《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)大题规范天天练+第三周+星期三

星期三 (解析几何) 2017年____月____日
解析几何(命题意图：考查椭圆方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力)
(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点到直线x －y ＋32＝0的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)给出定点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫655，0，对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB ，1|QA |2＋1|QB |2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
解 (1)由题意知右焦点(c ，0)到直线x －y ＋32＝0的距离d ＝
|c ＋32|2＝5，所以c ＝22，则a 2－b 2＝8.①
又由题意，得a 2＋b 2＝10，即a 2＋b 2＝10.②
由①②解得a 2＝9，b 2＝1，
所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2＝1. (2)当直线AB 与x 轴重合时，1|QA |2＋1|QB |2
＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫655＋32＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫655－32＝10. 当直线AB 不与x 轴重合时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋
65，与椭圆C 方程联立. 化简得(m 2＋9)y 2＋
12m 5y －95＝0， 所以y 1＋y 2＝－12m 5（m 2＋9）
.③ y 1y 2＝－95（m 2＋9）
.④ 又1|QA |2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－652＋y 21＝1m 2y 21＋y 21＝1（m 2＋1）y 21.
同理1
|QB|2＝
1
（m2＋1）y22
，
所以1
|QA|2＋
1
|QB|2＝
1
（m2＋1）y21
＋
1
（m2＋1）y22
＝
（y1＋y2）2－2y1y2
（m2＋1）y21y22
，(*)
将③④代入(*)式，
化简可得1
|QA|2＋
1
|QB|2＝10.
综上所述，1
|QA|2＋
1
|QB|2为定值10.。