cosθ==，不满足条件.
D.若=（﹣1，0，1），则cosθ==，不满足条件.
故选：B.
【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键.
6.（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）
A.200，20
B.100，20
C.200，10
D.100，10
【分析】根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.
【解答】解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，
∴样本容量=10000×2%=200，
分层抽样抽取的比例为，
∴高中生抽取的学生数为40，
∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.
故选：A.
【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键.
7.（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定.
【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，
又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定.
故A、B、C错误.
故选：D.
【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.
8.（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么
集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）
A.60
B.90
C.120
D.130
【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论.
【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；
②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；
③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：.
∴总共方法数是++=130.
即元素个数为130.
故选：D.
【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法.
二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分.（一）必做题（9~13题）
9.（5分）不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） .
【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.
【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或②，或③.
解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈∅，解③求得x≥2.
综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）.
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题.
10.（5分）曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为 y=﹣5x+3. .
【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程.
【解答】解；y′=﹣5e﹣5x，∴k=﹣5，
∴曲线y=e﹣5x+2在点（0，3）处的切线方程为y﹣3=﹣5x，即y=﹣5x+3.
故答案为：y=﹣5x+3
【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题.
11.（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.
【分析】根据条件确定当中位数为6时，对应的条件即可得到结论
【解答】解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C107种方法，
若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5，选3个，从7，8，9中选3个不同的数即可，有C63种方法，则这七个数的中位数是6的概率P==，
故答案为：.
【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.
12.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则= 2 .
【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.
【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，
即sin（B+C）=2sinB，
∵sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinB，
利用正弦定理化简得：a=2b，
则=2.
故答案为：2
【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
13.（5分）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=
50 .
【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案.
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，
∴a10a11=e5，
∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10
=ln（e5）10=lne50=50.
故答案为：50.
【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题.
（二）、选做题（14~15题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】
14.（5分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为（1，1） .
【分析】首先运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标.
【解答】解：曲线C1：ρsin2θ=cosθ，即为ρ2sin2θ=ρcosθ，
化为普通方程为：y2=x，
曲线ρsinθ=1，化为普通方程为：y=1，
联立，
即交点的直角坐标为（1，1）.
故答案为：（1，1）.
【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则
= 9 .
【分析】利用ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，可得=，利用△CDF∽△AEF，可求.
【解答】解：∵ABCD是平行四边形，点E在AB上且EB=2AE，
∴=，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△CDF∽△AEF，
∴=（）2=9.
故答案为：9.
【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）+f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）.
【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（）=，求得A的值.
（2）由（1）可得f（x）=sin（x+），根据f（θ）+f（﹣θ）=，求得cosθ 的值，再由θ∈（0，），求得s inθ 的值，从而求得f（﹣θ）的值.
【解答】解：（1）∵函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=.
∴Asin（+）=Asin=A•=，
∴A=.
（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），
∴f（θ）+f（﹣θ）=sin（θ+）+sin（﹣θ+）=2sin cosθ=cosθ=，
∴cosθ=，再由θ∈（0，），可得sinθ=.
∴f（﹣θ）=sin（﹣θ+）=sin（π﹣θ）=sinθ=.
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题. 17.（13分）随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25，30] 3 0.12
（30，35] 5 0.20
（35，40] 8 0.32
（40，45] n1 f1
（45，50] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率.
【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；
（3）利用对立事件可求概率.
【解答】解：（1）（40，45]的频数n1=7，频率f1=0.28；（45，50]的频数n2=2，频率f2=0.08；
（2）频率分布直方图：
（3）设在该厂任取4人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35]为事件，
已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，
∴P（A）==，
∴P（）=1﹣P（A）=，
∴在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为.
【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题.
18.（13分）如图，四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
（1）证明：CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.
【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.
【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，
∴AD⊥PC，又AF⊥PC，
∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；
（2）设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°，
∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，
∴DF=，AF==，
∴CF==，又FE∥CD，
∴，∴DE=，同理可得EF=CD=，
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，1），E（，0，0），F（，，0），P（，0，0），C（0，1，0）设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，
∴，令x=4可得z=，∴=（4，0，），
由（1）知平面ADF的一个法向量为=（，1，0），
设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角，
cosθ=|c os＜，＞|===
∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：
【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题.
19.（14分）设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，且S3=15. （1）求a1，a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式.
【分析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3，然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1，a2；
（2）由（1）中求得的a1，a2，a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明.
【解答】解：（1）由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：
S2=4a3﹣20 ①
又S3=S2+a3=15 ②
联立①②解得：a3=7.
再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：
a1=2a2﹣7 ③
又S3=a1+a2+7=15 ④
联立③④得：a2=5，a1=3.
∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7；
（2）∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1.
由此猜测an=2n+1.
下面由数学归纳法证明：
1、当n=1时，a1=3=2×1+1成立.
2、假设n=k时结论成立，即ak=2k+1.
那么，当n=k+1时，
由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得，
，
两式作差得：.
∴
==2（k+1）+1.
综上，当n=k+1时结论成立.
∴an=2n+1.
【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了
学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题.
21.（14分）设函数f（x）=，其中k＜﹣2.
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；
（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）.
【分析】（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域.
（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.
（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.
【解答】解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，
要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，
即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，
则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，
∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，
由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，
由②解得﹣＜x+1＜，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，
综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）.
（2）f′（x）==
=﹣，
由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0 解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，
即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），
同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）.
（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，
则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，
∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0
即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，
∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，
∵k＜﹣6，
∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），
∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f（﹣1+），
且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），
由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f （1）的集合为：
（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）.
【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.
20.（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为. （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.
【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得a和b，则椭圆的方可得.
（2）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用△=0，整理出关于k的一元二次方程，利用韦达定理表示出k1•k2，进而取得x0和y0的关系式，即P点的轨迹方程.
【解答】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，
∴椭圆的方程为+=1.
（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P的坐标为（±3，±2），符合题意，
②当两条切线斜率均存在时，设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x﹣x0）+y0，
+=+=1，整理得（9k2+4）x2+18k（y0﹣kx0）x+9[（y0﹣kx0）
2﹣4]=0，
∴△=[18k（y0﹣kx0）]2﹣4（9k2+4）×9[（y0﹣kx0）2﹣4]=0，
整理得（x02﹣9）k2﹣2x0×y0×k+（y02﹣4）=0，
∴﹣1=k1•k2==﹣1，
∴x02+y02=13.
把点（±3，±2）代入亦成立，
∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13.
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程，最重要的是建立模型求得x和y关系.。