关于行列式的一般定义和计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法（一）
n 阶行列式的定义
n 阶行列式
nn
n n n n a a a a a a a a a
2
12222111211=∑-n
n
n j j j nj j j j j j a a a 21212121)
()1(τ
2 N 阶行列式是N !项的代数和;
3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;
特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;
(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:
(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.
它们都是偶排列;
三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.
§行列式的性质
性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

即nn n n n n a a a a a a a a a
212222111211=nn
n n n n a a a a a a a a a
212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如: D=
d c b a =ad-bc , b a d
c =bc-ad= -D
以r i 表第i 行，C j 表第j 列。

交换 i ,j 两行记为r
j
i
r ↔,交换i,j 两列记作C
i
32
2311332112312213a a a a a a a a a ---32
21133123123322113332
31
232221
13
1211
a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1
↔C j 。

性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值
等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k
的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。

（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）
推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行
列式符号的前面。

推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行
列式值等于零。

推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列
式值等于零。

性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行
列式D 等于两个行列式D 1和D 2的和。

nn
n nj n n n j n j a b a a
a a
b a a a a b a a a
+++2
1222222111112
11=
nn
nj n n n j n
j a a a a a a a a a a a a 21222221111211+
nn
n n n n n a b a a a b a a a b a a
21222221111211
性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（
或另一列）的对应元素上，行列式值不变。

推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m 个数之和(m>2)，则此行列式
等于m 个行列式之和。

列式。

则称此行列式为对称行；如果满足：定义：行列式),,1,(n j i a a a ji ij ij ==
一个n 阶行列式，如果它的元素满足：
n
j i a a i j j i 2,1,=-=；试证：当n 为奇数时，此行列式为零。

每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）n D nn n n in i i n
nn
n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a
2121
11211212111211=
性质7
行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。

按行：()j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211 按列：
()j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++0
2211
将性质7 与Laplace 定理合并为下列结论：
⎩⎨⎧≠==∑=j i j
i D
A a n
k jk k i 0
1 （1）
和⎩⎨⎧≠==∑=j i j
i D
A a n
k kj
ki 01
（2）
行列式的计算
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式
00100200
1
000
00n D n n =
-
解 D n 中不为零的项用一般形式表示为
1122
11!
n n n nn a a a a n ---=.
该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)
2n n --，故
(1)(2)
2
(1)
!.
n n n D n --=-
2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式
n ij
D a =的元素满足
,,1,2,
,,
ij ji a a i j n =-=
则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由
ij ji
a a =-知
ii ii
a a =-，即
0,1,2,
,ii a i n
==
故行列式D n 可表示为
1213112
23213
2331230000
n n n n n
n
n
a a a a a a D a a a a a a -=-----
由行列式的性质
A A '
=
1213112
23213
2331230000
n n n n n
n
n a a a a a a D a a a a a a -----=-
1213112
23213
23312300(1)0
n n n n n
n
n
a a a a a a a a a a a a -=------
(1)n n
D =-
当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式
a b b b b a b b D b
b a b b
b
b
a =
解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得
(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b
a b b D a n b
b a b a n b
b b a +-+-=+-+-
1
1
[
(1)]1
1b b b a b b a n b b a b b b
a =+- 1
00
[
(1)]0
000
b b
b a b a n b a b a b -=+---
1[(1)]()n a n b a b -=+--
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4 计算n 阶行列式
00
1000000000000100
0n a a a D a a =
解 将D n 按第1行展开
100000000
0000(1)000000000
100
0n n a a a a D a a
a a
+=+-
12(1)(1)n n n n a a +-=+--
2n n a a -=-.
5．逆推公式法
逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1, D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n ,
D n －1,
D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。

例5 证明
12
2
11000
01
000001n n
n n x x D x a a a a a x
----=
-+
12121,(2)
n n n n n x a x a x a x a n ---=+++
++≥
证明：将D n 按第1列展开得
1
2
3
2
11000
1
000001n n n n x x D x
x a a a a a x
-----=-
+
11000100(1)0
1
n n
x a x
+--+--
1
n n a xD -=+
由此得递推公式：
1
n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得
112()
n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++
212n n n a a x x D --=++
111n n
n n a a x a x x --=
=++
++
6．利用范德蒙行列式 例6 计算行列式
122221122
12
12121122
111
111n n n
n n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=
++++++
解
把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
1
22
2212
1
1
1112
1
11()
n n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==
-∏
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例7 计算n 阶行列式
121
21
21
2
n n n n n
x a a a a x a a D a a a a a x a ++=+
解：
1
1
n
n n
a a D D =
121
1002,
,11
00
1
n i a a a x i n x x -=+--第行减第1行
（箭形行列式）
121
100
00000
n
j n j a a a a x
x x x
=+=
∑
11n j
n
j a x x =⎛
⎫
=+ ⎪⎝⎭∑
8．数学归纳法 例8 计算n 阶行列式
12
2
11000
1000001n n
n n x x D x a a a a a x
----=
-+
解：用数学归纳法. 当n = 2时
212
21
1
()x D x x a a a x a -=
=+++
212
x a x a =++
假设n = k 时，有
12121k k k k k k
D x a x a x a x a ---=+++
++
则当n = k +1时，把D k +1按第一列展开，得
11
k k k D xD a ++=+
1111()k k k k k x x a x a x a a --+=+++++
12111
k k k k k x a x a x a x a +-+=++
+++
由此，对任意的正整数n ，有
12121n n n n n n
D x a x a x a x a ---=++
+++
9．拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

