一元二次方程应用图形面积问题1
24.4.1运用一元二次方程解决图形面积问题
利用一元二次方程解决图形问题
【例1】如图，某学校要在校园内墙边
的空地上建一个矩形的存车处，存车 处的一面靠墙（墙长22米），另外三 面用90米长的铁栅栏围起来．如果这 个存车处的面积为700平方米．求这 个矩形存车处的长和宽．
举一反三训练
1.〈2015，保定模拟〉在Rt△ABC中，∠B为直角，AB ＝6 cm，BC＝12 cm，动点P以每秒1 cm的速度匀速 自A点沿AB方向移动，同时点Q以每秒2 cm匀速自B 点沿BC方向移动，则( C )秒后△PQB的面积等于
员？
(1)设增长率为x， 根据题意，得10×(1＋x)2＝12.1，
解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．
答：月平均增长率为10%. (2)6月份的投递任务为：12.1×(1＋0.1)＝13.31 (万件)． ∵13.31÷0.6≈22.18(名)，
∴现有的21名快递投递业务员不能完成任务，至少需
利润 ×100% 进价（或成本）
折扣数 ＝折扣后价格，如原价1 000元，打5.5折，现价550元． 10
谢谢
本题(2)属于典型的增长率问题，这类问题的等量关系 均为：原量×(1＋增长率)增长次数＝增加后的量，或原量
×(1－减少率)减少次数＝减少后的量．
举一反三训练
2．〈2015，湖南长沙〉现代互联网技术的广泛应用，催 生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型 “大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月 份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件． 现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公 司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快 递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
一元二次方程应用__图形面积问题
练习：如图，小华从市场上买回一块矩形铁皮，他将此 矩形铁皮的四个角落各剪去一个边长为1m的正方形后， 剩下的部分刚好能围成一个容积为15m³的无盖长方体箱 子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m。已知购买这种 铁皮每平方米需20元，算一算小华购回这张矩形铁皮共 花了多少钱？
解：设无盖长方体箱子宽x米，则长（x 2）米
解：设金色纸边的宽为xcm,则挂图长为 (80+2x)cm、宽为(50+2x)cm
由题意得：（80 2x）(50 2x) 5400
4x2 260x 1400 0
整理得： x2 65x 350 0
(x 5)(x 70) 0 x1 5, x2 70(不合题意舍去 ) 故金色纸边的宽为5cm.
(1)
解2：解1计算时分块较多，还要注意重叠部分要减去。 我们可以利用图形的平移，对图形进行重新整理，如右图。
解：设图中道路的宽为x米， 由题得：（32 x）(20 x) 540
整理得： x2 52 x 100 0 (x 2)(x 50) 0
解得：x1 2, x2 50(不合题意，舍去 ) 故道路宽为 2米.
变式2： 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖 三条水渠，水渠的宽度都相等。水渠把耕地分成面 积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
解：设水渠宽为x米，
根据题意得： (92 2x)(60 x) 8856
整理得：x2 106 x 105 0
(x 1)(x 105) 0
x1 1, x2 105(不合题意，舍去 ) 故水渠应挖1m宽.
由题： x( x 2) 1 15
则矩形铁皮面积为： （5 2）（3 2） 35(平方米)
整理得： x2 2x 15 0
一元二次方程应用题(面积问题)1
，
(2)
。 注意：这两个面积的重叠部分是 x2米2
2 20x 米 纵向的路面面积为
所以正确的方程是： 32×20 - 32x + 20x - x2 = 540
化简得，x - 52x +100 = 0, x1 = 2,x2 = 50
2
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.
答：所求道路的宽为2米。
一元二次方程的应用 之面积问题
回忆一下：
列方程解应用题有哪些步骤？
审清题意设未知， 找出等量列方程，
解出方程要检验， 检验无误写答案。
一、面积问题
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多 x+2 2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设矩形的宽为xm，则长为(x＋2) m, 根据题意得： x x (x＋2) ＝120. 即 x2 ＋ 2x－120 ＝0.
