易拉罐形状和尺寸的最优化模型研究论文1

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日期： 2006 年 9 月 17 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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易拉罐形状和尺寸的最优化模型研究
摘要
本文根据最优化理论与方法、解析几何知识，计算机编程、测量方法以及焊缝长度等基本理论知识解决了题目中所要求的问题。

论文主要建立了三个双目标优化模型，在一定的约束条件下，一个目标是表面积最小，达到原材料最省的目的。

另外一个目标是焊缝长度最短，达到易拉罐强度最大，寿命最长的目的。

传统的易拉罐是“三片式”，即由罐底、罐身、罐盖三部分组成，有3条焊缝，罐盖一条，罐底一条，罐身一条。

首先运用游标卡尺测量了355ml易拉罐的具体数据，并列表给出。

对于圆柱体形状的易拉罐，建立了两个变量的双目标优化模型，为模型I。

两个变量分别是圆柱体的半径和高。

目标函数分别是表面积函数和焊缝长度函数，表面积为圆柱体的侧面积+圆柱体的两个底面积；焊缝长度为圆柱体的高加上两个底面的周长。

求出的半径为3.8829cm，高度为7.4950cm，总的表面积为277.5840cm2，总的焊缝长度为56.2887cm。

半径和高的比值接近1：2，与实际测得的数据中半径和高得比值比较吻合。

但是由于体积与现实中的易拉罐是相同的，该理论模型求得的半径比实际中稍微大一点，所以在体积相同的情况下，高度数值比较小，这与现实也是相符的。

对于圆台体+圆柱体形状的易拉罐，建立的4个变量的双目标优化模型中，为模型II，表面积包含圆柱体的侧面积、圆柱体的底面积、圆台体的侧面积和圆台的上底面面积四部分；焊缝长度为圆柱的下底面周长+圆柱的高度+圆台的母线长+圆台的上底面周长。

求得的结果是一个9.44cm高，半径为3.3608cm的圆柱加上一个高度为1.6932 cm 的圆锥。

此时总的表面积为274.5585cm2，总的焊缝长度为34.3198cm。

半径和高的比值近似为1：2，总高度与实际高度接近。

对于模型III，建立的是7个变量的双目标优化模型。

在这个模型中，假设易拉罐由4部分组成：即罐顶圆台体，罐身圆柱体，罐底圆台体和球冠。

表面积包含罐顶圆台体的侧面几何上底面面积、罐身圆柱体的侧面积、罐底圆柱体的侧面积和罐底球冠的面积，焊缝长度包含罐顶圆台的上底面周长和母线长、罐身圆柱的高度、圆柱的下底面周长。

求得的结果为圆柱的半径为3.8973 cm，高度为6.0681 cm，罐顶圆台的半径为1.6816 cm，高度为1.8950cm，罐底圆台的高度为0.7607 cm，球冠的半径为1.9251 cm，所在球半径为2.8152cm。

此时总的表面积为260.6977 cm2，总的焊缝长度为44.0370 cm。

与实际数据相比较，总高度值稍低，罐身圆柱的直径稍大，罐顶圆台高度稍低，球冠的半径稍大，圆柱的半径与高度比值近似相等。

对所出现误差的原因作了解释。

一个是关于实测的数据，这部分存在测量误差，另外关于计算的结果，除了软件计算的误差外，只所以于实测数据存在误差一方面是由于在模型建立的时候没有考虑罐身和罐盖、罐底材质不同引起的价格不同，另外也没有考虑到美观性，还有易拉罐模具的限制等等，所有的这些因素造成了实测数据与计算结果之间的误差。

论文中对三个模型的灵敏度也作了详细的分析。

在此基础上，详细总结了论文中所建模型的优缺点，最大的优点就是对易拉罐的最优设计有一定的参考作用，最大的缺点是由于做了一些假设，所以在实际设计易拉罐的时候不能完全参照模型的数据进行。

一、问题的提出
随着经济的发展，市场竞争日益激烈，现代包装容器不再仅仅局限于玻璃、塑料瓶包装，易拉罐已经当今世界饮料包装行业中备受青睐的包装材料，除了具有美观、轻便、便于携带、不易碎，使用方便等特点外，易拉罐也因可节省能源、节约资源及可回收再利用保护环境的特点受到关注。