例9 计算行列式
n D =
112122
12n n n n
a a a a a a a a a λλλ+++
解：
n D =1
21
22
1
2
n n n n a a a a a a a a a λλ++1
222
00
n n n n
a a a a a λλλ+++
12200
n n
n a a a a λλ=
11
n D λ-+
12
11n n a D λλλ-=+
……
12
11n
i
n i i
a λλλλ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑
上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。

学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。

(1)y x z x
z y z y x b a bz
ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明
bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++
bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++= bz ay y x by
ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22
z y x y
x z x z y b y x z x z y z y x a 33+= y x z x
z y z y x b y x z x z y z y x a 33+= y x z x
z y z y x b a )(33+=.
关于行列式的消项（其中C 代表列··R 代表行）
(2)1
112222b b a a b ab a +=(a -b )3;
证明
1112222b b a a b ab a +0
0122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====
a b a b a b a ab 22)1(2
221
3-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3
(3)
44
4422221111d c b a d c b a d c b a
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明
444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)
()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------=（c 2
,c 3
,c
4减数字去第一列的
）
)()()(1
11))()((2
22a d d a c c a b b d
c b a
d a c a b +++---=
))(())((001
11))()((a b d b d d a b c b c c b
d b c a d a c a b ++-++------= )
()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=
=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).
(4)122
1 1
000 00 1000 01a x a a a a x x x
n n n
+⋅
⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n
.
证明 用数学归纳法证明.
当n =2时,2121221a x a x a x a x D ++=+-=,命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立,即 D n -1=x n -1+a 1x n -2+⋅⋅⋅+a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有
1 11
00 100 01
)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x
x a xD D n n n n
=xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+⋅⋅⋅+a n -1x +a n .
因此,对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得
n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,11
113 a a a a D n n nn ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 证明D D D n n 2
)
1(21)
1(--==,D 3=D .
证明 因为D =det(a ij ),所以 n nn n n n n
nn
n a a a a a a a a a a D 221
1
111
111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-
⋅⋅⋅=⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331
1
221
11121n
nn n n
n n n a a a a a a a a
D D n n n n 2
)1()1()2( 21)
1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.
同理可证
nn n n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11
112)1(2D
D n n T n n 2)
1(2)1()1()1(---=-=.
D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2
)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1( 7.计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):
(1)a
a D n 1
1⋅⋅⋅=
, 其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是0; 解
a
a a a a D n 0
01
0 000 00 00
00 0010 00⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开)
)
1()1(1
0 000 00 00
00 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a
a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a a
n
n n n
n a a a
+⋅
⋅⋅-⋅-=--+)
2)(2(1
)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).
(2)
x a a a x a a a x D n ⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ;
解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得
a x x a a
x x a a x x a a
a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=00
0 0 00 0 ,
再将各列都加到第一列上,得
a x a
x a x a
a
a a n x D n -⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 0
0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.
(3)
1 11 1 )( )1()( )1(11
11⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ;
解 根据第6题结果, 有 n n
n n n n n n n n a a a n a a a n a a a
D )( )1()( )1( 11
1
1)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅
⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++
此行列式为范德蒙德行列式.
∏≥>≥++++--+--=1
12
)1(1)]
1()1[()1(j i n n n n j a i a D
∏≥>≥++---=1
12
)1()]
([)
1(j i n n n j i
∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅
-⋅-=1
12
1
)1(2
)1()
()
1()
1(j i n n n n n j i
例3
000a b a a a b b a a a b a D =
0022224
321a
b
a
a a
b b a a b a b a b a b a r r r r ++++=
+++
()
001
1112211a b a a a b b a a b a b
a r +=
+⨯
()b a a a b b a b b a a
b a r r br
r ar r +-------=---200000111112
1
3
1
4
()a
a
b b
a b b a a b a b a -------+=0
02()()
a a
b a b a b b a -----+=2
()()()[]
2242
242b a b a b a b b a -=---+=
练习3：证明:0
2cos 2cos 2cos cos cos cos sin sin sin 222222==γ
βαγ
βαγ
βαD .
证明：
左边
γ
βαγβαγ
βα2cos 2cos 2cos cos cos cos sin sin sin 222222=1cos 21cos 21cos 2cos cos cos 111222222---=
γβαγ
β
α
+=γ
βαγβα222222cos cos cos cos cos cos 1
1
1
20
001
1
1
cos cos cos 111222=+=---γβα
从最后一行开始，每行减去上一行，得到： 1 2 3 ... n-1 n 1 1 1 ... 1 1-n ... ... ... ...
1 1-n 1 ... 1 1
然后做列变换，从各列中减去第一列，得到： 1 1 2 ... n-2 n-1 1 0 0 ... 0 -n ... ... ... ...
1 -n 0 ... 0 0
再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到：
(n+1)/2 1 2 ... n-2 n-1
0 0 0 ... 0 -n
... ... ... ...
0 -n 0 ... 0 0
最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}。