120m2
Hale Waihona Puke 探究1、某校为了美化校园,准备在一块长32米, 宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部 分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位 学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方 案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使 图(1),(2)的草坪面积为540米2.
(1)
(2)
解:(1)如图，设道路的宽为 x米，则
练习2：如图长方形鸡场，一边靠墙（墙的长度为 18m），另外三边用篱笆围成。篱笆总长为35m （1）当所围的面积为150m2，则长方形鸡场的长和宽分 别是多少？ （2）能够围成160m2的鸡场吗？
1.一块耕地大小尺寸如图所示,要在这块耕地 上沿东西和南北方向分别挖二条和四条水渠, 如果水渠的宽相等,而且要保证余下的可耕地 面积为9600平方米,那么水渠应挖多宽? 2.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶 一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂 图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 1800cm2，求金色纸边的宽。
22.3 实际问题与一元二次方程——图形面积问题1
四、设计封面问题
例4：如图，要设计一本书的封面，封面 长28cm,宽20cm,正中央是一个矩形图 案, 面积为整个封面面积的四分之三, 又知矩形图案的四周边衬等宽，应如 何设计四周边衬的宽度? （只列出方程)
选做
四、设计封面问题
变式：如图，要设计一本书的封面，封面 长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面 长宽比例相同的矩形,如果要使四周边衬 所占面积是封面面积的四分之一,且上、 下边衬等宽， 左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度? (结果保留一位小数。）
（2）折成的长方体盒子的 侧面积会不会有最大值？
选做 二度
三、画片镶边问题
例3：在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景 画的四周镶一条金色纸边，制成一幅 矩形挂图，使整个挂图的面积是 5400cm2，求金色纸边的宽度.
三、画片镶边问题
练习：要为一幅长29cm、宽22cm的矩形 照片配一个镜框，要求镜框的四条边 宽度相等，且镜框所占面积为照片面 积的三分之二，镜框边的宽度应为多 少？ （只列出方程)
22.3
实际问题与一元二次方程 ——图形面积问题1
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 使草地面积占整块地面积的75%,问:道 路宽为多少米?
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 使草地面积占整块地面积的75%,问:道 路宽为多少米?
一、田间小路问题
例1：在一块长为50米,宽为30米的矩形 土地,要开出同样宽的两条道路(一条纵 向,一条横向,且互相垂直),余下种草， 问题
一元二次方程的应用-面积专题
一元二次方程的应用-面积专题1．如图，某景区想在一个长40m，宽32m的矩形湖面上种植荷花，为了便于游客观赏，准备沿平行于湖面两边的纵、横方向各修建一座小桥（桥下不种植荷花）．已知修建的纵向小桥的宽度是横向小桥宽度的2倍，荷花的种植面积为21140m，如果横向小桥的宽为xm，那么可列出关于x的方程为______________________．（方程不用整理）2．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长为19m的篱笆围一个留有1m宽门的矩形养鸡场，怎样围可以使养鸡场的面积为250m？设矩形与墙平行的边长为xm，则根据题意可以列出的方程为___________________．（化成一般形式）3．如图，某小区计划在一个长为32m，宽为20m矩形场地ABCD上修建同样宽的小路，其余部分种草，若使草坪面积为2540m，求路的宽度？4．如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a 米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地．（1）设通道的宽度为x 米，则a = （用含x 的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？5．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用现有的住房墙，另外三边用25m 长得建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个小门．（1）如果住房墙长12米，门宽为1米，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为280m ？（2）如果住房墙长12米，门宽为1米，当AB 边长为多少时，猪舍的面积最大？最大面积是多少？（3）如果住房墙足够长，门宽为a 米，设AB x =米，当6.57x 剟时，猪舍的面积S 先增大，后减小，直接写出a 的范围．6．某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47 200元时，求池长x；（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以472 00元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？请说明理由．7．（教材变式题）如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是25400cm，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．8．我们用一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就可以做成一个没有盖的长方体盒子，如图①所示．用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成如图②所示的底面积为21500cm的没有盖的长方体盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长？