但是目前我国易拉罐行业每年需要进口铝材十几万吨，耗费近3亿美元，这是一笔巨大的费用。

对于国家和企业来说设计易拉罐的形状和尺寸达到降低经济成本、获取最大经济利润是需要解决的问题。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

不同的企业采用不同的设计方案，而我们只要稍加留意就会发现在市场中较为常见的还是可口可乐公司、青岛啤酒公司采用的355毫升装的设计，它们设计的形状和尺寸几乎一样，这并非偶然，被认为是某种意义下的最优化设计。

到底是不是最优化设计，如何达到最优化，就是我们在本文中需要解决的问题了。

在本题中，我们要解决下列问题：
1、取一个容量为355毫升的易拉罐，用游标卡尺测算出易拉罐各部分的数据。

表1：测量的易拉罐各部分数据
2、建立模型I，假设易拉罐是一个正圆柱体，运用几何原理中正圆柱体的体积和表面积公式，并考虑易拉罐的焊缝问题而建立最优化模型，并比较建立模型的结果与实际测量的形状和尺寸是否合理。

3、建立模型II，假设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，在这种情况下，如何在易拉罐的体积一定时使它所需消耗的材料最少（表面积最小），并且保证易拉罐的强度（指焊缝长度最小）的最优化模型，从而达到节约能源，降低经济成本同时又能增强易拉罐的耐用性的目的。

4、建立模型III，根据我们对易拉罐的观察和想象力，构建了一个由两个正圆台和一个正圆柱体组成的易拉罐优化模型，在体积为355毫升不变的情况下，设计易拉罐的形状和尺寸，使易拉罐的表面积和焊缝长度都最小，既美观、方便，又节约资源，而且寿命长，达到降低经济成本获取最大利润的目的。

5、试讨论若数据出现误差，如何处理。

二、问题分析
1、对模型I的分析
本模型是双目标最优化问题。

为了达到获取最大利润的目的，一方面需要表面积最小，这可以达到原材料最省的目标；另一方面需要焊缝长度最短，这可以达到易拉罐寿
命比较长的目标[1]。

模型中假设易拉罐是一个正圆柱体，已知圆柱体的体积是一定的，通过圆柱体的体积公式可知，即3
V cm
是固定的，这是模型的约束条件。

圆柱体的
355
表面积由两个圆面的表面积和柱身的侧面积三部分组成，而焊缝的长度由罐顶和罐身的焊缝长度、罐身的侧缝长度和罐身与罐底的焊缝长度三部分构成，通过对模型的求解，可得出最优的圆柱体状易拉罐的半径与高的具体数值，得出半径与高之间的比例。

然后对结果进行分析，用所得出的结果与测量的具体数值进行比较，并分析原因。

2、对模型II的分析
由于易拉罐在生活中不是规则的正圆柱体形状，所以在本模型中把易拉罐假设成上面部分是一个正圆台体，下面部分是一个正圆柱体，以便通过优化模型求出得解对设计易拉罐有更好的参考作用。

易拉罐的体积是一定的，这是模型的约束条件；易拉罐的表面积最小和焊缝长度最最短是模型的两个目标，表面积包括正圆柱体的侧面积，正圆柱体的底面积，正圆台体的上底底面积和正圆台体的侧面积；焊缝长度包括正圆台体的上底面周长，正圆柱体的下底面周长，正圆柱体的高度和正圆台体的母线长，这就是本模型的优化设计。

3、对模型III的分析
借鉴于现实中的易拉罐，把易拉罐假设成上部是一个正圆台体，中间是一个正圆柱体，下部是一个圆台体，底部是一个凹陷的球冠的形状。

目标还是表面积最小，焊缝长度最短，约束条件除了体积约束之外，还有关于圆台和球冠的几何约束。

表面积包含圆柱体的表面积、灌顶和罐顶的圆台的表面积、罐底球冠的表面积等三部分，焊缝长度包含罐顶的圆台体的周长、母线长和罐底圆柱体的周长四部分，由于没有考虑到易拉罐各个部分的价格是不同的，也没有考虑到美观性，以及易拉罐模具的限制，求得的结果跟现实中的易拉罐形状难免有差距。