探索：若设小正方形的边长为xcm，那么这个盒子底部的长及宽分别为cm和cm，根据题意，可得一元二次方程为，整理成一般形式是．9．如图，某农场有一道长16米的围墙，计划用40米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，为了方便饲养又用围栏隔出一个储物间，在墙的对面开了两个1米宽的门，求围成长方形养鸡场宽AB的长度．10．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27 米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1 米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57 米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．（1）饲养场的长为米（用含a的代数式表示）．288m，求a的值．（2）若饲养场的面积为2（3）当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
一元二次方程方程的应用面积问题
一元二次方程方程的应用面积问题一元二次方程是数学中的重要概念，它在现实生活中有着丰富的应用。
其中之一就是在解决面积问题时发挥作用。
从简到繁，本文将深入探讨一元二次方程在面积问题中的应用，以便读者能够更深入地理解这一概念。
一、一元二次方程的基本概念在深入讨论一元二次方程在面积问题中的应用之前，我们先来复习一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是一元二次方程的系数，而 \(x\) 则是未知数。
通过求解一元二次方程，我们可以得到该方程的根，从而找到方程所代表的数学意义。
二、一元二次方程在面积问题中的应用1. 求矩形的面积假设矩形的长为 \(x+3\)，宽为 \(x-1\)，我们希望求解这个矩形的面积。
根据矩形面积的计算公式 \[面积 = 长 \times 宽\]我们可以建立一个关于矩形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个矩形的面积。
2. 求三角形的面积假设有一个底边长为 \(x+2\)，高为 \(2x-1\) 的三角形，我们可以利用一元二次方程来求解这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式\[面积 = \frac{底边 \times 高}{2}\]我们可以建立一个关于三角形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个三角形的面积。
3. 求圆的面积对于圆的面积问题，我们需要利用一元二次方程的相关知识进行转化。
假设一个圆的半径为 \(x+1\)，我们希望求解这个圆的面积。
根据圆的面积公式 \[面积 = \pi \times 半径^2\]我们可以建立一个关于圆面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个圆的面积。
三、总结与回顾通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在面积问题中的广泛应用。
无论是矩形、三角形还是圆，我们都可以利用一元二次方程来求解其面积，这为我们在实际生活中的计算提供了便利。
一元二次方程应用题(1)面积问题
一元二次方程应用题(一)1.如图：是一块矩形场地ABCD ，长AB=102m ，宽AD = 51m ，从A 、B 两处入口的路宽都为1m ， 两小路汇合处路宽为2m ，其余部分种植草坪，则草坪面积为（ ）A 、5050m 2B 、4900m 2C 、5000m 2D 、4998m2 2.在一幅长50cm ，宽30cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为3.如图，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。
4.如图,有长为24m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,如果要围成面积为45㎡的花圃,花圃的长、宽分别是多少米?5.要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米？A D1题2题6.如图,在一幅长90cm,宽40cm 的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.如果要求挂画的面积是整个面积的72%,那么金边的宽应是多少?7.如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2? ⑵能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么?8.如图，在一块长为92m ，宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885m 2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？9.如图17①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图17②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．求花边的宽．第21题图。
一元二次方程应用__图形面积问题
(1)
解2：解1计算时分块较多，还要注意重叠部分要减去。 我们可以利用图形的平移，对图形进行重新整理，如右图。
解：设图中道路的宽为x米， 由题得：（32 x）(20 x) 540
整理得： x2 52 x 100 0 (x 2)(x 50) 0
解得：x1 2, x2 50(不合题意，舍去 ) 故道路宽为 2米.
练习：如图，小华从市场上买回一块矩形铁皮，他将此 矩形铁皮的四个角落各剪去一个边长为1m的正方形后， 剩下的部分刚好能围成一个容积为15m³的无盖长方体箱 子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m。已知购买这种 铁皮每平方米需20元，算一算小华购回这张矩形铁皮共 花了多少钱？
解：设无盖长方体箱子宽x米，则长（x 2）米
由题： x( x 2) 1 15
则矩形铁皮面积为： （5 2）（3 2） 35(平方米)
整理得： x2 2x 15 0
35 20 700 元
解得：x1 3, x2 5(舍去)
故这张铁皮共花了 700 元.