4、试讨论如何处理数据有误差
对于数据有误差，我们首先要分析误差产生的原因，如认为粗心产生的、测量仪器精确导致的、或是算法上引起的等等。

进而判断误差的类型：是系统误差、随机误差还有粗大误差，然后根据误差的种类采取相应的对策。

[2]
三、基本假设
1、易拉罐在温度，湿度等因素变化的时候，其形状和尺寸不随环境的影响而变化。

2、不考虑易拉罐的美观性。

3、假设整个易拉罐所用的材质都是相同的，即易拉罐各个部分的价格是相同的。

4、在整个研究问题中不考虑易拉罐的拉环扣对表面积的影响。

5、假设易拉罐的罐身和罐底、罐面的厚度相同，且很薄。

6、不考虑易拉罐厚度对易拉罐表面积、体积的影响。

7、假设易拉罐只有三条焊缝，分别是罐底与罐身之间的连接焊缝，罐身侧缝，罐身与罐顶之间的连接焊缝。

8、易拉罐焊缝看作线性，忽略其宽度。

355cm。

9、易拉罐的体积为定值3
四、模型的建立与求解
从所要解决的问题和对问题所做的假设的出发，我们对问题1建立了模型I ，对问题2建立了模型II ，对问题3建立了模型III 。

在体积一定的情况下，分别建立关于表面积最小和焊缝长度最小的三个双目标优化模型，表面积最小是考虑到最能节省材料，让公司降低经济成本获取最大收益，而焊缝长度最小是保证易拉罐的强度（易拉罐的焊缝越少，它的强度越大，寿命越长。

所以，我们要保证易拉罐的强度就要使它的焊缝最少，即焊缝的总长度最短。

）。

运用MATLAB6.5软件编程，求出双目标优化模型的结果，并对结果进行分析。

（一）模型I 的建立与求解
模型I ：正圆柱体易拉罐优化模型
1、简图
假设易拉罐是一个正圆柱体，其轴截面如图I-1所示：
2、符号说明
1x ——正圆柱体的半径； 2x ——正圆柱体的高；
1f ——正圆柱体的表面积；
2f ——正圆柱体焊缝的长度。

3、模型建立及求解
模型I 是典型的双目标优化问题。

对于生产者来说，为降低成本要使制罐所用材料最省和易拉罐使用寿命最长，实现制罐成本最小化。

即在易拉罐体积一定的条件下，使用料最小化（即表面积最小化）和焊缝长度最短。

对此我们建立了具有约束条件的非线性规划的最优化问题的两个目标函数的数学模型：在正圆柱体易拉罐体积假定为3553cm 的情况下，使它的表面积（包括侧面积和上、下两个底面积）及焊缝长度（包括罐顶和罐身的焊缝长度、罐身的侧缝长度、罐身和罐底的焊缝长度）最小化。

（1）、正圆柱体易拉罐的用料包括两部分：
第一部分为易拉罐的表面积，包括易拉罐的侧面积和上、下两个底面积。

易拉罐的侧面积为：122x x π；易拉罐的上下底面积为：1x π22；
可以建立关于表面积的目标函数：
12121f =2x x +2x ππ （I-1）
第二部分为易拉罐焊缝长度，包括罐顶和罐身的焊缝长度、罐身的侧缝长度、罐身和罐底的焊缝长度。

罐顶和罐身的焊缝长度为：12x π；罐身的焊缝长度为：2x ；罐身和罐底的焊缝长度为：12x π；可以建立关于焊缝长度的目标函数：
1x 图I-1
212f 4x +x π= （I-2）
（2）、由于易拉罐的体积为355毫升，建立约束条件如下：
212x x =355π （I-3）
（3）、由易拉罐半径和高均大于零，建立边界约束：
1200
x x >⎧⎨>⎩ （I-4） 由（I-1）、（I-2）、（I-3）、（I-4）可以建立如下的双目标规划模型：
1221212
3550
02
12112
minf 2x x +2x minf 4x +x x x s.t x x ππππ==⎧=⎪>⎨⎪>⎩ （I-5）
对于上述模型，我们可以运用计算机软件MATLAB 6.5编程计算（具体编制程序见附录model1）。