课堂小结： 本节课你有哪些收获？
1、仔细分析题目，找准题目中的量，会用含未知 数的代数式准确表示出所需量，进而根据等量关 系列出方程；
解：设金色纸边的宽为xcm,则挂图长为 (80+2x)cm、宽为(50+2x)cm
由题意得：（80 2x）(50 2x) 5400
4x2 260x 1400 0
整理得： x2 6 5, x2 70(不合题意舍去 ) 故金色纸边的宽为5cm.
17.5 一元二次方程应用 ---图形面积问题
例1：学校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的 长方形草地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作 草坪。现有一位学生设计了如下一种方案，如图（1）, 若使草坪面积为540㎡，求图中道路的宽。
一元二次方程的应用-ppt课件
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
一元二次方程应用题(面积问题)课件
目录
• 引言 • 一元二次方程基础知识 • 面积问题概述 • 一元二次方程在面积问题中的应用 • 案例分析 • 练习与巩固
01
引言
课程目标
掌握一元二次方程的 基本概念和解题方法 。
提高解决实际问题的 能力和数学应用能力 。
理解面积问题的实际 意义和数学模型。
圆面积问题案例
总结词
圆面积问题是一元二次方程应用题中的常见题型，主要考察圆的半径和面积的计算。
详细描述
圆面积问题通常涉及到一元二次方程的求解，需要找到圆的半径，进而计算出面积。例如，一个圆的 半径为x，面积为A，则A=π×x^2。根据题目条件，可以建立一元二次方程求解x，进而得到面积A。
06
练习与巩固
03
面积问题概述
面积问题的定义
面积问题
面积问题主要研究平面图形的大小， 通常涉及到几何图形的形状、大小和 位置关系。
面积计算公式
面积计算公式是解决面积问题的关键 ，例如矩形面积=长x宽，三角形面积 =底x高/2等。
面积问题的常见类型
01
02
03
04
矩形和长方形
涉及到长、宽、周长和面积的 计算。
在面积问题中，常常需要通过设立一元二次方程来求解未知数，例如在
矩形和三角形问题中，常常需要设立一元二次方程来求解长度或高度。
03
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、因式分解法和二
次函数图像法等。在解决面积问题时，需要根据具体情况选择合适的方
法来求解一元二次方程。
04
三角形
涉及到底、高、周长和面积的 计算。
圆形和球体
一元二次方程的应用之面积问题
化简得，x2 36x 35 0 (x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
小结： 列一元二次方程
解应用题的步骤？
5
（8－2x）
x
１８m2
x
例1.镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为
18m2 ，则镜框多宽?
审
解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形
图案的长为（8-2x）m宽, 为 （5-2x）m,得
设
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
40米
22米
[例4] 学校要建一个面积为150平方米的长方形 自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教 学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围 成，求自行车棚的长和宽.
解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学
楼后墙平行的那条边长为
(352x)米，根据题意，得 x(352x)150 解当得x x115时12，5 3, x522x1200.18不合题意，舍去；
列
即2X2 － 13 X ＋ 11＝0
解
解得X1＝1，
X2＝5.5(不合题意)
答:镜框的宽为1m.