下面给出计算机搜索的算法，流程图如图I-2所示。

由计算结果可以看出：exitlage =1>0,说明目标函数收敛，且收敛于所求解1x 、2x 处。

且当半径 1 3.8829x cm =，高 27.4950x cm =时，表面积达到最小值为2277.5840cm ，焊缝最小值为56.2887cm 。

这一计算结果虽与我们测量的易拉罐半径和高的实际数据存在误差，但大致吻合。

另外，我们通过计算机算出，高和半径之间的比值近似等于常数2（即12:1:2x x =），符合实际测量数据中半径和高之间的比值。

在体积与实际易拉罐相同都是355ml 的情形下，由于该理论模型的半径比实际中稍微大一点，所以高度数值比较小。

4、模型分析
（1）、对计算结果的分析
模型在求值时的可操作性较强，同时在求解过程中也不需要频繁地更改参数，说明模型实用性强。

另外，在参数体积的选取上，我们选取市场上销量很大的形状和尺寸几乎都是一样的可口可乐、青岛啤酒等的饮料量为355毫升的易拉罐，体积数据的选取准确、可信。

但我们对体积数据的选取具有主观性和任意性，仅选取了体积为355毫升的易拉罐进行测算，其在结果（即半径1x 和高2x 之比为定值1：2）推广的可信度上受到
了一定的限制。

（2）、对模型I 灵敏度分析
我们在模型I 的基础上，分析了正圆柱体易拉罐的体积为定值时，怎样使易拉罐的侧面积最小值及焊缝长度的最小值，并在此基础上算出了半径和高的关系比，即/r h 。

由此可以看出模型I 中，对结果产生影响的因素包括易拉罐的半径和高。

因此，在这里我们选取易拉罐半径和高进行灵敏度分析，模型1中易拉罐表面积和焊缝长度对这两个参数的敏感性反映了这两个因素影响结果的显著程度；也通过对模型参数的稳定性和敏
感性分析，又可反映和检验模型的实际合理性。

图I-2 算法流程图
表I-1：计算得到相应表面积和焊缝的最小值
a）、对模型I易拉罐半径的灵敏度分析
在体积一定的情况下，模型I中正圆柱体易拉罐半径不仅影响圆柱体表面积（侧面积和上、下底面积之和）的大小，还影响易拉罐的高度和焊缝长度。

这就要求我们在实际规划中，要充分考虑易拉罐半径的变化对易拉罐表面积、高度和焊缝长度的影响。

假设在易拉罐高度不变的情况下，通过变动易拉罐半径，计算出相应的易拉罐最小表面积，
结果如表I-1所示。

根据表I-1数据我们可以看出，一方面，易拉罐半径与易拉罐表面积成正比关系，即易拉罐半径增加时表面积也增加；反之，则减少。

另一方面，易拉罐半径与焊缝长度成反比，即易拉罐半径增加时焊缝长度反而减少；反之，则增加。

当然其具体的数值应根据具体情况而定，例如，对体积数量的不同选取将确定出相应的不同半径值。

b ）、对模型I 易拉罐高度的灵敏度分析
在体积一定的情况下，模型I 易拉罐高度不仅影响表面积的大小，还影响易拉罐的半径长度，这就要求我们在实际规划中要充分考虑易拉罐高的变化对易拉罐侧面积和焊缝长度的影响。

假设在易拉罐半径不变的情况下，通过变动易拉罐高度计算出相应侧面积和焊缝长度的最小值，结果如表I-2所示。

表I-2：计算得到相应表面积和焊缝的最小值
根据表I-2的数据，我们可以看出，易拉罐高度与易拉罐表面积和焊缝长度均成反比关系，即易拉罐高度增加时，易拉罐的表面积和焊缝长度也相应增加；反之，则减少。

因此，我们在策划易拉罐用料时，如果不考虑易拉罐半径和体积一定的情况下，可以合理增加易拉罐的高度：一方面，使易拉罐表面积（侧面积及焊缝之和）最小，以实现用料成本最小化,即易拉罐用料最省；另一方面，使易拉罐焊缝长度达到最小值，以实现易拉罐使用寿命最长的目的。

这种合理性高度的选取要依据所选易拉罐体积和半径的大小来确定。

（二）模型II 的分析与求解
模型II ：正圆台和正圆柱体组成的易拉罐优化模型
1、简图
假设易拉罐由正圆台和正圆柱体两部分组成，其中心纵断面图为：
图II-1 正圆台和正圆柱体
组成的易拉罐的中心纵断面
图
2、符号说明：
1x ——圆柱体的半径；
2x ——圆台体上底面的半径；
3x ——圆柱体的高；
4x ——圆台体的高；
1f ——易拉罐的表面积；
2f ——易拉罐的焊缝总长度
3、模型的建立及求解
模型II 也是双目标最优化问题。

由于易拉罐在生活中不是圆柱体的形状，所以在模型中把它假设成是由一个圆台和一个圆柱体组成，以便求得的解对制造易拉罐有一定的指导作用。

由图II-1可知易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

同时，易拉罐有三个焊缝，焊缝越少，易拉罐强度越大。

易拉罐的体积是已知的3553cm ，在保持易拉罐的体积一定的情况下使制造它所要消耗的材料最少并使企业的利润达到最大化以及使强度最大（强度最大即焊缝的长度最短）是易拉罐的最优设计。

（1）、易拉罐的表面积包括圆柱体的侧面积，，圆柱体的底面积，圆台的上底底面积和圆台的侧面积四部分。

圆柱体的侧面积为132x x π；圆柱体的底面积为21x π；圆台的上底底面积为22x π；圆
台的侧面积：12(x x π+
则易拉罐的表面积的目标函数为：
2211312122)f x x x x x x πππ=++++ （II-1）
（2）、易拉罐的焊缝包括罐盖的焊缝，罐底的焊缝，罐身的焊缝三部分，其中罐身的焊缝长度包括圆柱体的高河圆台体的母线长两部分。

罐盖焊缝的长度为22x π；罐底焊缝的长度为12x π；而罐身焊缝的长度为
3x
则易拉罐焊缝总长度的目标函数为：
212322f x x x ππ=+++ （II-2）
模型简化为： 21232()f x x x π=++ （II-3）
（3）、约束条件是易拉罐的表面积最小要建立在体积一定的情况下：
易拉罐的体积为圆柱体的体积与圆台的体积之和，其中：
圆柱体的体积为：213x x π；圆台的体积为：22411221
()3
x x x x x π++。

可以得到总体积为：22213411221
()3
x x x x x x x ππ+++，题目中易拉罐的总体积等于
3553cm ，可得到约束条件：
22213411221()3553
x x x x x x x ππ+++= （II-4）
在理论和实际中，圆柱体的半径，高；圆台体的半径和斜高都不为零，且圆台体的半径小于圆柱体的半径，
即21
0x x
- （II-5）
由公式（II-1）（II-3）（II-4）（II-5）以及边界约束可以建立如下的双目标最优化数学模型：
2211312122123222
13411222112342)2()1()3553..0,,,0min f x x x x x x min f x x +x x x x x x x x s t x x x x x x ππππππ=++++=+⎧+++=⎪⎪-⎨⎪⎪
⎩
（II-6）
对于模型（II-6），我们可以调用计算机软件MATLAB 6.5编程计算（具体编制程序见附录model2）。

根据程序所运行出的结果可知，
12343.3608;0.0000;9.4400; 1.6932x x x x ====
由此可得，将易拉罐看成是一个圆柱体和一个圆台的组合，圆柱体的半径为3.3608cm ，圆柱体的高为9.4400cm ，圆台的上底面半径为0.0000cm ，圆台的高为1.6932cm ，由圆台的半径为零可知，上部分是圆锥而不是圆台，易拉罐是由一个圆锥和一个正圆柱体组成的。