答
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个 相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水 槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正 方形的边长。
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相 等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形 的边长。
面积问题一元二次方程公式
面积问题一元二次方程公式摘要：1.一元二次方程面积问题背景介绍2.一元二次方程面积问题公式推导3.实例解析一元二次方程面积问题4.解题步骤与技巧总结正文：一、一元二次方程面积问题背景介绍在数学领域，一元二次方程是常见的代数方程之一。
其在实际生活中的应用广泛，特别是在几何领域。
一元二次方程面积问题是指，给定一个一元二次方程，如何求解其对应的图形面积。
这个问题在数学建模、工程技术等领域具有重要意义。
二、一元二次方程面积问题公式推导为了解决一元二次方程面积问题，我们需要先了解一元二次方程的一般形式：ax + bx + c = 0根据求根公式，我们可以得到方程的两根：x1, x2 = (-b ± √(b - 4ac)) / 2a我们知道，一元二次方程的图形是一个抛物线。
抛物线的面积可以通过以下公式计算：面积= 1/2 × 抛物线顶点横坐标× 抛物线长度而抛物线长度可以通过以下公式求得：抛物线长度= 2 × √(a + b) / a将求根公式和抛物线长度公式代入面积公式，我们可以得到一元二次方程面积问题的公式：面积= 1/2 × (-b ± √(b - 4ac)) × √(a + b) / a三、实例解析一元二次方程面积问题例如，给定一元二次方程：y = x - 2x - 3我们可以先求解方程的根：x1 = 3，x2 = -1然后，计算抛物线顶点横坐标：顶点横坐标= -b / (2a) = -(-2) / (2 × 1) = 1接下来，计算抛物线长度：抛物线长度= 2 × √(a + b) / a = 2 × √((1) + (-2)) / 1 = 2 × √(1 + 4) = 2 × √5最后，代入面积公式计算面积：面积= 1/2 × (3 + √5) × √(1 + 4) / 1 = 1/2 × (3 + √5) × √5四、解题步骤与技巧总结1.熟练掌握一元二次方程的求根公式；2.了解抛物线的性质，熟练运用抛物线长度和顶点横坐标的计算公式；3.将求得的顶点横坐标、抛物线长度代入面积公式进行计算；4.注意在计算过程中使用正确的数值和符号。
一元二次方程的面积问题
一元二次方程的面积问题
从几何角度来看，一元二次方程通常与平面图形的面积有关。
例如，如果我们考虑一个矩形的面积，假设矩形的长度为x+3，宽
度为x-2，那么矩形的面积可以表示为(x+3)(x-2)。
这个表达式可
以展开为x^2 + x 6，这就是一个一元二次方程。
我们可以利用一
元二次方程来解决矩形面积的问题，比如求最大面积、最小面积等。
从代数角度来看，一元二次方程一般具有形如ax^2 + bx + c
= 0的形式，其中a、b、c为已知的常数，而x为未知数。
解一元
二次方程的常用方法有配方法、公式法、图像法等。
在代数中，我
们可以利用一元二次方程来解决各种面积相关的问题，比如给定一
个固定的面积和一些限制条件，求解出符合条件的一元二次方程的解。
综合来看，一元二次方程的面积问题涉及到了数学中的多个概
念和方法，需要我们综合运用几何和代数的知识来解决。
通过对一
元二次方程的深入理解和灵活运用，我们可以更好地解决各种与面
积相关的问题。
希望这个回答能够帮助你更好地理解一元二次方程
的面积问题。
一元二次方程的应用(图形面积问题)
一元二次方程的应用（图形面积问题）1．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（）A．（60﹣x）x＝864B．C．（60+x）x＝864D．（30+x）（30﹣x）＝8642．（2021秋•信丰县期末）如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB的长为x，则所列方程正确的是（）A．（20+1﹣x）x＝50B．（20﹣1﹣x）x＝50C．（20+1﹣2x）x＝50D．（20﹣1﹣2x）x＝503．（2021秋•高新区校级期末）如图，郑州中学在操场西边开发出一块边长分别为30米、25米的长方形校园菜园，作为劳动教育系列课程的实验基地之一．为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（）A．（30﹣2x）（25﹣x）＝650B．30x+2×25x﹣2x2＝650C．30×25﹣30x﹣25x+2x2＝650D．（30﹣x）（25﹣2x）＝6504．（2021秋•太原期末）学校计划在长为12m，宽为9m矩形地块的正中间建一座劳动实践大棚．大棚是占地面积为88m2的矩形．建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（）A．1.8m B．1.5m C．1m D．0.5m 5．（2021秋•青岛期末）如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（）A．（45﹣2x）（25﹣x）＝625B．（45﹣x）（25﹣x）＝625C．（45﹣x）（25﹣2x）＝625D．（45﹣2x）（25﹣2x）＝625 6．（2021秋•海口期末）用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框．若窗框的面积为1.5m2，则窗框AB的长为（）A．1m B．1.5m C．1.6m D．1.8m 7．（2021秋•洛阳期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为（）A．cm B．1cm C．cm D．2cm8．（2021秋•历城区期末）如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（）A．x（55﹣2x）＝375B．x（55﹣2x）＝375C．x（55﹣x）＝375D．x（55﹣x）＝3759．（2021秋•北京期末）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（）A．x2﹣60x﹣864＝0B．x（x+60）＝864C．x2﹣60x+864＝0D．x（x+30）＝86410．（2021秋•南岸区期末）一个矩形纸片的面积为30cm2，将它的一边剪短1cm，另一边剪短2cm，恰好变成一个正方形．若设正方形的边长为xcm，根据题意可得方程（）A．（x+1）（x+2）＝30B．（x﹣1）（x﹣2）＝30C．（x+1）（x﹣2）＝30D．（x﹣1）（x+2）＝3011．（2021秋•霸州市期末）如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为30m2的新长方形花坛，则x的值为（）A．4.5B．2C．1.5D．112．（2021秋•巴中期末）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+2x﹣35＝0即x（x+2）＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆图注》中记载的方法是：构造如图，一方面，图中的大方形的面积是（x+x+2）2；另一方面，它又等于四个矩形面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22.据此易得x＝5，那么在下面的四个构图中，能够说明x2﹣2x﹣8＝0的正确构图是（）A．B．C．D．13．（2021秋•江津区期末）某社区服务中心学习十九届六中全会精神，贯彻落实“为民办实事”．社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场（如图）．已知停车场的长为52米，宽为36米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．设通道的宽是x米，若停车位的面积为1104平方米．依题意可列出方程（）A．2×36x+52x＝52×36﹣1104B．36x+2×52x﹣x2＝52×36﹣1104C．（52﹣2x）（36﹣2x）＝1104D．（52﹣2x）（36﹣x）＝110414．（2021秋•岚皋县期末）为绿化、美化环境，某园林部门计划在某地修建一个面积为150平方米的矩形花园，它的长比宽多5米，设长为x米，可列方程为（）A．x（x﹣5）＝150B．x（x+5）＝150C．2x+2（x+5）＝150D．2x+2（x﹣5）＝15015．（2021秋•莲池区期末）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，设AB段的长为xm，则可列方程为（）A．x（22﹣3x）＝40B．x（20﹣2x）＝40C．x（18﹣3x）＝40D．x（20﹣3x）＝40二．填空题（共10小题）16．（2021秋•朝阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C 运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则秒时，△BPQ的面积是6cm2．17．（2021秋•仙居县期末）如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路宽为m．18．（2021秋•丹江口市期末）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，如果要使所占的面积是图案面积的四分之一，设横彩条的宽为3xcm，依题意列方程为．19．（2021秋•綦江区期末）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃（靠墙处不用篱笆），中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为19米（恰好用完），围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为x米，可列出方程为．20．（2021秋•滕州市期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．你来解决这道古算题，可以求得矩形的长为步．21．（2021•襄州区模拟）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，且折成的长方体盒子的表面积为888cm2，则剪掉的小正方形边长为cm（纸板的厚度忽略不计）．22．（2020秋•城阳区期末）如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用40m长的篱笆围成一个面积为384m2矩形花园．设宽AB＝xm，且AB＜BC，则x＝m．23．（2019秋•北辰区校级月考）长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为cm．24．（2021秋•普陀区期末）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为70平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为．25．（2021秋•巴中期末）《算法宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，且周长为120步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了步．。