利用公式可计算出易拉罐的表面积为274.55852cm ，达到最小，易拉罐的体积354.99833cm ，罐盖焊缝的长度0，罐底焊缝的长度21.1166cm ，罐身焊缝长度13.2032cm ，易拉罐的焊缝总长度34.3198cm ，达到最小。

4、模型分析 （1）、对计算结果的分析：
根据实际测量的数据，易拉罐的圆柱体的半径1 2.9595x cm =，圆柱体的高
310.244x cm =，圆台体的上底面的半径2 2.735x cm =，圆台体的高4 1.473x cm =，利用模型中的公式，计算出易拉罐的表面积为268.15992cm ，易拉罐的体积为319.40913cm ，
焊缝总长度为47.5136cm 。

实际测量数值与建立模型求解后的数值比较如表II-1所示。

表II-1：比较实际测量数值与建模求解数值
由表中数据可得，实际测得的圆柱体的半径和高的比是0.2889，利用模型求得的半径和高的比是0.3560；实际测得的易拉罐的圆台的半径和高的比是1.8568，利用模型求得的半径和高的比是0。

虽然根据这两组数据得出的易拉罐的体积存在数值上的差距，但是所求出的制作易拉罐所要消耗的材料即易拉罐的表面积与焊缝的总长度却大体相同，可以认为制作这两个易拉罐需要大体相等的材料，并且成品的强度大体一样。

因此，我们认为我们实际测量的易拉罐的形状和尺寸是合理的。

（2）、对模型II 灵敏度分析：对圆柱体的半径的灵敏度分析 圆柱体的半径变化会直接影响到易拉罐的表面积和体积，从而使制造易拉罐所要消耗的材质产生影响，下面考察在其他条件不变的情况下，圆柱体的半径1x 对模型II 结果的影响程度，当分别将1x 减少3%
，5%，不变以及增加到3%，5%时，计算得到相应的易拉罐的表面积，易拉罐的体积和焊缝的总长度，结果如下表II-2所示：
表II-2：圆柱体半径变化对表面积、体积、焊缝长度的影响 当圆柱体的半径从-5%逐渐增大到5%后，其它数据保持不变的情况下，由上面的计
算结果可以看出，当圆柱体的半径增大时，易拉罐的表面积，体积和易拉罐的焊缝的总长度也随着半径的增大而增大。

可知，圆柱体半径的变化对模型II 的影响还是比较显著的。

与上面的分析一样，当其它数据保持不变的情况下，当圆柱体的高增大时，易拉罐的表面积，体积和易拉罐的焊缝的总长度也随着高的增大而增大。

所以，圆柱体的高对模型的影响也是明显的。

（3）、误差分析
由实际测量的数据与建立模型求得的数据的对比（表II-1所示）可得，测量的实际数据与建立的模型中所求得的数据有一定的差距。

因为在实际中，易拉罐的形状并不是我们所假设的是由一个圆柱体和一个圆台体所组成的，易拉罐的罐盖还有一部分凸起的圆形圈，底部是一个球冠而不是一个平面，在球冠周围还有一部分凸起的圆形圈，与罐盖基本相同。

在建立模型时，易拉罐的组成还包括罐盖的拉环扣，我们在假设时把它忽略不计，这是造成误差的主要原因。

另外，实际的易拉罐近似于圆柱体，而通过建立数学模型求解出的在满足条件下的最优的易拉罐的形状是上部分是圆锥，下部分是圆柱体，这与实际的易拉罐在形状上有很大的差别。

同时在测量时，难免会出现误差，使实际的数值不能十分准确。

从而造成与建立模型得出的结果有一定的差距。

（三）模型III 的分析与求解
模型III ：两个正圆台和一个正圆柱体去掉一个球缺组成的易拉罐模型。

1、简图
假设易拉罐由四部分组成，上面部分是一个正圆台，中间部分是一个正圆柱体，下面部分是一个正圆柱体减去一个球缺。

而且下面部分正圆柱体的高度与球冠的高度相
2、符号说明
1x ——圆柱体的半径； 2x ——圆台体上底面的半径； 3x ——圆柱体的高； 4x ——圆台体的高； 5x ——球冠所在球的半径；
图III-1 正圆台、正圆柱体和球缺组成的易拉罐的中心纵断面图
1
x。