(完整word版)一元二次方程应用题面积专题
一、选择题1. （2009 甘肃省庆阳市）如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米2. （2009 甘肃省白银九市) 如图，小东用长为3。
2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12m B．10m C．8m D．7m3. （2010 四川省乐山市) 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根长为1。
5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( ）（A）6米（B）7米（C)8。
5米（D)9米１4。
(2012 湖北省孝感市）几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如下图所示,则这个几何体的体积是（)．(A）4（B）5 （C)6 (D）75. (2012 湖北省黄冈市）如图，水平放置的圆柱体的三视图是（)。
6。
(2012 新疆乌鲁木齐）如图是某几何体的三视图，其侧面积是（）（A）8π（B)4π（C)2π（D)47. （2012 广西贺州市）由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体有（）２３（A ）3个 （B ）4个(C ）5个 (D ）6个8。
(2013 新疆乌鲁木齐) 右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）．（A ）π （B ）2π （C ）3π （D ）4π9。
（2013 云南省红河州市) 右图是某个几何体的三视图,该几何体是(）A ．正方体B ．圆柱C ．圆锥D ．球10。
(2013 浙江省杭州市） 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（A ）318 (B ）354 （C ）3108 （D)321611. (2013 宁夏回族自治区） 如图是某几何体的三视图，其侧面积( ）主视图俯视图左视图４(A)6(B)π4 （C)π6 （D ）π1212。
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• 6.如图，要设计一本书的封面，封面 长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个 封面长宽比例相同的的矩形，如果要 使四周的彩色边衬所占面积是封面面 积的四分之一，上下边衬等宽，左右 边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽 度（精确到0.1cm）
• 7.某建筑工程队，在工地一边的靠墙处 （墙足够长），用120米长的铁栅栏围 一个所占面积为长方形的临时仓库，铁 栅栏只围三边，按下列要求，分别求长 方形的两条邻边的长。 • （1）长方形的面积是1152平方米； • （2）长方形的面积是1800平方米； • （3）长方形的面积是2000平方米。
• 9.如图，AB=6厘米，BC=8厘米，点P 从A点开始，在AB边上以1厘米/秒的速 度向B移动，点Q从B点开始，在BC边 上以2厘米/秒的速度向C点移动.如果点 P点Q同时出发，经几秒钟，使△PBQ的 面积等于8平方厘米？
C 8cm Q
A
P B 6cm
• 拓展1：如果两面靠墙（两墙互相垂 直），铁栅栏总长度120米不变， • 仓库面积为2400平方米，如何围？ • 拓展2：如果两面靠墙（两墙夹角为 135度），铁栅栏总长度120米不变， • 仓库面积为2400平方米，如何围？
D 135 C
A
B
• 8.笆围成一排一面靠墙、大小相等 且彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个 鸡舍的总面积为36平方米,求每个鸡舍 的长和宽.
• 2.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长 为40米,宽为26米的矩形场地上修建三 条同样宽的甬路,使其中两条与边平行, 另一条与边垂直,其余部分种草,若使每 一块草坪的面积都为144平方米,求甬 路的宽度?
• 3. 一块矩形耕地大小 尺寸如图所示，要在 这块地上沿东西和南 北方向分别挖2条和4 条小渠，如果小渠的 宽相等，而且要保证 余下的耕地面积为 9600平方米，那么水 渠应挖多宽？
一元二次方程的应用 ——图形面积问题
2012.9.18
1.有一块长方形的铁片，先把他的四角 各截去一个边长为5厘米的正方形，然 后折起来，做成一个没盖的盒子。已知 铁片的长是宽的2倍，做成的盒子的容 积为1500立方厘米，求铁片的长和宽。
D 5 5 H E 5 A 5 G 5 C 5
F 5 5 B
• 4.如图，要设计一副宽20cm,长30cm的 图案，其中有两横两竖的彩条，横，竖 彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条所 占面积是图案面积的四分之一，应如何 设计彩条的宽度（精确到0.1cm）
• 5.、如图，在宽为20米，长为32米的矩形地 面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）， 余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为51 平方米，求道路的宽．（部分参考数 据：32 2 1024 ，52 2 2704 ，48 2 2304 ）